Trong chương trình toán khối THCS, việc chia đa thức với đơn thức là một kỹ năng cơ bản nhưng cực quan trọng, giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về phép chia trong đại số. Vậy làm sao để thực hiện phép chia này một cách hiệu quả và nhanh chóng nhất? Hãy theo dõi bài viết dưới đây để khám phá quy tắc và từng bước giải quyết phép chia đa thức cho một đơn thức nhé!
1. Hướng dẫn cách chia đa thức với đơn thức
Thông thường, phép chia này xuất hiện trong nhiều dạng bài như giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nào đó hay rút gọn biểu thức. Theo đó, để thực hiện đúng và nhanh phép chia đa thức cho đơn thức, bạn cần nắm vững quy tắc cũng như thao tác từng bước một cách cẩn thận.
1.1. Nguyên tắc cơ bản
Để chia một đa thức cho một đơn thức nào đó, chúng ta cần áp dụng ngay quy tắc chia từng hạng tử của đa thức đã cho với đơn thức đó. Điều này có nghĩa là, mỗi hạng tử (tức mỗi số hạng có chứa thêm biến nằm trong một đa thức) sẽ được đem chia riêng lẻ với đơn thức. Sau đó, ta sẽ tiến hành cộng (hoặc trừ) kết quả lại với nhau để tìm ra kết quả cuối cùng.
Tuy nhiên, để quá trình chia được diễn ra một cách trơn tru, bạn cần phải đảm bảo rằng đơn thức được dùng để chia phải khác 0 (vì chúng ta không được phép chia cho 0 trong toán học). Ngoài ra, các biến cũng như số mũ phải được xử lý theo đúng quy tắc khi chia.
1.2. 3 Bước giải quyết phép chia đa thức với đơn thức
Nếu muốn tính toán phép chia này một cách chuẩn xác, bạn có thể tham khảo việc thực hiện đúng theo các bước sau:
- Bước 1 – Kiểm tra tính hợp lệ của phép chia: Trước tiên, bạn phải chắc chắn rằng đơn thức dùng để chia khác với 0. Nếu đơn thức đã cho là 0 thì phép chia sẽ không xác định và chẳng thể thực hiện.
- Bước 2 – Chia riêng lẻ từng hạng từ: Tiếp theo, bạn hãy lấy từng hạng tử nằm trong đa thức đã cho chia cho đơn thức. Tuy nhiên, mỗi phép chia đều phải được tiến hành như chia hai đơn thức với nhau, trong đó:
- Hệ số chia cho hệ số.
- Chia các biến dựa trên quy tắc: \[ x^{a}:x^{b}=x^{a-b}\] (nếu a>b)
- Trường hợp đơn thức và các hạng tử của đa thức có chứa nhiều biến, ta thực hiện phép chia cho từng biến cùng loại, sau đó mới nhân các kết quả vừa thu được để tạo thành đơn thức mới.
- Bước 3 – Viết kết quả: Sau khi chia xong tất cả các hạng tử, bạn hãy viết lại kết quả dưới dạng một đa thức hoàn toàn mới – đây cũng chính là kết quả cuối cùng của phép chia đa thức cho đơn thức.
2. Các dạng bài tập thường gặp về phép chia đa thức với đơn thức
Khi học về phép chia này, các em học sinh sẽ thường gặp một số dạng bài quen thuộc. Đương nhiên, mỗi dạng đều có phương pháp giải đặc trưng, đòi hỏi người học phải nắm vững quy tắc chia từng hạng tử và xử lý biến số đúng cách. Dưới đây là 3 dạng bài tiêu biểu cùng hướng dẫn cụ thể và ví dụ minh họa mà bạn có thể tham khảo:
2.1. Dạng 1: Thực hiện phép chia
Có thể nói rằng, đây là dạng cơ bản và trực tiếp nhất, thường xuất hiện đầu tiên trong các bài tập luyện tập về phép chia này. Theo đó, nhiệm vụ chính của bạn là giải phép chia cho trước rồi rút gọn kết quả nếu có thể. Tất nhiên, để giải quyết nhanh dạng bài “Thực hiện phép chia”, bạn chỉ có thể áp dụng đúng hướng dẫn chia đa thức cùng với đơn thức mà chúng tôi đã đề cập chi tiết ở phần trên.
