Hình có tâm đối xứng

Hình có tâm đối xứng là một chủ đề quan trọng trong hình học và đại số. Trong đó, chúng ta tìm hiểu về khái niệm tâm đối xứng và cách áp dụng nó để phân tích và tìm hiểu các tính chất của các hình đối xứng. Nhờ khái niệm tâm đối xứng, chúng ta có thể hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc điểm của những hình dạng phức tạp như hình tròn, hình elip hay hình thoi. Bên cạnh đó, chúng ta cũng sẽ được học cách sử dụng tâm đối xứng để giải quyết các bài toán về hình học và đại số một cách nhanh chóng và chính xác. Vì vậy, hãy cùng OLIM tìm hiểu bài học về hình có tâm đối xứng dưới đây nhé!

Nội dung chính

1. Hình có tâm đối xứng
2. Tâm đối xứng của một số hình phẳng
3. Các dạng bài tập thường gặp về tâm đối xứng
4. Bài tập ví dụ

1. Hình có tâm đối xứng

Định nghĩa: Những hình có một điểm O sao cho khi quay nửa vòng quanh điểm O ta được vị trí mới của hình chồng khít với vị trí ban đầu (trước khi quay) thì được gọi là hình có tâm đối xứng và điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình.

Ví dụ: Hình tròn tâm O hay chong chóng hai cánh quay quanh tâm (trục)

2. Tâm đối xứng của một số hình phẳng

Loại hình	Tâm đối xứng của hình
Hình bình hành	Giao điểm hai đường chéo
Đường tròn	Tâm của đường tròn
Hình chữ nhật	Giao điểm hai đường chéo
Hình thoi	Giao điểm hai đường chéo
Hình vuông	Giao điểm hai đường chéo
Đa giác đều (có số cạnh chẵn)	Giao điểm của các đường chéo nối liền 2 đỉnh đối diện nhau

Lưu ý: Có những hình có tâm đối xứng và có nhiều trục đối xứng. Cũng có hình không có tâm đối xứng như hình tam giác đều,..

3. Các dạng bài tập thường gặp về tâm đối xứng

Dạng 1. Kiểm tra hình có tâm đối xứng hay không?

Phương pháp giải:

Nói đến tâm của hình (ta hiểu là điểm nằm chính giữa hình). Để kiểm tra xem điểm đó có là tâm đối xứng của hình hay không thì ta lấy một điểm bất kỳ trên (hay trong) hình, lấy đối xứng qua tâm thì ta được một điểm:

Nếu điểm đó vẫn thuộc hình thì hình đó có tâm đối xứng.
Nếu điểm đó không thuộc hình thì hình đó không có tâm đối xứng.

Dạng 2. Tâm đối xứng của hình.

Phương pháp giải:

Đối với những hình có tâm đối xứng thì hình đó có số cạnh (viền ngoài) là chẵn, hoặc trong thiên nhiên hình ảnh của bông hoa có tâm đối xứng nằm ở giữa (nhị hay nhụy hoa), hình ảnh của cỏ bốn lá cũng có tâm đối xứng.
Đối với các hình có số cạnh bằng nhau (số cạnh chẵn) thì tâm đối xứng chính là giao của các đường chéo.

Dạng 3. Chữ có tâm đối xứng.

Phương pháp giải:

Để kiểm tra xem chữ có tâm đối xứng hay không thì trước tiên ta phải phán đoán tâm đối xứng của chữ (thường thì tâm của chữ nằm chính giữa chữ), sau đó lấy một điểm bất kỳ (thường lấy điểm ở vị trí đặc biệt) để kiểm tra. Nếu có một điểm khác đối xứng với điểm đã chọn mà vẫn thuộc chữ cái đó thì chữ cái đó có tâm đối xứng.

Dạng 4. Vẽ hình đối xứng qua một điểm.

Phương pháp giải:

Để vẽ điểm A’ đối xứng với điểm A qua O ta thực hiện như sau: Dựng đường tròn tâm O bán kính O OA đường tròn này cắt lại đường thẳng O AO tại điểm A’ khác A. Khi đó điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua O.
Để vẽ được 2 hình đối xứng với nhau qua 1 điểm O ta sẽ chọn một số điểm đặc biệt thuộc hình đó, lấy đối xứng qua O rồi nối các điểm đó lại để được hình mới đối xứng với hình đã cho qua tâm O.

Dạng 5. Tính độ dài, chu vi, diện tích của hình có tâm đối xứng.

Khi tính toán độ dài đoạn thẳng có tâm đối xứng, ta chú ý rằng tâm đối xứng là điểm chính giữa của đoạn thẳng hay trung điểm của đoạn thẳng đó.
Tức là khi O tâm đối xứng của đoạn AB thì O là trung điểm của đoạn thẳng AB nên: OA = OB = AB : 2.

Một số hình phẳng có tâm đối xứng thường gặp: hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình lục giác đều:

Tâm đối xứng của hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi là giao điểm của hai đường chéo.
Tâm đối xứng của hình lục giác đều là giao điểm của các đường chéo chính.

Khi đó tâm đối xứng sẽ là trung điểm của mỗi đường chéo. Sau khi tính toán được độ dài các cạnh hoặc đường chéo ta sẽ vận dụng công thức tính chu vi, diện tích của các hình đã học để tính chu vi, diện tích các hình.

4. Bài tập ví dụ

Bài 1. Cho hình vẽ sau đây. Hình nào là hình có tâm đối xứng:

Lời giải

a) Với hình bình hành dễ thấy tâm O là tâm đối xứng của hình bình hành. Vì với một điểm M bất kỳ thuộc hình bình hành khi lấy đối xứng qua tâm O ta được điểm N (đo OM = ON), vẫn thấy điểm N thuộc hình bình hành

b) Với tam giác cân MNP ta phán đoán I là tâm đối xứng của hình. Ta chọn điểm N thuộc tam giác MNP, khi lấy đối xứng qua I ta được điểm N' (đo IN = IN'), nhưng điểm ’N không thuộc tam giác MNP. Do đó tam giác cân MNP là hình không có tâm đối xứng.

c) Với tam giác đều EFG ta phán đoán K là tâm đối xứng của hình. Ta chọn điểm G thuộc tam giác EFG, khi lấy đối xứng qua K ta được điểm G' (đo KG = KG'), nhưng điểm G' không thuộc tam giác EFG. Do đó tam giác đều EFG là hình không có tâm đối xứng

Bài 2. Cho hình vẽ sau, cho biết hình nào có tâm đối xứng và xác định tâm đối xứng của hình đó

Lời giải

a) Hình chữ nhật có tâm đối xứng chính là giao điểm A của hai đường chéo.

b) Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm B của hai đường chéo.

c) Hình lục giác đều có tâm đối xứng là giao điểm C của các đường chéo.

d) Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm D của hai đường chéo.

e) Hình thang cân không có tâm đối xứng vì với một điểm P bất kỳ thuộc hình bình hành khi lấy đối xứng qua tâm O ta được điểm P', nhưng điểm P' không thuộc hình thang cân