Lý thuyết
Định nghĩa
Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên miền \[D\]
+) Số \[M\] gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \leqslant M,\forall x \in D \hfill \\
\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = M \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Kí hiệu: \[M = \mathop {\max }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\] hoặc \[M = \mathop {\max }\limits_D f\left( x \right)\]
+) Số \[M\] gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[D\] nếu \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( x \right) \geqslant m,\forall x \in D \hfill \\
\exists {x_0} \in D,f\left( {{x_0}} \right) = m \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Kí hiệu: \[m = \mathop {\min }\limits_{x \in D} f\left( x \right)\] hoặc \[m = \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\]
Định lí
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm liên tục trên một đoạn
Giả sử hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Khi đó, để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\] ta làm như sau:
+) Tìm các điểm \[{x_1};{x_2}; \ldots ;{x_n}\] thuộc \[\left( {a;b} \right)\] sao cho tại đó hàm số \[f\] có đạo hàm bằng \[0\] hoặc không xác định.
+) Tính \[f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right); \ldots ;f\left( {{x_n}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\].
+) So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\].
Nếu:
\[\left. + \right){\text{ }}y’ > 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[\left. + \right){\text{ }}y’ < 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Chú ý:
Quy tắc trên chỉ được sử dụng trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) thì ta phải tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm \[f\] rồi dựa vào nội dung của bảng biến thiên để suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm \[f\] trên khoảng (nửa khoảng) đó.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng (nửa khoảng) có thể không tồn tại.
Với bài toán đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn phụ.
Bài tập tự luận
Dạng 1. Tìm max, min trên đoạn bằng hàm số cụ thể, bảng biến thiên, đồ thị hàm số cho trên đoạn và khoảng.
Câu 1. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ { – 3;2} \right]\] và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f\left( x \right)\] trên \[\left[ { – 1;2} \right]\]. Giá trị của \[M + m\] bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có: \[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right) = 3\] và \[m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\]
Vậy \[M + m = 3\]
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 4}}{x}\] trên đoạn \[\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\]
Hướng dẫn giải
Ta có: \[f\left( x \right) = \frac{{ – {x^2} – 4}}{x} = – x – \frac{4}{x}\]
\[ \Rightarrow f’\left( x \right) = – 1 + \frac{4}{{{x^2}}} = \frac{{ – {x^2} + 4}}{{{x^2}}}\]
Trên khoảng H12
Ta có: \[\left( {\frac{3}{2};4} \right):f’\left( x \right) = 0\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– {x^2} + 4 = 0 \hfill \\
\frac{3}{2} < x < 4\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
\left[ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\frac{3}{2} < x < 4\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = 2\]
Do hàm số \[f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên \[\left[ {\frac{3}{2};4} \right]\] nên \[M = \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{3}{2};4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = – 4\]
Câu 3. Kí hiệu \[M\] và \[m\] lần lượt là GTNN, GTLN của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}}\] trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\]. Tính giá trị \[\frac{M}{m}\].
Hướng dẫn giải
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\]
\[y’ = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) – {x^2} – x – 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x – 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};\] \[\left\{ \begin{gathered}
x \in \left[ {0;3} \right] \hfill \\
y’ = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 1\]
Ta có: \[f\left( 0 \right) = 4;f\left( 1 \right) = 3;f\left( 3 \right) = 4\]
Do đó: \[m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 3;M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = 4 \Rightarrow \frac{M}{m} = \frac{4}{3}\]
Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên đoạn \[\left[ { – 2;3} \right]\] có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi \[m\], \[M\] lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số trên đoạn \[\left[ { – 2;3} \right]\]. Giá trị của \[2m – 3M\] bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị ta xác định được \[m = – 3;M = 4\]
Ta có: \[2m – 3M = – 6 – 12 = – 18\]
Câu 5. Cho hàm số \[y = \sqrt { – {x^2} + 4x + 21} – \sqrt { – {x^2} + 3x + 10} \], gọi \[{y_0}\] là GTNN của hàm số đã cho, đạt được tại điểm \[{x_0}\]. Tính \[6{x_0} + y_0^4\].
Hướng dẫn giải
TXĐ: \[D = \left[ { – 2;5} \right]\]
Xét hàm số đã cho xác định và liên tục trên \[\left[ { – 2;5} \right]\]
Ta có: \[y’ = \frac{{ – x + 2}}{{\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} }}\] \[\left( { – 2 < x < 5} \right)\]
\[y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ – x + 2}}{{\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} }} + \frac{{2x – 3}}{{2\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} }} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {2x – 4} \right)\sqrt { – {x^2} + 3x + 10} = \left( {2x – 3} \right)\sqrt { – {x^2} + 4x + 21} \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 2 < x < 5 \hfill \\
\left( {2x – 4} \right)\left( {2x – 3} \right) \geqslant 0 \hfill \\
{\left( {2x – 4} \right)^2}\left( { – {x^2} + 3x + 10} \right) = {\left( {2x – 3} \right)^2}\left( { – {x^2} + 4x + 21} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {2;5} \right) \hfill \\
25{\left( {2x – 3} \right)^2} = 49{\left( {x – 2} \right)^2} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x \in \left( { – 2;\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {2;5} \right) \hfill \\
\left[ \begin{gathered}
x = \frac{1}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x = \frac{{29}}{{17}}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[ \Rightarrow x = \frac{1}{3} \in \left( { – 2;5} \right)\]
Xét: \[y\left( { – 2} \right) = 3;y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2 ;y\left( 5 \right) = 4\]
\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2;5} \right]} y = y\left( {\frac{1}{3}} \right) = \sqrt 2 \]
Suy ra: \[{x_0} = \frac{1}{3};{y_0} = \sqrt 2 \Rightarrow 6{x_0} + y_0^4 = 10\]
Dạng 2. Tìm Max – Min bằng phương pháp đổi biến
Câu 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = si{n^2}x – 4sinx + 2\]
Hướng dẫn giải
Đặt \[t = sinx{\text{ }}\left( { – 1 \leqslant t \leqslant 1} \right)\] hàm số đã cho trở thành \[y = f\left( t \right) = {t^2} – 4t + 2\]
Ta có: \[f’\left( t \right) = 2t – 4,{\text{ }}f’\left( t \right) < 0\] với \[\forall t \in \left[ { – 1;1} \right]\]
Nên hàm số \[f\left( t \right)\] nghịch biến trên \[\left[ { – 1;1} \right]\]
Do đó \[\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = – 1\] và \[\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( { – 1} \right) = 7\].
