Liên hệ phép chia và phép khai phương
Bài viết về liên hệ giữa phép chia và phép khai phương giải thích về quy tắc toán học cơ bản này và cách nó được áp dụng trong giải các bài toán liên quan đến phép chia và phép khai phương. Nội dung bài viết sẽ bao gồm định nghĩa và ví dụ về phép chia và phép khai phương, cùng với cách sử dụng quy tắc liên hệ để giải các bài toán phức tạp hơn. Ngoài ra, bài viết cũng có thể cung cấp các ứng dụng của phép chia và phép khai phương trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, khoa học và kỹ thuật.
Định lí liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Định lí: Với số a không âm và số b dương, ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{b}} \ =\ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Diễn giải bằng lời: Căn bậc hai của a trên b bằng căn bậc hai của a trên căn bậc hai của b.
Ví dụ.
\(\sqrt{\frac{9}{16}} \ =\ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}\)
\(\sqrt{\frac{8}{27}} \ =\ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}\)
\(\sqrt{\frac{11}{45}} \ =\ \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{45}}\)
Áp dụng định lí liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
Quy tắc khai phương một thương
Quy tắc:
"Muốn khai phương một thương \(\mathrm{\frac{a}{b}}\), trong số đó a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai."
Ví dụ. Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính
a) \(\sqrt{\frac{9}{16}}\)
b) \(\sqrt{\frac{25}{81} \ :\ \frac{36}{121}} \ \)
Giải:
a) \(\sqrt{\frac{9}{16}} \ =\ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} \ =\ \frac{3}{4}\)
b) \(\sqrt{\frac{25}{81} \ :\ \frac{36}{121}} \ =\ \sqrt{\frac{25}{81}} \ :\ \sqrt{\frac{36}{121}} \ =\ \frac{5}{9} \ :\ \frac{6}{11} \ =\ \frac{5}{9} \ .\ \frac{11}{6} \ =\ \frac{55}{54}\)
Quy tắc:
"Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó."
Ví dụ. Tính
a) \(\ \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}} \ \)
b) \(\sqrt{\frac{144}{21}} \ :\ \sqrt{\frac{100}{21}}\)
Giải:
a) \(\ \frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}} \ =\ \sqrt{\frac{147}{3}} \ =\ \sqrt{49} \ =\ 7\)
b) \(\sqrt{\frac{144}{21}} \ :\ \sqrt{\frac{100}{21}} \ =\ \sqrt{\frac{144}{21} \ :\ \frac{100}{21}} \ =\ \sqrt{\frac{144}{21} \ .\ \frac{21}{100}} \ =\sqrt{\frac{144}{100}} \ =\ \frac{12}{10} \ =\ \frac{6}{5}\)
Ví dụ. Rút gọn biểu thức
\(\sqrt{\frac{1a^{2}}{9b^{4}}}\)
Với a và b > 0
Giải
\(\sqrt{\frac{1a^{2}}{9b^{4}}} \ =\ \frac{\sqrt{1a^{2}}}{\sqrt{9b^{4}}} \ =\ \frac{\sqrt{1} \ .\ \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{9} \ .\ \sqrt{b^{4}}} \ =\ \frac{1a}{3b}\)
Bài tập ví dụ
Bài 1. Tính
a) \(\sqrt{\frac{196}{64}} \ \)
b) \(\sqrt{\frac{36}{100}} \ \)
c) \(\sqrt{\frac{25}{4}} \ \)
Đáp án:
a) \(\sqrt{\frac{196}{64}} \ =\ \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{64}} \ =\ \frac{14}{8} \ =\ \frac{7}{4}\)
b) \(\sqrt{\frac{36}{100}} \ =\ \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} \ =\ \frac{6}{10} \ =\ \frac{3}{5}\)
c) \(\sqrt{\frac{25}{4}} \ =\ \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} \ =\ \frac{5}{2}\)
Bài 2. Tính
a) \(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}} \ \)
b) \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{432}} \ \)
c) \(\frac{\sqrt{810}}{\sqrt{10}} \ \)
Đáp án:
a) \(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}} \ =\ \sqrt{\frac{4}{64}} \ =\ \sqrt{\frac{1}{16}} \ =\ \frac{1}{4}\)
b) \(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{432}} \ =\ \sqrt{\frac{12}{432}} \ =\ \sqrt{\frac{1}{36}} \ =\ \frac{1}{6}\)
c) \(\frac{\sqrt{810}}{\sqrt{10}} \ =\ \sqrt{\frac{810}{10}} \ =\ \sqrt{81} \ =\ 9\)
Bài 3. Rút gọn biểu thức, với a và b > 0
a) \(3a\ .\ \sqrt{\frac{4}{a^{4}}}\)
b) \(\sqrt{\frac{2a^{2} b^{4}}{50}} \ \)
Đáp án:
a) \(3a\ .\ \sqrt{\frac{4}{a^{4}}} \ =\ 3a\ .\ \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{a^{4}}} \ =\ 3a\ .\ \frac{2}{a^{2}} \ =\ \frac{6a}{a^{2}} \ =\ \frac{6}{a}\)
b) \(\sqrt{\frac{2a^{2} b^{4}}{50}} \ =\ \sqrt{\frac{a^{2} b^{4}}{25}} \ =\ \frac{\sqrt{a^{2} b^{4}}}{\sqrt{25}} \ =\ \frac{ab^{2}}{5}\)