Căn thức bậc hai là một trong những chủ đề toán học khiến cho nhiều bạn phải nhức đầu căng não rất nhiều. Đừng lo lắng vì bài viết sau đây sẽ hướng dẫn cho bạn cách làm thế nào để biến đổi biểu thức chứa căn nhanh gọn và rút gọn chúng để có kết quả chính xác nhất. Bên cạnh đó, chúng tôi còn mang đến những bài tập có tính ứng dụng cao để bạn luyện tập.
Lý thuyết đưa thừa số ra ngoài dấu căn
Nếu ta có là một số bất kỳ còn b là một số không âm thì \[\sqrt{a^2.b}=\left|a\right|\sqrt{b}\]. Và phép biến đổi kể trên được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn. Trong quá trình tính toán những căn bậc hai mà nếu biểu thức chứa căn lại nằm dưới mẫu thì ta có thể khử mẫu của chúng. Tức có nghĩa, bạn sẽ sử dụng phép biến đổi biểu thức chứa căn để chính căn thức đó không còn mẫu nữa.
Ví dụ: Khử mẫu biểu thức sau \[\sqrt{\frac{9}{13}\]
Giải:
Đầu tiên, ta cần nhân cả tử lẫn mẫu của biểu thức với 13 để lấy căn và đưa thừa số ra ngoài theo quy tắc trên:
\[\sqrt{\frac{9}{13}}=\sqrt{\frac{9\times 13}{13^2}}=\sqrt{(\frac{3}{13})^2\times 13}=\frac{3\sqrt{13}}{13}\]
Lý thuyết đưa thừa số vào trong dấu căn
- Nếu hai số a và b mà không âm thì \[a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\]
- Nếu a âm và b không âm thì \[a\sqrt{b}=-\sqrt{a^2b}\]
Ví dụ:
\[6\sqrt{5}=\sqrt{6^2\times 5}=\sqrt{180}\]
\[-5\sqrt{b}=-\sqrt{5^2\times b}=-\sqrt{25b},b\geq 0\]
Biến đổi biểu thức chứa căn và cách trục căn thức ở mẫu
- Với các biểu thức A, B lần lượt và B > 0, ta được \[\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}\]
- Với ba biểu thức lần lượt là A, B, C mà \[A\geq 0,B\geq 0,A\neq B^2\], ta được:
\[\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C(\sqrt{A}-B)}{A-B^2};\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C(\sqrt{A}+B)}{A-B^2}\]
- Với các biểu thức lần lượt là A, B, C mà \[A\geq 0,B\geq 0,A\neq B\], ta được:
\[\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B};\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{A-B}\]
Ví dụ minh hoạ: Hãy trục căn thức mẫu của biểu thức \[\frac{3}{4\sqrt{6}}\]
Giải: Ta nhân cả tử và mẫu cho \[\sqrt{6}\] sẽ được:
\[\frac{3}{4\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{4(\sqrt{6})^2}=\frac{3\sqrt{6}}{4\times 6}=\frac{3\sqrt{6}}{24}=\frac{\sqrt{6}}{8}\]
Cách để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai đơn giản
Để có thể rút gọn được các biểu thức chứa căn thì học sinh cần phối hợp nhuần nhuyễn các phép tính cộng, trừ, nhân và chia cùng các phép biến đổi khác đã học như đưa thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn, khử mẫu, trục căn thức,…
Ví dụ: Hãy rút gọn \[A=\sqrt{5}-\sqrt{45}+(\sqrt{(2-\sqrt{5}})^2\]
\[\sqrt{45}=\sqrt{3^2\times 5}=3\sqrt{5}\]
\[\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2 \]
\[\Rightarrow A=\sqrt{5}-3\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=-\sqrt{5}-2\]
Các dạng bài tập liên quan đến biến đổi biểu thức mà có chứa dấu căn
Sau khi hiểu được biến đổi biểu thức căn là gì, các bạn học sinh hãy củng cố thêm kiến thức của chính mình bằng cách làm nhiều dạng bài tập khác nhau. Sau đây sẽ là một vài mẫu đề có đáp án mà bạn có thể tham khảo:
Bài 1: Đưa các thừa số \[\sqrt{4\sqrt{5}-8}\] ra ngoài dấu căn
Giải:
\[\sqrt{4\sqrt{5}-8}=\sqrt{4(\sqrt{5}-2)}=\sqrt{2^2(\sqrt{7}-2)}=2\sqrt{\sqrt{7}-2}\]
Bài 2: Đưa thừa số \[3\sqrt{\frac{13}{9}\] vào trong dấu căn:
\[3\sqrt{\frac{13}{9}}=\sqrt{3^2\times\frac{13}{9}}=\sqrt{9\times\frac{13}{9}}=\sqrt{13}\]
Bài 3: Hãy trục căn thức ở mẫu của biểu thức \[\frac{5+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\]
Giải: Biểu thức liên hợp của phần mẫu sẽ là \[1+\sqrt{5}\]. Ta cần nhân cả tử và mẫu của biểu thức gốc với \[1+\sqrt{5}\], khi đó biểu thức trở thành:
\[\frac{5+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}(1+\sqrt{5})^2}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}(6+2\sqrt{5})}{1-5}=\frac{6\sqrt{5}+10}{1-5}=-\frac{6\sqrt{5}+10}{4}=-\frac{3\sqrt{5}+5}{2}\]
Bài viết trên đã mang đến toàn bộ các thông tin quan trọng về biến đổi biểu thức chứa căn. Đây là một trong những chuyên đề toán học mà bạn cần dành nhiều thời gian để học và ôn luyện thì mới nắm vững được kiến thức. Mong rằng những thông tin mà chúng tôi mang đến sẽ giúp cho quá trình học tập của bạn suôn sẻ và đạt được kết quả đáng mong đợi.