Vậy hàm số đã cho có GTLN là \[7\] và GTNN là \[ – 1\].
Câu 2. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định và liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \[M\] và \[m\] lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( { – sinx + 2} \right)\]. Giá trị của \[M – m\] bằng?
Hướng dẫn giải
Đặt \[t = – sinx + 2\] vì \[ – 1 \leqslant sinx \leqslant 1 \Rightarrow t \in \left[ {1;3} \right]\]
Xét hàm số \[y = f\left( t \right)\] với \[t \in \left[ {1;3} \right]\]
Từ đồ thị đã cho, ta có:
\[M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = 3;{\text{ }}m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = – 2\] \[ \Rightarrow M – m = 5\]
Câu 3. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên tập ℝ và có bảng biến thiên như sau:
Gọi \[M\]; \[m\] lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( {{x^2} – 2x} \right)\] trên đoạn \[\left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\]. Tìm tổng \[M + m\].
Hướng dẫn giải
Đặt \[t = {x^2} – 2x\] với \[x \in \left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\]
Ta có: \[x \in \left[ { – \frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right]\] \[ \Leftrightarrow – \frac{5}{2} \leqslant x – 1 \leqslant \frac{5}{2}\] \[ \Leftrightarrow 0 \leqslant {\left( {x – 1} \right)^2} \leqslant \frac{{25}}{4}\] \[ \Leftrightarrow – 1 \leqslant {\left( {x – 1} \right)^2} – 1 \leqslant \frac{{21}}{4}\]
Nên \[t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]\]
Xét hàm số \[y = f\left( t \right);{\text{ }}t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]\]
Từ bảng biến thiên suy ra: \[m = \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 2\]; \[M = \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ { – 1;\frac{{21}}{4}} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{{21}}{4}} \right) = 5\]
Do đó: \[M + m = 2 + 5 = 7\]
Câu 4. Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên ℝ và có đồ thị như hình vẽ:
Xét hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x – 1} \right) + m\]. Tìm \[m\] để \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\].
Hướng dẫn giải
Đặt \[t\left( x \right) = 2{x^3} + x – 1\] với \[x \in \left[ {0;1} \right]\].
Ta có: \[t’\left( x \right) = 6{x^2} + 1 > 0,{\text{ }}\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]
Suy ra hàm số \[t\left( x \right)\] đồng biến nên \[x \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow t \in \left[ { – 1;2} \right]\]
Từ đồ thị hàm số ta có \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = – 10\]
Theo yêu cầu bài toán ta cần có: \[3 + m = – 10 \Leftrightarrow m = – 13\]
Dạng 3. Một số bài toán có chứa tham số.
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = – {x^3} – 3{x^2} + m\] trên đoạn \[\left[ { – 1;1} \right]\] bằng \[0\].
Hướng dẫn giải
\[y = f\left( x \right) = – {x^3} – 3{x^2} + m\]
Ta có: \[y’ – 3{x^2} – 6x \cdot y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \in \left[ { – 1;1} \right] \hfill \\
x = – 2 \notin \left[ { – 1;1} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[f\left( { – 1} \right) = m – 2;{\text{ }}f\left( 0 \right) = m;{\text{ }}f\left( 1 \right) = m – 4\]
Ta thấy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;1} \right]} \left[ {f\left( { – 1} \right);f\left( 0 \right);f\left( 1 \right)} \right] = m – 4\]
Suy ra yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow m – 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4\]
Câu 2. Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right|\] trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\] bằng \[16\]. Tổng tất cả các phần tử của \[S\] bằng?
