Hàm số. Hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là một trong những khái niệm cơ bản của đại số và toán học. Nó là loại hàm số đơn giản nhất trong đại số, được biểu diễn bằng một phương trình có dạng y = ax + b, trong đó a và b là hai số hữu tỉ và a khác 0. Hàm số bậc nhất thường được sử dụng để mô hình hóa các mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến số. Nó cũng là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng của học sinh phổ thông khi bắt đầu học môn toán học trung học cơ sở.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các tính chất của hàm số bậc nhất, ví dụ cụ thể và bài tập luyện tập để giúp bạn nắm vững kiến thức này.

Hàm số là gì?

Hàm số là một quan hệ toán học giữa hai tập hợp các số, thường được ký hiệu dưới dạng y = f(x), trong đó x và y là các biến số và f là một quy luật hay công thức mà mỗi giá trị của x tương ứng với một giá trị của y.

Một cách đơn giản, hàm số có thể hiểu là một quy trình đưa vào một giá trị x và trả ra một giá trị y tương ứng. Chẳng hạn, hàm số f(x) = x² đưa vào giá trị x = 2 sẽ trả ra giá trị y = 4.

Hàm số có nhiều ứng dụng trong toán học, khoa học, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác. Chúng được sử dụng để mô tả các quy luật tổng quát trong thiên nhiên, xác định các mô hình toán học và dự báo các xu hướng.

Khái niệm về hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất là loại hàm số có dạng chung là: f(x) = ax + b với a và b là các hằng số, a khác 0.

Trong đó:

• a được gọi là hệ số góc của đường thẳng biểu diễn hàm số, cho biết mức độ thay đổi của hàm số theo trục x.
• b được gọi là hệ số tự do, cho biết vị trí cắt trục y của đường thẳng biểu diễn hàm số.

Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng, mỗi điểm trên đường thẳng đại diện cho một cặp giá trị của (x, f(x)), trong đó x là biến số và f(x) là giá trị của hàm số tại x.

Hàm số bậc nhất là một trong những khái niệm cơ bản của đại số và được sử dụng rất nhiều trong thực tiễn. Ví dụ, trong kinh doanh, chúng ta có thể sử dụng hàm số bậc nhất để mô hình hóa quá trình tăng trưởng doanh thu của một công ty theo thời gian. Ngoài ra, hàm số bậc nhất còn được sử dụng trong các bài toán về đường thẳng, quy hoạch tuyến tính, và các môn học khác như vật lý, hóa học, và kinh tế học.

Ví dụ:

a) Cho hàm số f(x) = 2x + 1.

Đây là một hàm số bậc nhất vì bậc của biểu thức là 1 (chỉ có một biến số x và không có bất kỳ phép toán lũy thừa, căn bậc hai, hay bất kỳ phép toán nào khác được áp dụng trên x).

Hệ số góc của hàm số là 2, cho biết rằng hàm số tăng dần khi x tăng.

Hệ số tự do của hàm số là 1, cho biết rằng đường thẳng biểu diễn hàm số cắt trục y tại điểm (0,1).

b) Cho hàm số g(x) = -0.5x + 4.

Đây là một hàm số bậc nhất với hệ số góc âm, cho biết rằng hàm số giảm dần khi x tăng.

Hệ số tự do là 4, cho biết rằng đường thẳng biểu diễn hàm số cắt trục y tại điểm (0,4).

Tính chất của hàm số bậc nhất

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của hàm số bậc nhất:

• Hàm số bậc nhất là một đường thẳng: Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đường thẳng, mỗi điểm trên đường thẳng đại diện cho một cặp giá trị của (x, f(x)), trong đó x là biến số và f(x) là giá trị của hàm số tại x.

• Hệ số góc của đường thẳng biểu diễn hàm số cho biết mức độ thay đổi của hàm số theo trục x: Giá trị của hệ số góc a của đường thẳng biểu diễn hàm số cho biết mức độ thay đổi của hàm số theo trục x. Nếu a > 0, thì hàm số tăng dần theo x. Ngược lại, nếu a < 0, thì hàm số giảm dần theo x. Nếu a = 0, thì hàm số là hằng số.

• Hệ số tự do của đường thẳng biểu diễn hàm số cho biết vị trí cắt trục y của đường thẳng: Hệ số tự do b của hàm số bậc nhất là giá trị của hàm số tại điểm cắt trục y.

• Hai điểm trên đường thẳng biểu diễn hàm số đều có cùng giá trị của hàm số khác 0 nếu và chỉ nếu chúng cùng nằm về một phía của điểm cắt trục y: Điều này có nghĩa là nếu hai điểm trên đường thẳng có giá trị f(x1) và f(x2) khác 0 và cùng dấu, thì chúng nằm về cùng một phía của điểm cắt trục y.

• Hai đường thẳng biểu diễn hai hàm số bậc nhất khác nhau sẽ song song nếu và chỉ nếu chúng có cùng hệ số góc: Nếu hai hàm số bậc nhất có đồ thị là hai đường thẳng khác nhau và chúng đều có hệ số góc là a thì hai đường thẳng đó sẽ song song với nhau.

Các tính chất trên là rất quan trọng để hiểu và ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số bậc nhất.

Luyện tập

a) Cho hàm số f(x) = 3x - 5, tính giá trị của f(2).

b) Cho hàm số g(x) = -2x + 7, tính giá trị của x khi g(x) = 3.

c) Cho hàm số h(x) = 4x + 2, tìm giao điểm của đường thẳng biểu diễn hàm số với trục hoành.

d) Cho hai điểm A(1,3) và B(4,7), tìm hàm số của đường thẳng AB.

e) Cho hàm số k(x) = 2x - 1, tìm hàm số của đường thẳng song song với đường thẳng biểu diễn hàm số k và cắt trục y tại điểm (0,3).

Giải thích:

a) Để tính giá trị của hàm số f(x) = 3x - 5 khi x = 2, ta thay x = 2 vào biểu thức và tính toán: f(2) = 3(2) - 5 = 1.

b) Để tìm giá trị của x khi g(x) = 3, ta giải phương trình -2x + 7 = 3 để tìm x: -2x = -4 => x = 2.

c) Để tìm giao điểm của đường thẳng biểu diễn hàm số h với trục hoành, ta đặt h(x) = 0 và giải phương trình để tìm giá trị của x:

4x + 2 = 0 => x = -0.5

Do đó, giao điểm của đường thẳng h với trục hoành là điểm (-0.5,0).

d) Để tìm hàm số của đường thẳng AB, ta tính hệ số góc của đường thẳng AB bằng công thức:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (7 - 3)/(4 - 1) = 4/3.

Tiếp theo, ta tính hệ số tự do của đường thẳng AB bằng công thức:

b = y - mx = 3 - (4/3)(1) = 1/3.

Do đó, hàm số của đường thẳng AB là y = (4/3)x + 1/3.

e) Để tìm hàm số của đường thẳng song song với đường thẳng biểu diễn hàm số k và cắt trục y tại điểm (0,3), ta biết rằng hàm số mới cũng có hệ số góc là 2 và cắt trục y tại điểm (0,3).

Do đó, hàm số của đường thẳng mới là y = 2x + 3.