Ví dụ: Thực hiện phép chia:
- a) \[\left(3(x-y)^{2}-2(x-y)^{3}\right):(x-y)^{2}\]
- b) \[\left(2(x+y)^{3}+(x^{2}+y^{2}+2xy)\right):(x+y)\]
- c) \[\left(\left(18x^{4}y^{3}-24x^{3}y^{4}+12x^{3}y^{3}\right)\right):(3x^{2}y^{3})\]
- d) \[\left[4(x-y)^{5}+2(x-y)^{3}-3(x-y)^{2}\right]:(x-y)^{2}\]
Lời giải:
- a) \[\left(3(x-y)^{2}-2(x-y)^{3}\right):(x-y)^{2}\]
\[=3(x-y)^{2}:(y-x)^{2}-2(x-y)^{3}:(x-y)^{2}\]
\[=3-2(x-y)\]
- b) \[\left(2(x+y)^{3}+(x^{2}+y^{2}+2xy)\right):(x+y)\]
\[=\left(2(x+y)^{3}+(x+y)^{2}\right):(x+y)\]
\[=2(x+y)^{3}:(x+y)+(x+y)^{2}:(x+y)\]
\[=2(x+y)^{2}:(x+y)\]
- c) \[\left(\left(18x^{4}y^{3}-24x^{3}y^{4}+12x^{3}y^{3}\right)\right):(3x^{2}y^{3})\]
\[=18x^{4}y^{3}:(3x^{2}y^{3})-24x^{3}y^{4}:(3x^{2}y^{3})+12x^{3}y^{3}:(3x^{2}y^{3})\]
\[=6x^{2}-8xy+4x\]
- d) \[\left[4(x-y)^{5}+2(x-y)^{3}-3(x-y)^{2}\right]:(x-y)^{2}\]
\[=4(x-y)^{5}:(x-y)^{2}+2(x-y)^{3}:(x-y)^{2}-3(x-y)^{2}:(x-y)^{2}\]
\[=4(x-y)^{3}+2(x-y)-3\]
2.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Khi nhắc đến chuyên đề toán “chia đa thức với đơn thức“, sẽ thật thiếu sót nếu ta bỏ qua dạng toán rút gọn biểu thức. Đối với dạng bài này, phép chia được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức phức tạp, nhằm đưa về dạng ngắn gọn hơn. Tất nhiên, bạn cũng cần dùng đến kiến thức về cách chia đa thức cho một đơn thức khi giải bài tập.
Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:
- a) \[A=\frac{8x^{3}y-4x^{2}y^{2}+12xy}{4xy}\]
- b) \[B=\frac{15a^{4}b-30a^{3}b^{2}+45a^{2}b^{3}}{15a^{2}b}\]
- c) \[C=\frac{6x^{2}-12x+18}{3}\]
- d) \[D=\frac{10mn^{2}-20m^{2}n+30n^{3}}{5n}\]
Lời giải:
| \[A=\frac{8x^{3}y-4x^{2}y^{2}+12xy}{4xy}\] | Ta thực hiện như sau:
Vậy biểu thức rút gọn là: \[A=2x^{2}-xy+3\] |
| \[B=\frac{15a^{4}b-30a^{3}b^{2}+45a^{2}b^{3}}{15a^{2}b}\] | Ta thực hiện như sau:
Vậy biểu thức rút gọn là: \[B=a^{2}-2ab+3b^{2}\] |
| \[C=\frac{6x^{2}-12x+18}{3}\] | Ta thực hiện như sau:
Vậy biểu thức rút gọn là: \[C=2x^{2}-4x+6\] |
| \[D=\frac{10mn^{2}-20m^{2}n+30n^{3}}{5n}\] | Ta thực hiện như sau:
Vậy biểu thức rút gọn là: \[D=2mn-4m^{2}+6n^{2}\] |
2.3. Dạng 3: Tính giá trị biểu thức
Ngoài những dạng bài ở trên, tính giá trị của biểu thức cũng khá phổ biến. Theo đó, kiểu bài tập thế này đòi hỏi người làm phải biết cách kết hợp cả kỹ năng chia đa thức với đơn thức và thay số. Phương pháp chi tiết:
- Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức đúng theo các bước đã học ở phần 1.
- Bước 2: Sau khi chia xong, thay giá trị đã cho của biến vào trong biểu thức kết quả.