Cách tìm GTLN, GTNN hàm số trên đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]
+) Tìm nghiệm \[{x_i}\left( {i = 1,2,…} \right)\] của \[y’ = 0\] thuộc \[\left[ {a;b} \right]\]
+) Tính các giá trị \[f\left( {{x_i}} \right);f\left( a \right);f\left( b \right)\] so sánh các giá trị, suy ra GTLN, GTNN
Hướng giải: Tìm GTLN hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\], ta xét hàm số \[y = f\left( x \right)\]
Bước 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số \[y = f\left( x \right)\]
Bước 2: GTLN của hàm số \[y = \left| {f\left( x \right)} \right|\] tại \[\max f\left( x \right)\] hoặc \[\min f\left( x \right)\]
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Hướng dẫn giải
Đặt \[g\left( x \right) = {x^3} – 3x + m\]
\[g’\left( x \right) = 3{x^2} – 3;{\text{ }}g’\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered}
x = – 1 \in \left( {0;3} \right) \hfill \\
x = 1 \notin \left( {0;3} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[g\left( 0 \right) = m;{\text{ }}g\left( 1 \right) = – 2 + m;{\text{ }}g\left( 3 \right) = 18 + m\]
Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = 18 + m;{\text{ }}\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} g\left( x \right) = – 2 + m\]
Để giá trị lớn nhất hàm số \[y = f\left( x \right)\] là \[16 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
18 + m = 16 \hfill \\
– 2 + m > – 16 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
– 2 + m = – 16 \hfill \\
18 + m < 16 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
m = – 2 \hfill \\
m > – 14 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
m = – 14 \hfill \\
m < – 2 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Vậy \[S = \left\{ { – 2; – 14} \right\}\] nên tổng là \[ – 2 – 14 = – 16\]
Câu 3. Gọi \[M\] là GTLN của hàm số \[f\left( x \right) = \left| {3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m} \right|\] trên đoạn \[\left[ { – 1;3} \right]\]. Có bao nhiêu số thực \[m\] để \[M = \frac{{59}}{2}\]?
Hướng dẫn giải
Xét hàm số: \[u = 3{x^4} – 4{x^3} – 12{x^2} + m\]
Có \[u’ = 12{x^3} – 12{x^2} – 24x \Rightarrow u’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \hfill \\
x = – 1 \hfill \\
x = 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Khi đó \[\left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = \min \left[ {u\left( { – 1} \right);u\left( 0 \right);u\left( 2 \right);u\left( 3 \right)} \right] = u\left( 2 \right) = m – 32 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} = \max \left[ {u\left( { – 1} \right);u\left( 0 \right);u\left( 2 \right);u\left( 3 \right)} \right] = u\left( 3 \right) = m + 27 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Do đó: \[M = \max \left( {\left| {m – 32} \right|;\left| {m + 27} \right|} \right) = \frac{{59}}{2}\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
\left\{ \begin{gathered}
\left| {m – 32} \right| = \frac{{59}}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\left| {m – 32} \right| \geqslant \left| {m + 27} \right| \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\left\{ \begin{gathered}
\left| {m + 27} \right| = \frac{{59}}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\left| {m + 27} \right| \geqslant \left| {m – 32} \right| \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\]
Vậy có 1 số thực \[m\] để \[M = \frac{{59}}{2}\]
Câu 4. Xét hàm số \[f\left( x \right) = \left| {{x^2} + ax + b} \right|\], với \[a,b\] là tham số. Gọi \[M\] là GTLN của hàm số trên \[\left[ { – 1;3} \right]\]. Khi \[M\] nhận GTNN tính \[T = a + 2b\].
Hướng dẫn giải
Ta có: \[\max \left( {\left| A \right|,\left| B \right|} \right) \geqslant \frac{{\left| {A + B} \right|}}{2}{\text{ }}\left( 1 \right)\]. Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[A = B\]
Ta có: \[\max \left( {\left| A \right|,\left| B \right|} \right) \geqslant \frac{{\left| {A – B} \right|}}{2}{\text{ }}\left( 2 \right)\]. Dấu “\[ = \]” xảy ra khi \[A = – B\]
Xét hàm số \[g\left( x \right) = {x^2} + ax + b\], có \[g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{a}{2}\]
TH1: \[ – \frac{a}{2} \notin \left[ { – 1;3} \right] \Leftrightarrow a \notin \left[ { – 6;2} \right]\]
Khi đó: \[M = \max \left( {\left| {1 – a + b} \right|,\left| {9 + 3a + b} \right|} \right)\]
Áp dụng bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] ta có: \[M \geqslant \left| {4 + 2a} \right| > 8\]
TH2: \[ – \frac{a}{2} \in \left[ { – 1;3} \right] \Leftrightarrow a \in \left[ { – 6;2} \right]\]
Khi đó: \[M = \max \left( {\left| {1 – a + b} \right|,\left| {9 + 3a + b} \right|,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right)\]
Áp dụng bất đẳng thức \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có:
\[M \geqslant \max \left( {\left| {5 + a + b} \right|,\left| {b – \frac{{{a^2}}}{4}} \right|} \right)\]
\[ \Leftrightarrow M \geqslant \frac{1}{8}\left| {20 + 4a + {a^2}} \right|\]
\[ \Leftrightarrow M \geqslant \frac{1}{8}\left| {16 + {{\left( {a + 2} \right)}^2}} \right|\]
Suy ra: \[M \geqslant 2\]
Ta có \[M\] nhận GTNN có thể được là \[M \geqslant 2\] khi \[\left\{ \begin{gathered}
a = – 2 \hfill \\
5 + a + b = – \frac{{{a^2}}}{2} – b\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
1 – a + b = 9 + 3a + b \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 2 \hfill \\
b = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Vậy \[a + 2b = – 4\]
Câu 5. Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left| {8{x^4} + a{x^2} + b} \right|\], trong đó \[a,b\] là tham số thực. Tìm mối liên hệ giữa \[a\] và \[b\] để GTLN của hàm số \[f\left( x \right)\] trên đoạn \[\left[ { – 1;1} \right]\] bằng \[1\].
