Đồ thị của hàm số y=ax+b (a≠0)

Hàm số y = ax + b là một trong những hàm số cơ bản trong đại số và toán học. Nó là một hàm số bậc nhất (linear function), có dạng đơn giản nhất là y = x + b nếu a = 1. Hàm số này có thể mô tả được nhiều hiện tượng trong cuộc sống, chẳng hạn như quãng đường một vật di chuyển trong một đoạn thời gian với vận tốc đều, hoặc giá cả của một sản phẩm trong một thời điểm cụ thể. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đồ thị của hàm số y = ax + b, cùng các tính chất cơ bản của nó.

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a≠0)

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a≠0) là một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ Oxy, với b là khoảng cách từ đường thẳng đến trục hoành và a là độ dốc của đường thẳng.

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b, ta cần chọn một số giá trị của x, tính toán tương ứng giá trị y bằng cách sử dụng phương trình của hàm số, và kết nối các điểm tìm được bằng đường thẳng. Đường thẳng này sẽ đi qua điểm (0, b) và có độ dốc a.

Khi a > 0, đường thẳng sẽ nghiêng sang phải và khi a < 0, đường thẳng sẽ nghiêng sang trái. Khi b > 0, đường thẳng sẽ cách trục hoành một khoảng b về phía trên, và khi b < 0, đường thẳng sẽ cách trục hoành một khoảng -b về phía dưới.

Đồ thị của hàm số y = ax + b là một công cụ hữu ích để phân tích và hiểu tính chất của hàm số bậc nhất, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến đường thẳng và tốc độ thay đổi.

Ví dụ:

Giả sử có hàm số y = 2x + 1, ta cần tìm đồ thị của hàm số này trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Để vẽ đồ thị, ta chọn một số giá trị của x và tính toán giá trị tương ứng của y bằng cách sử dụng phương trình của hàm số. Ví dụ, ta chọn x = -2, -1, 0, 1, 2 và tính giá trị tương ứng của y như sau:

• Khi x = -2, y = 2(-2) + 1 = -3
• Khi x = -1, y = 2(-1) + 1 = -1
• Khi x = 0, y = 2(0) + 1 = 1
• Khi x = 1, y = 2(1) + 1 = 3
• Khi x = 2, y = 2(2) + 1 = 5

Sau đó, ta kết nối các điểm tìm được bằng đường thẳng. Đường thẳng này sẽ đi qua điểm (0, 1) và có độ dốc là 2. 

Cách vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a≠0)

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a≠0) trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm theo các bước sau:

1. Chọn một số giá trị của x, ví dụ -2, -1, 0, 1, 2,...
2. Sử dụng phương trình của hàm số để tính toán giá trị tương ứng của y cho các giá trị x đã chọn.
3. Sử dụng các cặp giá trị (x, y) đã tính được để vẽ các điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
4. Kết nối các điểm bằng đường thẳng.

Lưu ý:

Hàm số y = ax + b là một hàm số bậc nhất, nên đồ thị của nó sẽ là một đường thẳng. Độ dốc của đường thẳng này là hệ số a, còn hệ số b là hoành độ của điểm cắt trục tung.

Ví dụ:

Để vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + 1, ta có thể chọn các giá trị của x như -2, -1, 0, 1, 2 và tính toán giá trị tương ứng của y như sau:

• Khi x = -2, y = 2(-2) + 1 = -3
• Khi x = -1, y = 2(-1) + 1 = -1
• Khi x = 0, y = 2(0) + 1 = 1
• Khi x = 1, y = 2(1) + 1 = 3
• Khi x = 2, y = 2(2) + 1 = 5

Sau đó, ta kết nối các điểm tìm được bằng đường thẳng. Đường thẳng này sẽ đi qua điểm (0, 1) và có độ dốc là 2. Khi vẽ đồ thị, ta thu được một đường thẳng nghiêng sang phải và cách trục hoành một khoảng 1 về phía trên.

Luyện tập

Hãy vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a≠0) và trả lời các câu hỏi sau:

a) Khi a > 0, đồ thị của hàm số có hướng đi lên hay hướng đi xuống?

b) Khi a < 0, đồ thị của hàm số có hướng đi lên hay hướng đi xuống?

c) Điểm cắt trục tung của đồ thị là gì?

d) Điểm cắt trục hoành của đồ thị là gì?

e) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số là gì?

e) Đường thẳng vuông góc với đồ thị hàm số là gì?

g) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [x1, x2].

Giải đáp:

Vẽ đồ thị:

a) Khi a > 0, đồ thị của hàm số hướng đi lên.

b) Khi a < 0, đồ thị của hàm số hướng đi xuống.

c) Điểm cắt trục tung của đồ thị là b, vì khi x = 0, ta có y = ax + b = b.

d) Điểm cắt trục hoành của đồ thị là (-b/a, 0), vì khi y = 0, ta có ax + b = 0, suy ra x = -b/a.

e) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình y = k (với k là hằng số).

f) Đường thẳng vuông góc với đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình y = -(1/a)x + c (với c là hằng số).

g) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [x1, x2] là max{ax + b | x1 ≤ x ≤ x2}, và giá trị nhỏ nhất là min{ax + b | x1 ≤ x ≤ x2}. Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, ta chỉ cần tính giá trị của hàm số tại x1 và x2, và so sánh chúng với các giá trị của hàm số tại các điểm cực trị của hàm số trên đoạn [x1, x2] (nếu có).