Căn bậc hai
Căn bậc hai là một khái niệm toán học được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ tính toán đơn giản đến khoa học và kỹ thuật. Trong toán học, căn bậc hai của một số dương được định nghĩa là một số dương duy nhất mà bình phương của nó bằng với số ban đầu. Việc tính căn bậc hai có thể được thực hiện bằng nhiều phương pháp khác nhau, từ tính toán thủ công đến sử dụng máy tính hoặc các công cụ tính toán khác.Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về khái niệm căn bậc hai, các phương pháp tính căn bậc hai.
Căn bậc hai là gì?
Căn bậc hai của một số là một giá trị mà khi nhân với chính nó sẽ cho số ban đầu. Nó được biểu diễn dưới dạng toán học là √x, trong đó x là số có căn bậc hai đang được xét. Căn bậc hai của một số có thể dương hoặc âm, nhưng căn bậc hai dương thường được sử dụng. Ví dụ, căn bậc hai của 81 là 9, vì 9 × 9 = 81.
Dưới đây là một số ví dụ về căn bậc hai:
- Căn bậc hai của 9 là 3, vì 3 × 3 = 9.
- Căn bậc hai của 16 là 4, vì 4 × 4 = 16.
- Căn bậc hai của 1 là 1, vì 1 × 1 = 1.
- Căn bậc hai của 144 là 12, vì 12 × 12 = 144.
Lưu ý rằng một số số có căn bậc hai không thể biểu thị chính xác dưới dạng phân số hoặc số thập phân. Chẳng hạn, căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ và cách biểu diễn số thập phân của nó cứ thế diễn ra mãi mãi không lặp lại.
Cách tìm căn bậc hai
Có một số phương pháp để tìm căn bậc hai của một số:
- Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố: Phương pháp này liên quan đến việc tìm ra thừa số nguyên tố của một số và sau đó ghép nối các thừa số để xác định căn bậc hai.
- Phương pháp chia dài: Phương pháp này liên quan đến việc chia số cho ước tính của căn bậc hai và sau đó tinh chỉnh ước tính bằng cách lấy trung bình thương và số chia.
- Phương pháp Newton-Raphson: Phương pháp này sử dụng quy trình lặp lại để tính gần đúng căn bậc hai bằng cách liên tục tinh chỉnh ước tính ban đầu.
- Máy tính: Bạn cũng có thể sử dụng máy tính khoa học để tìm căn bậc hai của một số bằng cách sử dụng nút "√".
Đối với các số chính phương (số có căn bậc hai là số hữu tỷ), các phương pháp này có thể được sử dụng để tìm căn bậc hai chính xác. Đối với các số khác, các phương pháp này có thể được sử dụng để tính gần đúng căn bậc hai với mức độ chính xác mong muốn.
Ví dụ:
a) Dưới đây là một ví dụ về việc tìm căn bậc hai của một số bằng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố:
Tìm căn bậc hai của 196:
Phân tích một số thành các thừa số nguyên tố của nó: 196 = 14 × 14
Ghép hai thừa số thành hai, nếu có thể: 14 × 14 = 2 × 2 × 7 × 7
Lấy căn bậc hai của mỗi thừa số, nhớ rằng căn bậc hai của một số chính phương là một số nguyên: √196 = √(2 × 2 × 7 × 7) = 2 × √(7 × 7) = 2 × 7 = 14
Do đó, căn bậc hai của 196 là 14.
Lưu ý rằng phương pháp này chỉ hoạt động đối với các số chính phương, tức là các số có căn bậc hai là số hữu tỉ. Đối với các số khác, căn bậc hai không thể được biểu thị dưới dạng phân số và sẽ là một số vô tỉ.
b) Dưới đây là một ví dụ về việc tìm căn bậc hai bằng phương pháp chia dài:
Tìm căn bậc hai của 50:
Ước tính căn bậc hai của 50. Một ước tính tốt là từ 7 đến 8.
Chia 50 cho ước lượng (7).
Trung bình thương và số chia để có ước tính mới.
Ước tính mới là (7 + \(\frac{50}7\)) : 2 = 7,14.
Lặp lại bước 2 và 3, sử dụng ước tính mới làm ước số. Sau một vài lần lặp lại, bạn sẽ nhận được ước tính chính xác hơn về căn bậc hai của 50.
Tiếp tục tinh chỉnh ước tính cho đến khi bạn đạt được mức độ chính xác mong muốn. Căn bậc hai của 50 xấp xỉ 7,071.
Căn bậc hai của 2
Căn bậc hai của 2 là một số vô tỷ, có nghĩa là nó không thể được biểu diễn chính xác dưới dạng phân số hoặc số thập phân lặp lại. Biểu diễn số thập phân của nó cứ thế diễn ra mãi không lặp lại nên nó không phải là số hữu tỉ.
Điều này lần đầu tiên được chứng minh bởi nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras, người đã chỉ ra rằng đường chéo của một hình vuông đơn vị (có cạnh dài bằng 1) có độ dài vô tỉ. Độ dài này là căn bậc hai của 2.
Căn bậc hai của 2 được biểu thị bằng √2 ở dạng căn và (2)1/2 hoặc (2)0,5 ở dạng số mũ. Căn bậc hai của 2 được làm tròn đến 10 chữ số thập phân là 1,4142135624. Đó là nghiệm dương của phương trình x2 = 2.
Căn bậc hai của 2: 1,4142135623730951
Căn bậc hai của 2 ở dạng mũ: (2)1/2 hoặc (2)0,5
Căn bậc hai của 2 ở dạng căn: √2
Bài tập
Tìm căn bậc hai của của một số
a) Tìm căn bậc hai của 144
Hướng dẫn
Căn bậc hai của 144 có thể tìm được bằng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố:
144 = 12 × 12
Vậy căn bậc hai của 144 là 12
b) Tìm căn bậc hai của 169:
Hướng dẫn:
Căn bậc hai của 169 là một số vô tỷ, nhưng nó có thể tính gần đúng.
Một ước tính tốt có thể được tìm thấy bằng cách tìm căn bậc hai của số chính phương gần nhất, là 144.
Căn bậc hai của 144 là 12.
Do đó, căn bậc hai của 169 nằm trong khoảng từ 12 đến 13.
Để ước tính chính xác hơn, bạn có thể sử dụng phương pháp chia dài hoặc phương pháp Newton-Raphson.
c) Tìm căn bậc hai của 0,25:
Hướng dẫn:
Căn bậc hai của 0,25 là 0,5.
Để thấy điều này, bạn có thể coi nó là căn bậc hai của 1/4.
Căn bậc hai của 1/4 là 1/2.