Hướng dẫn giải
Đặt \[t = {x^2}\], vì x∈\[\left[ { – 1;1} \right]\] nên \[t \in \left[ {0;1} \right]\]
Ta có: \[g\left( t \right) = 8{t^2} + at + b\], đây là parabol có bề lõm quay lên và có toạ độ đỉnh là \[I\left( { – \frac{a}{6}; – \frac{{{a^2}}}{{32}} + b} \right)\]
TH1: \[ – \frac{a}{6} \in \left[ {0;1} \right]\]. Theo yêu cầu bài toán ta có:
\[\left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant g\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant g\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant – \frac{{{a^2}}}{{32}} + b \leqslant 1\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1 \hfill \\
– 32 \leqslant 32b – {a^2} \leqslant 32 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\
– 32 \leqslant {a^2} – 32b \leqslant 32{\text{ }}\left( 3 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Lấy \[\left( 1 \right)\]+32\[\left( 3 \right)\] ta có: \[ – 64 \leqslant {a^2} \leqslant 64\] do đó \[ – 8 \leqslant a \leqslant 8\]
Lấy \[\left( 3 \right)\]+32\[\left( 2 \right)\] ta có: \[ – 64 \leqslant {a^2} + 32a + 256 \leqslant 64\]
Suy ra: \[{a^2} + 32a + 192 \leqslant 0 \Leftrightarrow – 24 \leqslant a \leqslant – 8\]
Khi đó ta có: \[a = – 8\] và \[b = 1\]
Thử lại: \[g\left( t \right) = 8{t^2} – 8t + 1 = 2{\left( {2t – 1} \right)^2} – 1\]
Vì \[0 \leqslant t \leqslant 1\] nên \[ – 1 \leqslant 2t – 1 \leqslant 1\] \[ \Rightarrow 0 \leqslant {\left( {2t – 1} \right)^2} \leqslant 1\] \[ \Rightarrow – 1 \leqslant g\left( t \right) = 2{\left( {2t – 1} \right)^2} – 1 \leqslant 1\]
Ta có: \[\max \left| {g\left( t \right)} \right| = 1\] khi \[t = 1 \Rightarrow x = \pm 1\]. Nên \[a = – 8\] và \[b = 1\] (thoả mãn)
TH2: \[ – \frac{a}{6} \notin \left[ {0;1} \right]\]. Theo yêu cầu bài toán ta có:
\[\left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant g\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant g\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant b \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant 8 + a + b \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[ \Rightarrow – 2 \leqslant a + 8 \leqslant 2 \Rightarrow – 10 \leqslant a \leqslant – 6\] (loại)
Vậy \[a = – 8\] và \[b = 1\]
Câu 6. Cho hàm số \[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\], \[\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant 1\], \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]. Tìm GTLN của \[f’\left( 0 \right)\].
Hướng dẫn giải
\[f’\left( x \right) = 2ax + b \Rightarrow f’\left( 0 \right) = b\]
Bài toán trở thành tìm GTLN của \[b\] với điều kiện \[\left| {f\left( x \right)} \right|{\text{ }} \leqslant 1\], \[\forall x \in \left[ {0;1} \right]\]
Ta có: \[\left\{ \begin{gathered}
f\left( 0 \right) = c \hfill \\
f\left( 1 \right) = a + b + c \hfill \\
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a + b = f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) \hfill \\
a + 2b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – 4f\left( 0 \right) \hfill \\
c = f\left( 0 \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[ \Rightarrow b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) – f\left( 1 \right) – 3f\left( 0 \right)\]
\[\left| {f\left( x \right)} \right| \leqslant 1,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\] \[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
– 1 \leqslant f\left( 0 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant f\left( 1 \right) \leqslant 1 \hfill \\
– 1 \leqslant f\left( {\frac{1}{2}} \right) \leqslant 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[ \Rightarrow b = 4f\left( {\frac{1}{2}} \right) + \left[ { – f\left( 1 \right)} \right] + 3\left[ { – f\left( 0 \right)} \right] \leqslant 4 + 1 + 3 = 8\]
Đẳng thức xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 1 \hfill \\
f\left( 1 \right) = – 1 \hfill \\
f\left( 0 \right) = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
c = – 1 \hfill \\
a + b + c = – 1 \hfill \\
\frac{a}{4} + \frac{b}{2} + c = 1\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 8 \hfill \\
b = 8 \hfill \\
c = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\] \[ \Rightarrow f\left( x \right) = – 8{x^2} + 8x – 1\]
Vậy GTLN của \[f’\left( 0 \right) = 8\]
Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số \[m\] sao cho phương trình \[f\left( {x,m} \right) = 0\] có nghiệm (có ứng dụng GTLN, GTNN).
Phương pháp
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình đã cho.
Bước 2: Đặt \[t = u\left( x \right)\] hoặc \[x = u\left( t \right)\]. Tìm tập giá trị \[K\] của \[t\]. Chuyển bài toán về tìm điều kiện của \[m\] để phương trình \[g\left( t \right) = h\left( m \right)\] có nghiệm thuộc \[K\].
Bước 3: Tìm GTLN, GTNN của \[g\left( t \right)\] hoặc tập giá trị của \[g\left( t \right)\] trên \[K\] để suy ra điều kiện của \[m\].
