Biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai

Trong toán học, biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai là một phương pháp rất hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất đẳng thức. Biểu thức chứa căn thức bậc hai thường gây khó khăn trong việc tính toán, tuy nhiên, với việc áp dụng các công thức biến đổi phù hợp, chúng ta có thể dễ dàng đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn, giúp tiện lợi cho việc tính toán và phân tích các đặc trưng của biểu thức. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các phương pháp biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.

Đừa thừa số ra ngoài dấu căn

Để đưa thừa số ra ngoài dấu căn trong biểu thức chứa căn thức bậc hai, chúng ta áp dụng công thức sau đây:

\(\mathrm{\sqrt{A^{2} B} \ =\ A\sqrt{B}}\)

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì \(\mathrm{\sqrt{A^{2} B} \ =\ A\sqrt{B}}\)

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì \(\mathrm{\sqrt{A^{2} B} \ =-\ A\sqrt{B}}\)

Ví dụ. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

a) \(\sqrt{40} \ =\ \sqrt{4\ .\ 10} \ \ =\ \sqrt{2^{2} \ .\ 10} \ =2\ \sqrt{10}\)

b) \(\mathrm{\sqrt{9x^{4}} \ =\ \sqrt{9} \ .\ \sqrt{x^{4}}} \ =\ 3\ .\ \sqrt{\left( x^{2}\right)^{2}} \ =\ -3x^{2}\)

Dưới đây là một số công thức khác:

1. \(\mathrm{\sqrt{\frac{a}{b}} =\ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}\), với a, b là các số dương.

2. \(\mathrm{\sqrt{a\ .\ b} \ =\ \sqrt{a} \ .\ \sqrt{b}}\), với a, b là các số dương.

3. \(\mathrm{\sqrt{a^{2} \ .\ b} \ =\ a\sqrt{b}}\), với a, b là các số dương.

Luyện tập:

Rút gọn biểu thức

a) \(\sqrt{27}\) => \(\sqrt{3^3}\) => \(3\sqrt{3}\)

b) \(\sqrt{75}\)  => \(\sqrt{3^1 \cdot 5^2}\) => \(5\sqrt{3}\)

c) \(\sqrt{98}\)  => \(\sqrt{2^1 \cdot 7^2}\) =>\(7\sqrt{2}\)

d)\(\sqrt{50}\) => \(\sqrt{2^1 \cdot 5^2}\) => \(5\sqrt{2}\)

e) \(\sqrt{200}\) => \(\sqrt{2^3 \cdot 5^2}\) => \(10\sqrt{2}\)

Đưa thừa số vào trong dấu căn

Để đưa thừa số vào trong dấu căn trong biểu thức chứa căn thức bậc hai, chúng ta cần áp dụng một số công thức biến đổi phù hợp.

Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì \(\mathrm{A\sqrt{B} \ =\ \sqrt{A^{2} B}}\)

Nếu A < 0 và B ≥ 0 thì \(\mathrm{A\sqrt{B} \ =\ -\sqrt{A^{2} B}}\)

Ví dụ. Đưa thừa số vào trong dấu căn

a) \(\mathrm{7\sqrt{2} \ =\ \sqrt{7^{2} .2} \ =\ \sqrt{98}}\)

b) \(\mathrm{-4\sqrt{5} \ =\ -\sqrt{4^{2} \ .\ 5} \ =\ -\sqrt{80}}\)

Việc đưa thừa số vào trong dấu căn giúp chúng ta làm cho biểu thức gọn hơn và thuận tiện hơn trong nhiều trường hợp, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất đẳng thức.

Luyện tập

a) \(\sqrt{3}\sqrt{27}\) => \(\sqrt{3 \times 27}\) => \(\sqrt{81}\) => 9

b) \(\sqrt{6}\sqrt{48}\) => \(\sqrt{6 \times 48}\) => \(\sqrt{288}\) => \(12\sqrt{2}\)

c) \(\sqrt{7}\sqrt{14}\) => \(\sqrt{7 \times 14}\) => \(\sqrt{98}\)=> \(7\sqrt{2}\)

d) \(\sqrt{10}\sqrt{40}\) => \(\sqrt{10 \times 40}\) => \(\sqrt{400}\) => 20

e) \(\sqrt{3}\sqrt{75}\)=> \(\sqrt{3 \times 75}\) => \(\sqrt{225}\) => 15

f) \(\sqrt{5}\sqrt{32}\) => \(\sqrt{5 \times 32}\) => \(\sqrt{160}\) => \(4\sqrt{10}\)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

