Chia đa thức với đơn thức

Trong đại số, phép chia đa thức cho đơn thức là một trong những kỹ thuật cơ bản giúp chúng ta phân tích và giải các bài toán liên quan đến đa thức. Việc áp dụng phép chia đa thức cho đơn thức đòi hỏi phải nắm vững quy tắc và thao tác một cách chính xác để thu được kết quả chính xác nhất. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về quy tắc chia đa thức cho đơn thức, cùng với các bước thực hiện phép chia này, từ đó giúp các bạn nắm vững và sử dụng thành thạo trong giải toán đại số.

Đơn thức và đa thức

Trong toán học, một đơn thức là một biểu thức toán học chỉ gồm một số lần lũy thừa và hệ số của một biến.

Ví dụ, 3x, 4x², và 5y³ đều là đơn thức.

Một đơn thức là một biểu thức đại số gồm một hệ số nhân với một hay nhiều biến, trong đó mỗi biến chỉ có một số mũ cố định. Ví dụ về đơn thức có thể là:

• 3x: Đây là một đơn thức với hệ số là 3 và số mũ của biến x là 1.
• 2y²: Đây là một đơn thức với hệ số là 2 và số mũ của biến y là 2.
• 5z³: Đây là một đơn thức với hệ số là 5 và số mũ của biến z là 3.

Một đơn thức có thể có nhiều hơn một biến, ví dụ:

• 4xy: Đây là một đơn thức với hệ số là 4, số mũ của biến x là 1 và số mũ của biến y là 1.
• 2x²y³: Đây là một đơn thức với hệ số là 2, số mũ của biến x là 2 và số mũ của biến y là 3.

Đơn thức thường được sử dụng trong đại số và giải tích để biểu diễn các hàm số và phương trình.

Một đa thức là tổng của các đơn thức với hệ số và lũy thừa khác nhau của một biến.

Một đa thức là một biểu thức đại số gồm một hay nhiều đơn thức được cộng và trừ với nhau.

Ví dụ về đa thức có thể là:

• 3x² - 5x + 2: Đây là một đa thức với ba đơn thức: 3x², -5x và 2.
• 2y³ + 4y² - y + 7: Đây là một đa thức với bốn đơn thức: 2y³, 4y², -y và 7.
• x⁴ + 2x³y² - 3xy³ + 2x - 1: Đây là một đa thức với năm đơn thức: x⁴, 2x³y², -3xy³, 2x và -1.

Đa thức cũng được sử dụng rộng rãi trong đại số và giải tích để biểu diễn các hàm số và phương trình.

Đa thức có thể có nhiều hơn một biến, ví dụ như x²y + 3xy² + 2y³.

Trong đa thức, các đơn thức thường được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của số lũy thừa của biến.

Chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức là một phương pháp trong đại số để chia một đa thức bởi một đơn thức, tức là phân tích đa thức thành tích của đơn thức và một đa thức khác có bậc thấp hơn. Quy tắc chia đa thức cho đơn thức bao gồm các bước sau:

1. Sắp xếp các đơn thức trong đa thức theo thứ tự giảm dần của số lũy thừa của biến.

2. Lấy đơn thức chia làm mẫu và chia cho đơn thức đầu tiên của đa thức bằng cách chia hệ số của đơn thức chia cho hệ số của đơn thức đầu tiên của đa thức.

3. Nhân kết quả bước 2 với đơn thức chia và trừ kết quả khỏi đa thức ban đầu để thu được một đa thức mới.

4. Lặp lại các bước 2 và 3 với đa thức mới để tiếp tục chia cho đơn thức tiếp theo, lặp lại cho đến khi không thể chia được nữa.

5. Kết quả cuối cùng là tổng của các phần thương được thu được trong quá trình chia và số dư.

Ví dụ:

Chia đa thức 6x³ - 11x² + 6x - 1 cho đơn thức x - 1

• Đơn thức chia là x - 1
• Chia hệ số của đơn thức chia (1) cho hệ số của đơn thức đầu tiên của đa thức (6), ta được 1/6
• Nhân 1/6 với x, ta được 1/6x
• Nhân 1/6x với đơn thức chia x - 1, ta được 1/6x² - 1/6x
• Trừ kết quả ở bước trên khỏi đa thức ban đầu, ta được 11/6x² + 7/6x - 1
• Lặp lại các bước trên cho đa thức mới 11/6x² + 7/6x - 1 để chia cho đơn thức x - 1
• Kết quả cuối cùng là 6x² + x - 1 và số dư là 0.

Luyện tập

Thực hiện phép tính (2x³ - 5x² + 3x - 7) : x²

Để thực hiện phép tính này, ta sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức như sau:

Bước 1: Sắp xếp các đơn thức trong đa thức theo thứ tự giảm dần của số lũy thừa của biến.

Bước 2: Lấy đơn thức đầu tiên của đa thức và chia cho đơn thức x², sau đó nhân kết quả được thu được với đơn thức x² để tìm được đa thức tương ứng.

Bước 3: Trừ đa thức vừa tìm được từ đa thức ban đầu và lặp lại các bước trên cho đến khi không thể chia được nữa.

Áp dụng vào phép tính (2x³ - 5x² + 3x - 7) : x², ta có:

Bước 1: Các đơn thức trong đa thức đã được sắp xếp theo thứ tự giảm dần của số lũy thừa của biến.

Bước 2: Lấy đơn thức đầu tiên của đa thức 2x³ và chia cho đơn thức x², ta có:

2x³ : x² = 2x^(3-2) = 2x

Sau đó, nhân kết quả được thu được với đơn thức x² để tìm được đa thức tương ứng:

2x(x²) = 2x³

Bước 3: Trừ đa thức vừa tìm được (2x³) từ đa thức ban đầu (2x³ - 5x² + 3x - 7), ta được:

(-5x² + 3x - 7)

Tiếp tục lặp lại các bước trên với đa thức mới (-5x² + 3x - 7).

Lấy đơn thức đầu tiên (-5x²) của đa thức mới (-5x² + 3x - 7) và chia cho đơn thức x^2, ta có:

-5x² : x² = -5x^(2-2) = -5

Sau đó, nhân kết quả được thu được với đơn thức x^2 để tìm được đa thức tương ứng:

-5(x²) = -5x²

Trừ đa thức tương ứng (-5x²) từ đa thức mới (-5x² + 3x - 7), ta được:

(3x - 7)

Không thể chia được nữa, vì đơn thức 3x không chia hết cho đơn thức x².

Vậy kết quả của phép tính (2x³ - 5x² + 3x - 7) : x² là:

2x - 5 + (3x/x²) = 2x - 5 + (3x - 7)/x².