Một số cách đặt ẩn phụ thường gặp:
+) Xuất hiện biểu thức đối xứng: \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {ax + b} \pm \sqrt {cx + d} \hfill \\
\sqrt {\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right)} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
PP: Đặt \[t = \sqrt {ax + b} + \sqrt {cx + d} \]
+) Xuất hiện \[\sqrt {a + bx} \] và \[\sqrt {c – bx} \] \[\left( {a + c > 0} \right)\]
PP: Vì \[{\left( {\sqrt {a + bx} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {c – bx} } \right)^2} = a + c\]
Nên đặt \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {a + bx} = \sqrt {a + c} \sin \alpha \hfill \\
\sqrt {c – bx} = \sqrt {a + c} \cos \alpha \hfill \\
\end{gathered} \right.,{\text{ }}\alpha \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]
Và sử dụng hệ thức\[\left\{ \begin{gathered}
\sin \alpha = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
2\tan \frac{\alpha }{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\cos \alpha = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 – {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{\alpha }{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\end{gathered} \right.\], tiếp tục đặt \[t = \tan \frac{\alpha }{2},{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]
Ta được một phương trình ẩn \[t\].
Câu 1. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình sau có nghiệm:
\[6 – x + 2\sqrt {2\left( {x – 1} \right)\left( {4 – x} \right)} = m + 4\sqrt {x – 1} + 4\sqrt 2 \cdot \sqrt {4 – x} \]
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: \[1 \leqslant x \leqslant 4\]
Phương trình đã cho tương đương:
\[6 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} – 4\left( {\sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} } \right) = m{\text{ }}\left( 1 \right)\]
Đặt \[t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \]
Xét hàm số \[t\left( x \right) = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \] liên tục trên đoạn \[\left[ {1;4} \right]\], có:
\[t’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt {x – 1} }} + \frac{{ – 2}}{{2\sqrt {8 – 2x} }} = \frac{{\sqrt {8 – 2x} – 2\sqrt {x – 1} }}{{2\sqrt {x – 1} \cdot \sqrt {8 – 2x} }}\]
Ta có: \[t’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {8 – 2x} = 2\sqrt {x – 1} \Leftrightarrow x = 2\]
Lại có: \[t\left( 1 \right) = \sqrt 6 ;{\text{ }}t\left( 2 \right) = 3;{\text{ }}t\left( 4 \right) = \sqrt 3 \]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} t\left( x \right) = t\left( 4 \right) = \sqrt 3 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;4} \right]} t\left( x \right) = t\left( 2 \right) = 3 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Vì \[t = \sqrt {x – 1} + \sqrt {8 – 2x} \]
\[ \Rightarrow {t^2} = 7 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow {t^2} – 1 = 6 – x + 2\sqrt {\left( {x – 1} \right)\left( {8 – 2x} \right)} \]
Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[{t^2} – 4t – 1 = m{\text{ }}\left( 2 \right)\]
Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} – 4t – 1\] liên tục trên đoạn \[\left[ {\sqrt 3 ;3} \right]\], có: \[f’\left( t \right) = 2t – 4\]
Ta có: \[f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\]
Lại có: \[f\left( {\sqrt 3 } \right) = 2 – 4\sqrt 3 ;{\text{ }}f\left( 2 \right) = – 5;{\text{ }}f\left( 3 \right) = – 4\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 2 \right) = – 5 \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 3 \right) = – 4 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[\left( 1 \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {1;4} \right] \Leftrightarrow \left( 2 \right)\] có nghiệm \[{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]}\]
\[ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) \leqslant m \leqslant \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {\sqrt 3 ;3} \right]} f\left( t \right) \Leftrightarrow – 5 \leqslant m \leqslant – 4\]
Vậy \[ – 5 \leqslant m \leqslant – 4\] là các giá trị \[m\] cần tìm.
Câu 2. Tìm các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình sau có nghiệm:
\[\left( {2m – 1} \right)\sqrt {x + 3} + \left( {m – 2} \right)\sqrt {1 – x} + m – 1 = 0\]
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: \[ – 3 \leqslant x \leqslant 1\]
Phương trình đã cho tương đương:
\[m\left( {2\sqrt {x + 3} + \sqrt {1 – x} + 1} \right) = \sqrt {x + 3} + 2\sqrt {1 – x} + 1\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {x + 3} + 2\sqrt {1 – x} + 1}}{{2\sqrt {x + 3} + \sqrt {1 – x} + 1}} = m{\text{ }}\left( 1 \right)\]
Ta có: \[{\left( {\sqrt {x + 3} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {1 – x} } \right)^2} = 4\]. Nên đặt \[\left\{ \begin{gathered}
\sqrt {x + 3} = 2\sin a \hfill \\
\sqrt {1 – x} = 2\cos a \hfill \\
\end{gathered} \right.,{\text{ }}a \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\]
Sử dụng: \[\left\{ \begin{gathered}
\sin a = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
2\tan \frac{a}{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\cos a = \frac{\begin{gathered}
\hfill \\
1 – {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\end{gathered} }{\begin{gathered}
1 + {\tan ^2}\frac{a}{2} \hfill \\
\hfill \\
\end{gathered} } \hfill \\
\end{gathered} \right.\], và đặt \[t = \tan \frac{a}{2},{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]
Phương trình \[\left( 1 \right)\] trở thành: \[\frac{{ – 3{t^2} + 4t + 5}}{{ – {t^2} + 8t + 3}} = m,{\text{ }}t \in \left[ {0;1} \right]\]
Xét hàm số: \[f\left( t \right) = \frac{{ – 3{t^2} + 4t + 5}}{{ – {t^2} + 8t + 3}}\] liên tục trên đoạn \[\left[ {0;1} \right]\]
