Đường trung bình của tam giác, của hình thang
Trong hình học, đường trung bình là một đoạn thẳng nối một đỉnh của một hình học với trung điểm của cạnh đối diện. Trong tam giác, đường trung bình của một đỉnh là đoạn thẳng nối đỉnh đó với trung điểm của cạnh đối diện. Còn trong hình thang, đường trung bình là một đoạn thẳng nối hai đỉnh đáy của hình thang với trung điểm của cạnh bên. Các đường trung bình này có vai trò quan trọng trong hình học và được sử dụng để tính toán nhiều thông số của hình học, trong đó bao gồm diện tích và chu vi. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về đường trung bình của tam giác và hình thang và cách tính toán các thông số liên quan đến chúng.
1. Đường trung bình của tam giác
Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
Định lí:
Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Ví dụ:
Xét tam giác ABC có M là trung điểm AB, N là trung điểm AC
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC
Theo định lí 2 ta có: MN //BC, \(MN\;=\;\frac12BC\)
Nếu \(\left\{\begin{array}{l}MA\;=\;MB\\MN\;//\;BC\end{array}\right.\Rightarrow NA\;=\;NC\)
2. Đường trung bình của hình thang
Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Định lý:
Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Ví dụ:
Xét hình thang ABCD (AB//CD) có E là trung điểm của AD, F là trung điểm BC
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD
Theo định lí ta có \(\left\{\begin{array}{l}EF//AB//DC\\EF=\frac{AB+DC}2\end{array}\right.\)
Nếu \(\left\{\begin{array}{l}EF//AB//DC\\AE=ED\end{array}\right.\Rightarrow BF=FC\)
3. Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Tính độ dài các cạnh và góc
Dựa vào định lí đường trung bình của tam giác và đường trung bình của hình thang
Ví dụ: Tìm độ dài x
Xét tam giác ABC ta có:
\(\widehat K=\widehat C=50^\circ\) nên IK // BC (do hai góc đồng vị bằng nhau)
Mà AK = KC = 8 cm
⇒ IK là đường trung bình của tam giác
Suy ra IA=IB=10 cm
Vậy x=10 cm
Dạng 2: Chứng minh một cạnh là đường trung bình của tam giác, hình thang
Sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
Ví dụ: Cho hình thang ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
Xét hình thang ABCD có
E là trung điểm của AD
F là trung điểm của BC
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD (định nghĩa) (đpcm)
Dạng 3: Chứng minh các đường thẳng song song với nhau
Sử dụng định lí và định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang.
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Chứng minh DE//BC
Xét tam giác ABC có:
D là trung điểm của AB
E là trung điểm của AC
Suy ra DE là đường trung bình của tam giác ABC (định nghĩa)
⇒ DE // BC (định lí)
4. Bài tập vận dụng
Bài 1. Tìm x
Lời giải
Áp dụng định lí đường trung bình của hình thang, ta có:
\(BE=\frac{AD\;+CH}2\Rightarrow32=\frac{24+x}2\\\Rightarrow24+x=32.2=64\\\Rightarrow x=64-24=40\)
Bài 2. Chứng minh rằng AI = IM.
Lời giải
ΔBDC có BE = ED và BM = MC
⇒ EM là đường trung bình của ΔBDC
⇒ EM // DC hay EM // DI.
ΔAEM có DI // EM (cmt) và AD = DE (gt)
⇒ IA = IM (Theo định lý 1)
Bài 3. Tìm x,y biết AB//CD//EF//GH
Lời giải
Tính x :
AB // EF nên tứ giác ABFE là hình thang
Hình thang ABFE có: CA = CE và DB = DF
⇒ CD là đường trung bình của hình thang ABFE
⇒ \(CD=\frac{AB\;+EF}2\\hay\;x=\frac{8+16}2=12\;(cm)\)
Tính y:
CD // GH nên tứ giác CDHG là hình thang
Hình thang CDHG có : EC = EG, FD = FH
⇒ EF là đường trung bình của hình thang CDHG
\(EF=\frac{CD\;+GH}2\)
Hay \(\frac{x+y}2=16\;(cm)\)
⇒ x + y = 32cm
Mà x = 12cm ⇒ y = 20cm.
Vậy x = 12cm và y = 20cm.
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB // CD), E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Đường thẳng EF cắt BD tại I, cắt AC ở K.
a) Chứng minh rằng AK = KC, BI = ID.
b) Cho AB = 6cm, CD = 10cm. Tính các độ dài EI, KF, IK.
Lời giải
a)
Hình thang ABCD có EA = ED, FB = FC (gt)
⇒ EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
⇒ EF // AB // CD
ΔABC có BF = FC (gt) và FK // AB (cmt)
⇒ AK = KC
ΔABD có: AE = ED (gt) và EI // AB (cmt)
⇒ BI = ID
b)
Vì EF là đường trung bình của hình thang ABCD.
⇒ \(EF=\frac{AB+CD}2=\frac{6+10}2=8cm\)
ΔABD có AE = ED, DI = IB
⇒ EI là đường trung bình của ΔABD
⇒ \(EI=\frac{AB}2=\frac62=3cm\)
ΔABC có CF = BF, CK = AK
⇒ KF là đường trung bình của ΔABC
⇒ \(KF=\frac{AB}2=\frac62=3cm\)
Lại có: EI + IK + KF = EF
⇒ IK = EF – EI – KF = 8 – 3 – 3 = 2cm