Để khử mẫu của biểu thức lấy căn, ta cần nhân tử số và mẫu của biểu thức với một biểu thức phù hợp sao cho mẫu của biểu thức trở thành một bình phương hoặc một số bất kỳ. Dưới đây là một số phương pháp khử mẫu của biểu thức lấy căn:

1. Nhân tử và mẫu với cùng một căn bậc hai, ví dụ như biểu thức √(a) / √(b) có thể được khử mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với căn bậc hai của b, ta có:

   √(a) / √(b) = (√(a) / √(b)) × (√(b) / √(b)) = √(a × b) / b

2. Nhân tử và mẫu với một biểu thức liên hợp, ví dụ như biểu thức (a+b) / (√(c)-d) có thể được khử mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp là (a+b) × (√(c)+d), ta có:

   (a + b) / (√(c) - d) = [(a + b) × (√(c) + d)] / [(√(c) - d) × (√(c)+d)] = (a+b) × (√(c) + d) / (c - d²)

3. Nhân tử và mẫu với phần bù của biểu thức, ví dụ như biểu thức (a+b) / (√(a)-√(b)) có thể được khử mẫu bằng cách nhân tử và mẫu với phần bù của biểu thức là (√(a)+√(b)), ta có:

   (a + b) / (√(a) - √(b)) = [(a + b) × (√(a) + √(b))] / [(√(a) - √(b)) × (√(a) + √(b))] = √(a) + √(b)

Việc khử mẫu của biểu thức lấy căn giúp cho biểu thức trở nên đơn giản hơn, dễ dàng tính toán hơn và thuận tiện trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất đẳng thức.

Luyện tập

\(\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}}\) => \(\sqrt{\frac{98}{2}}\) => \(\sqrt{49}\) => 7

\(\frac{\sqrt{63}}{\sqrt{3}}\) => \(\sqrt{\frac{63}{3}}\) => \(\sqrt{21}\)

\(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}\) => \(\sqrt{\frac{24}{6}}\) => \(\sqrt{4}\) => 2

\(\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{5}}\) => \(\sqrt{\frac{40}{5}}\) => \(\sqrt{8}\)

\(\frac{\sqrt{108}}{\sqrt{12}}\) => \(\sqrt{\frac{108}{12}}\) => \(\sqrt{9}\) => 3

Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu là một kỹ thuật trong đại số để đơn giản hóa biểu thức lấy căn bằng cách đưa mẫu về dạng tổng của hai thành phần, trong đó một thành phần không chứa căn và thành phần còn lại chứa căn.

Cụ thể, để trục căn thức ở mẫu của biểu thức lấy căn, ta cần tìm một số a sao cho:

√(m + √(n)) = a + √(p)

Với m, n, p là các số tự nhiên và a là một số thực bất kỳ. Sau đó, ta bình phương cả hai vế của phương trình này, rồi giải hệ phương trình để tìm ra các giá trị của a, m và p.

Cụ thể, các bước để trục căn thức ở mẫu của biểu thức lấy căn như sau:

1. Giả sử m + √(n) có thể biểu diễn dưới dạng (√(p) + q)², với p, q là các số tự nhiên cần tìm.

2. Từ đó, ta có: m + √(n) = p + 2q√(p) + q²

3. So sánh hệ số của căn trong hai vế của phương trình trên, ta có hệ phương trình sau:

   • q² = n
   • 2pq = 1
   • p² - mq² = 1

4. Giải hệ phương trình này để tìm ra các giá trị của p, q và m. Sau đó, ta thay p, q và m vào biểu thức ban đầu, ta sẽ thu được biểu thức đã được trục căn thức ở mẫu.

Kỹ thuật trục căn thức ở mẫu của biểu thức lấy căn rất hữu ích trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số, phương trình và bất đẳng thức.

Luyện tập

a) \(\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) => \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\) => \(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}\) => \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

b) \(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\) => \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\) => \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3}\) => \(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\)

c) \(\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\) => \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}\) => \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5}\) => \(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}\)

d) \(\frac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}\) => \(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{(\sqrt{10}-\sqrt{6})(\sqrt{10}+\sqrt{6})}\) => \(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{10-6}\) => \(\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{4}\)