Ta có: \[f’\left( t \right) = \frac{{ – 20{t^2} – 8t – 28}}{{{{\left( { – {t^2} + 8t + 3} \right)}^2}}} < 0,{\text{ }}\forall t \in \left[ {0;1} \right]\]
⇒ Hàm số \[f\left( t \right)\] nghịch biến trên \[\left[ {0;1} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = \frac{3}{5}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = \frac{5}{3}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
\[\left( 1 \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ { – 3;1} \right] \Leftrightarrow \left( 2 \right)\] có nghiệm \[t \in \left[ {0;1} \right]\]
\[ \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) \leqslant m \leqslant \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;1} \right]} f\left( t \right)\]
\[ \Leftrightarrow \frac{3}{5} \leqslant m \leqslant \frac{5}{3}\]
Vậy \[\frac{3}{5} \leqslant m \leqslant \frac{5}{3}\] là các giá trị \[m\] cần tìm
Dạng 5. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in K\] (có ứng dụng GTLN, GTNN)
Phương pháp
Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ {a;b} \right]\]
\[m > f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m > \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
\[m \geqslant f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
\[m < f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
\[m \leqslant f\left( x \right),{\text{ }}\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
\[m > f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m > \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
\[m \geqslant f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
\[m < f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m < \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
\[m \leqslant f\left( x \right)\] có nghiệm \[x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \leqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\]
Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình chứa tham số có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {a;b} \right)\]
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để bất phương trình \[6x + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} \leqslant {x^2} + m – 1\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\]
Hướng dẫn giải
Bất phương trình tương đương với \[ – {x^2} + 6x + 16 + \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} – 15 \leqslant m\]
Đặt \[t = \sqrt {\left( {2 + x} \right)\left( {8 – x} \right)} \], với \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\] thì \[t \in \left[ {0;5} \right]\]
Bất phương trình trở thành \[{t^2} + t – 15 \leqslant m\]
Xét hàm số \[f\left( t \right) = {t^2} + t – 15\] trên đoạn \[\left[ {0;5} \right]\], ta có bảng biến thiên như hình sau:
Suy ra bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \[x \in \left[ { – 2;8} \right]\] khi và chỉ khi \[m \geqslant \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( t \right) = 15\]
Câu 2. Cho phương trình \[4\sqrt {6 + x – {x^2}} – 3x \leqslant m\left( {\sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} } \right)\]. Tìm \[m\] để bất phương trình đã cho có nghiệm thực?
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \[ – 2 \leqslant x \leqslant 3\]
Đặt \[t = \sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} \] với \[x \in \left[ { – 2;3} \right]\]
Ta có: \[t’ = \frac{1}{{2\sqrt {x + 2} }} – \frac{1}{{\sqrt {3 – x} }} = \frac{{\sqrt {3 – x} – 2\sqrt {x + 2} }}{{2\sqrt {x + 2} \cdot \sqrt {3 – x} }}\]
\[t’ = 0 \Leftrightarrow \sqrt {3 – x} = 2\sqrt {x + 2} \Leftrightarrow x = – 1\]
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra: \[t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\]
Do \[t = \sqrt {x + 2} + 2\sqrt {3 – x} \Leftrightarrow 4\sqrt {6 + x – {x^2}} – 3x = {t^2} – 14\] nên bất phương trình đã cho trở thành:
\[{t^2} – 14 \leqslant mt \Leftrightarrow \frac{{{t^2} – 14}}{t} \leqslant m\]
Xét hàm số \[f\left( t \right) = \frac{{{t^2} – 14}}{t}\] với \[t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\], ta có:
\[f’\left( t \right) = \frac{{{t^2} + 14}}{{{t^2}}} > 0,{\text{ }}\forall t \in \left[ {\sqrt 5 ;5} \right] \Rightarrow f\left( t \right)\] đồng biến trên \[\left[ {\sqrt 5 ;5} \right]\]
Bất phương trình đã cho có nghiệm thực \[ \Leftrightarrow m \geqslant \mathop {\min }\limits_{\left[ {\sqrt 5 ;5} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\sqrt 5 } \right) \Leftrightarrow m \geqslant – \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\]
Câu 3. Tìm \[m\] để bất phương trình \[\sqrt x + \sqrt {9 – x} \geqslant \sqrt { – {x^2} + 9x + m} {\text{ }}\left( 1 \right)\] có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \[0 \leqslant x \leqslant 9\]
Ta có: \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + 9 – x + 2\sqrt {x\left( {9 – x} \right)} \geqslant – {x^2} + 9x + m\]
\[ \Leftrightarrow 9 + 2\sqrt { – {x^2} + 9x} \geqslant – {x^2} + 9x + m{\text{ }}\left( 2 \right)\]
Đặt \[t = \sqrt { – {x^2} + 9x} \] do \[0 \leqslant x \leqslant 9\] suy ra \[0 \leqslant t \leqslant \frac{9}{2}\]
Nên \[\left( 2 \right)\] trở thành \[9 + 2t \geqslant {t^2} + m \Leftrightarrow – {t^2} + 2t + 9 \geqslant m{\text{ }}\left( 3 \right)\]
Xét hàm số \[f\left( t \right) = – {t^2} + 2t + 9,{\text{ }}0 \leqslant t \leqslant \frac{9}{2}\]
Bảng biến thiên
Suy ra \[\left( 1 \right)\] có nghiệm khi và chỉ khi \[\left( 3 \right)\] có nghiệm \[t \in \left[ {0;\frac{9}{2}} \right]\], nên \[ – \frac{9}{4} \leqslant m \leqslant 10\]
Câu 4. Cho hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên ℝ. Hàm số \[y = f’\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ
Tìm \[m\] sao cho bất phương trình \[f\left( {2\sin x} \right) – 2{\sin ^2}x < m\] đúng với mọi \[x \in \left( {0;\pi } \right)\]?