- Bước 3: Tính toán cẩn thận để tìm ra đáp án chuẩn xác. Khi làm bài, bạn hãy nhớ áp dụng đúng quy tắc thứ tự thực hiện phép tính để không bị sai.
Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức sau:
- a) E = \[\left(6x^{3}-3x^{2}+9x\right):3x\] với x = 2.
- b) \[F=\left(10a^{2}-5a\right):5a\] với a = 1.
- c) \[G=(15x^{2}y-6xy):3xy\] với x = 1, y = 2.
- d) \[H=(12m^{3}n^{2}-6m^{2}n^{3}):6mn\] với m = 2, n = 1.
Lời giải:
- a) \[E=\left(6x^{3}-3x^{2}+9x\right):3x\]
\[=6x^{3}:3x-3x^{2}:3x+9x:3x\]
\[=2x^{2}-x+3\]
Thay x = 2 vào biểu thức \[=2x^{2}-x+3\], ta được: 8 – 2 + 3 = 9
- b) \[F=\left(10a^{2}-5a\right):5a\]
\[=10a^{2}:5a-5a:5a\]
\[=5a-1\]
Thay a = 1 vào biểu thức \[=5a-1\], ta được: 2.(1) – 1 = 1
- c) \[G=(15x^{2}y-6xy):3xy\]
\[=15x^{2}y:3xy-6xy:3xy \]
\[=5x-2\]
Thay x = 1, y = 2 vào biểu thức \[=5x-2\], ta được: 5.(1) – 2 = 3
- d) \[H=(12m^{3}n^{2}-6m^{2}n^{3}):6mn\]
\[12m^{3}n^{2}:6mn-6m^{2}n^{3}:6mn\]
\[2m^{2}n-mn^{2}\]
Thay m = 2, n = 1 vào biểu thức \[2m^{2}n-mn^{2}\], ta được: \[2.2^{2}.1-2.1^{2}=8-2=6\]
3. Bài tập vận dụng
Sau khi đã nắm vững phần lý thuyết, bạn có thể thử thực hành một số bài tập vận dụng để củng cố kiến thức:
Bài tập 1: Thực hiện phép chia:
- a) \[4(x+3y)^{3}:(3x+9y)\]
- b) \[\left(x^{^{3}}+27y^{3}\right):(3y+x)\]
- c) \[\left(2xy^{3}+4x^{2}y^{2}\right):xy\]
- d) \[\left(3x^{2}y^{2}-x^{3}y^{2}+5x^{2}y\right):\frac{xy}{2}\]
Bài tập 2: Rút gọn biểu thức:
- a) \[\frac{4x^{3}+8x^{2}}{2x}\]
- b) \[\frac{18a^{2}b-12ab^{2}+6b^{3}}{6b}\]
- c) \[\frac{10x^{4}y^{2}-5x^{3}y+15x^{2}y^{3}}{5xy}\]
- d) \[\frac{9m^{2}n^{3}-6mn^{2}+3n}{3n}\]
Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức:
- a) Cho x = 2, tính \[\left(4x^{2}+8x\right):2x\]
- b) Cho a = -1, b = 2, tính \[\left(6a^{2}b-12ab^{2}+18b^{3}\right):6b\]
- c) Cho x = 1, y = 3, tính \[\left(9x^{2}y-18xy^{2}+27y^{3}\right):3y\]
- d) Cho m = 2, n = -1, tính \[\left(16mn^{2}-8m^{2}n+24n^{3}\right):4n\]
Đáp án:
- Bài tập 1:
- a) \[\frac{4}{3}(x+3y)^{2}\]
- b) \[x^{2}-3xy+9y^{2}\]
- c) \[2y^{2}+4xy\]
- d) \[6xy-2x^{2}y+10x\]
- Bài tập 2:
- a) \[2x^{2}+4x\]
- b) \[3ab-2a+b^{2}\]
- c) \[2x^{3}y-x^{2}+3xy^{2}\]
- d) \[3mn^{2}-2m+1\]
- Bài tập 3: a) 8, b) 17, c) 66, d) -10.
Chia đa thức với đơn thức là một trong những kỹ năng đặc biệt cần thiết để các em học sinh tiếp cận dễ dàng với nhiều dạng bài tập phức tạp hơn. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã thành thạo phương pháp giải nhanh và chuẩn xác phép chia này rồi nhé!