Hướng dẫn giải
Ta có: \[x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \sin x \in \left( {0;1} \right]\]
Đặt \[t = 2\sin x{\text{ }}\left( {t \in \left( {0;2} \right]} \right)\] ta có:
\[f\left( {2\sin x} \right) – 2{\sin ^2}x < m\] đúng với mọi \[x \in \left( {0;\pi } \right)\]
\[ \Leftrightarrow f\left( t \right) – \frac{1}{2}{t^2} < m\] đúng với mọi \[t \in \left( {0;2} \right]\]
Xét \[g\left( t \right) = f\left( t \right) – \frac{1}{2}{t^2}\] với \[t \in \left( {0;2} \right]\]
\[g’\left( t \right) = f’\left( t \right) – {t^2}\]
Từ đồ thị của hàm số \[y = f’\left( x \right)\] và \[y = x\] (hình vẽ) ta có BBT của \[g\left( t \right)\] như sau:
Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left( {0;2} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) – \frac{1}{2}\]
Vậy yêu cầu bài toán \[ \Leftrightarrow m > g\left( 1 \right) \Leftrightarrow m > f\left( 1 \right) – \frac{1}{2}\]
Dạng 6. Bài toán thực tế
Phương pháp
Đưa yêu cầu bài toán về mối quan hệ hàm số, lập bảng biến thiên để tìm GTLN, GTNN của hàm số với điều kiện ràng buộc cho trước.
Chú ý:
Ta cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức để tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Một số bất đẳng thức thường dùng.
+) Bất đẳng thức AM-GM:
- Cho hai số thực \[a,b \geqslant 0\] ta có: \[\frac{{a + b}}{2} \geqslant \sqrt {ab} \] hay \[a + b \geqslant 2\sqrt {ab} \]
Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b\]
- Cho ba số thực \[a,b,c \geqslant 0\] ta có: \[\frac{{a + b + c}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{abc}}\] hay \[a + b + c \geqslant 3\sqrt[3]{{abc}}\]
Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = c\]
+) Bất đẳng thức Bunhiacopxki:
- Cho hai bộ số thực \[\left( {a;b} \right)\], \[\left( {x;y} \right)\] ta có:
\[\left| {ax + by} \right| \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \]
Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[ay = bx\]
- Cho hai bộ số thực \[\left( {a;b;c} \right)\], \[\left( {x;y;z} \right)\] ta có:
\[\left| {ax + by + cz} \right| \leqslant \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)} \]
Dấu “\[ = \]” xảy ra khi và chỉ khi \[a:b:c = x:y:z\]
Câu 1. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \[S\left( t \right) = – \frac{1}{4}{t^4} + 3{t^2} – 2t – 4\], trong đó \[t\] tính bằng giây \[\left( s \right)\] và \[S\] tính bằng mét \[\left( m \right)\]. Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt GTLN?
Hướng dẫn giải
Vận tốc của chuyển động được xác định bởi \[v\left( t \right) = S’\left( t \right) = – {t^3} + 6t – 2\]
Ta có: \[v’\left( t \right) = – 3{t^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = \sqrt 2 \hfill \\
t = – \sqrt 2 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Do \[t{\text{ }} > {\text{ }}0\], nên ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra vận tốc của chuyển động đạt GTLN tại \[t = \sqrt 2 \].
Câu 2. Hằng ngày mực nước của hồ thuỷ điện ở miền Trung lên và xuống theo lượng nước mưa và các suối nước đổ về hồ. Từ lúc 8 giờ sáng, độ sâu của mực nước trong hồ tính theo mét và lên xuống theo thời gian \[t\] (giờ) trong ngày cho bởi công thức:
\[h\left( t \right) = – \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t{\text{ }}\left( {t > 0} \right)\]
Biết rằng phải thông báo cho các hộ dân phải di dời trước khi xả nước theo quy định trước 5 giờ. Hỏi cần thông báo cho hộ dân di dời trước khi xả nước mấy giờ. Biết rằng mực nước trong hồ phải lên cao nhất mới xả nước.
Hướng dẫn giải
Xét \[h\left( t \right) = – \frac{1}{3}{t^3} + 5{t^2} + 24t{\text{ }}\left( {t > 0} \right)\]
Ta có: \[h’\left( t \right) = – {t^2} + 10t + 24\]
\[h’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow – {t^2} + 10t + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
t = 12 \hfill \\
t = – 2 \notin \left( {0; + \infty } \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Bảng biến thiên
Để mực nước lên cao nhất thì phải mất 12 giờ. Vậy phải thông báo cho dân di dời vào 15 giờ chiều cùng ngày.
Câu 3. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức \[F\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2}\left( {30 – x} \right)\], trong đó \[x\] là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (\[x\] được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất.
Hướng dẫn giải
Xét hàm số \[F\left( x \right) = \frac{1}{{40}}{x^2}\left( {30 – x} \right){\text{ }}\left( {0 < x < 30} \right)\]
\[ \Rightarrow F’\left( x \right) = \frac{1}{{40}}\left( { – 3{x^2} + 60x} \right)\]
\[F’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{40}}\left( { – 3{x^2} + 60x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 0 \notin \left( {0;30} \right) \hfill \\
x = 20 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Bảng biến thiên
Ta có huyết áp giảm nhiều nhất \[ \Leftrightarrow F\left( x \right)\] lớn nhất trên \[\left( {0; + \infty } \right)\].
Dựa vào BBT ta thấy \[\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} F\left( x \right) = F\left( {20} \right) = 100\] nên liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân là \[x = 20\].
Câu 4. Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là \[60{\text{ }}cm\], thể tích \[96000{\text{ }}c{m^3}\]. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành \[70000{\text{ }}vnd/{m^2}\] và loại kính để làm mặt đáy có giá thành \[100000{\text{ }}vnd/{m^2}\]. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
Hướng dẫn giải
Gọi \[x,y\] \[\left( m \right)\] \[\left( {x > 0,y > 0} \right)\] là chiều dài và chiều rộng của đáy bể.
Khi đó theo đề ta suy ra: \[0,6xy = 0,096\] hay \[y = \frac{{0,16}}{x}\]
Giá thành của bể cá được xác định theo giá trị hàm số sau:
\[f\left( x \right) = 2 \cdot 0,6\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) \cdot 70000 + 100000 \cdot x \cdot \frac{{0,16}}{x}\]
Ta có: \[f\left( x \right) = 84000\left( {x + \frac{{0,16}}{x}} \right) + 16000\]
Suy ra: \[f’\left( x \right) = 84000\left( {1 – \frac{{0,16}}{{{x^2}}}} \right)\] \[ \Rightarrow f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0,4\]
Bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right)\] trên \[\left( {0; + \infty } \right)\]
Dựa vào bảng biến thiên suy ra chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá là \[f\left( {0,4} \right) = 83200{\text{ }}vnd\]
Câu 5. Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Bình mỗi người lần lượt nhận được \[32\] lít và \[72\] lít xăng trong một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là \[10\] lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu.
Hướng dẫn giải
Gọi \[x\] (lít) \[\left( {0 < x < 10} \right)\] là số xăng An sử dụng trong 1 ngày.
Khi đó: \[10 – x\] (lít) là số xăng Bình sử dụng trong 1 ngày.
Suy ra: \[f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 – x}},{\text{ }}x \in \left( {0;10} \right)\] là tổng số ngày An và Bình sử dụng hết số xăng được khoán.
Xét hàm số \[f\left( x \right)\] ta có: \[f’\left( x \right) = – \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 – x} \right)}^2}}}\]
\[f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – \frac{{32}}{{{x^2}}} + \frac{{72}}{{{{\left( {10 – x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}
x = 4 \hfill \\
x = – 20 \notin \left( {0;10} \right) \hfill \\
\end{gathered} \right.\]
Bảng biến thiên của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{32}}{x} + \frac{{72}}{{10 – x}},{\text{ }}x \in \left( {0;10} \right)\]
Dựa vào BBT ta có sau ít nhất \[20\] ngày thì An và Bình sử dụng hết lượng xăng được khoán.
Câu 6. Người ra cần xây một bể chứa nước sản xuất dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \[200{\text{ }}{m^3}\]. Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí để xây bể là \[300000{\text{ }}vnd/{m^2}\] (chi phí được tính theo diện tích xây dựng, bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh không tính chiều dày của đáy và thành bên). Tính chi pí thấp nhất để xây bể (làm tròn số tiền đến đơn vị triệu đồng)
Hướng dẫn giải
Gọi chiều rộng của khối hộp là \[x\] \[\left( m \right)\], \[x > 0\] \[ \Rightarrow \] chiều dài của khối hộp là \[2x\] và chiều cao của khối hộp là \[\frac{{200}}{{2x \cdot x}} = \frac{{100}}{{{x^2}}}\]. Ta có:
Diện tích xung quanh của bể chứ là \[{S_{xq}} = 2\left( {x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}} + 2x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}}} \right)\]
Diện tích mặt đáy của bể là S\[{S_1} = 2 \cdot x \cdot x\]
Do đó diện tích xây dựng của bể là:
\[S = {S_{xq}} + {S_1} = 2\left( {x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}} + 2x \cdot \frac{{100}}{{{x^2}}}} \right) + 2 \cdot x \cdot x = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}{\text{ }}\left( {{m^2}} \right)\]
Chi phí xây dựng bể là:
\[C\left( x \right) = \left( {2{x^2} + \frac{{600}}{x}} \right) \cdot 3 \cdot {10^5}\] (đồng)
Tìm GTNN của \[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{600}}{x}\] khi \[x > 0\]
Vì \[x > 0\] nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm ta được
\[f\left( x \right) = 2{x^2} + \frac{{600}}{x} = 2{x^2} + \frac{{300}}{x} + \frac{{300}}{x} \geqslant 3\sqrt[3]{{2 \cdot 300 \cdot 300}}\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{gathered}
2{x^2} = \frac{{300}}{x}\begin{array}{*{20}{c}}
{} \\
{}
\end{array} \hfill \\
x > 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{150}}\]
Do đó: \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt[3]{{150}}} \right) = 3\sqrt[3]{{180000}}\]
Chi phí thấp nhất để xây bể là:
\[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) \cdot 300 = 3\sqrt[3]{{180000}} \cdot 300 \approx 50,81595\] triệu đồng
Vậy chi phí thấp nhất để xây bể xấp xỉ là \[51\] triệu đồng.