Trong hành trình khám phá toán học, xác suất và biến cố đều là những khái niệm khá quan trọng, mở ra nhiều điều thú vị trong cuộc sống. Khi làm quen với xác suất biến cố, bạn sẽ biết được cách đo lường khả năng diễn ra của một sự kiện nào đó. Hãy khám phá một vài dạng bài thuộc chuyên đề này và phương pháp giải chuẩn nhất nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
Bước đầu tiên khi làm quen với xác suất biến cố là nắm vững các kiến thức trọng điểm. Sau đây, chúng tôi sẽ giúp bạn hệ thống lại toàn bộ kiến thức cơ bản có liên quan đến xác suất – một khái niệm đặc biệt quan trọng trong việc xác định chuẩn xác mức độ xảy ra của biến cố nào đó trong toán học và thực tiễn.
1.1. Khái niệm và công thức xác suất
Khi thực hiện bất kỳ phép thử nào đó trong nhiều lần liên tiếp và theo dõi cẩn thận một biến cố cụ thể có liên quan đến phép thử đó, ta sẽ bắt đầu hình thành khái niệm về xác suất. Theo đó, bạn có thể hiểu rõ khái niệm này theo nghĩa thực nghiệm như sau:
- Trong quá trình chúng ta tiến hành một phép thử nhiều lần (hay n lần), số lần mà biến cố A xuất hiện chính là tần số của A.
- Từ đó, tần suất của A được sẽ được tính bằng tỉ số giữa tần số của A cùng với tổng số lần thử n.
- Khi số lần thực hiện phép thử này tăng lên đáng kể, tần suất của A sẽ có xu hướng tiệm cận về một giá trị ổn định hơn. Khi đó, giá trị này cũng được xem là xác suất của một biến cố A bằng cách tiếp cận thực nghiệm.
Công thức tính xác suất là:
\[P(A)=\frac{n(A)}{n}\]
Trong đó:
- n: Tổng số lần lặp đi lặp lại một hoạt động.
- n(A): Số lần mà biến cố A đã diễn ra trong tổng n lần đó.
- P(A): Xác suất thực nghiệm của biến cố A trong giai đoạn thực hiện n lần thử.
1.2. Xác suất và khả năng xảy ra của biến cố
Tiếp theo, chúng ta sẽ cùng xét đến ý nghĩa của xác suất dưới góc độ định lượng mức độ không chắc chắn hoặc chắc chắn của một biến cố nào đó, cụ thể là:
- Xác suất của một biến cố sẽ luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1.
- Biến cố càng có khả năng diễn ra cao thì xác suất của nó càng đến gần 1. Ngược lại, nếu khó mà xảy ra được thì xác suất sẽ gần với 0.
- Giá trị của xác suất đó có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau, chẳng hạn như: phần trăm, số thập phân hay phân số.
1.3. Làm quen với xác suất biến cố – Một số trường hợp đặc biệt
Trong thực tế và trong các bài toán xác suất đơn giản, vẫn tồn tại một vài dạng biến cố quen thuộc. Chúng ta hãy cùng tìm hiểu qua nội dung dưới đây:
Biến cố chắc chắn và biến cố không thể:
- Biến cố chắc chắn là những biến cố xảy ra trong tất cả trường hợp, xác suất của nó đúng bằng 1 (hay 100%).
- Biến cố không thể là các biến cố chẳng bao giờ xảy ra và xác suất của nó lại đúng bằng 0.
Biến cố đồng khả năng:
- Nếu hai hay nhiều biến cố có cùng cơ hội xảy ra, chúng sẽ được gọi là biến cố đồng khả năng.
- Trong trường hợp chỉ một trong các biến cố đồng khả năng diễn ra trong mỗi phép thử, thì xác suất của từng biến cố sẽ được xác định qua công thức là:
\[P=\frac{1}{k}\]
Trong đó, k chính là tổng số biến cố đồng khả năng.
2. Các dạng bài thường gặp khi làm quen với xác suất biến cố
Dưới đây là 4 dạng bài tập thường xuất hiện trong các bài kiểm tra toán, phương pháp giải chuẩn và ví dụ mà bạn có thể tham khảo:
2.1. Xác suất các biến cố đồng khả năng diễn ra
Khi bắt đầu tiếp cận với các bài toán xác suất, việc xác định xác suất của những biến cố có cùng khả năng xảy ra được xem là một dạng bài nền tảng và thường xuyên xuất hiện. Để giải quyết tốt những bài toán dạng này, bạn cần hiểu rõ bản chất đồng đều về khả năng xảy ra của các biến cố, đồng thời biết cách dùng công thức đã học một cách linh hoạt để tính toán xác suất.
Ví dụ 1: An có tổng cộng 10 tấm bìa và cô ấy đã tiến hành đánh số chúng từ 1 – 10. Sau đó, An lấy ngẫu nhiên 1 trong 10 tấm đó. Tính xác suất để An rút ra được tấm có số 3.
Lời giải:
Có tất cả 10 biến cố đồng khả năng xảy ra, tuy nhiên chỉ có 1 biến cố lấy được tấm bìa đánh số 3. Nên xác suất để An rút được tấm bìa số 3 là: \[P=\frac{1}{10}\]
Ví dụ 2: Hương đi gọi điện thoại cho Tuyết, nhưng cô ấy lại quên đi mất hai con số cuối cùng của số điện thoại. Tính xác suất để Hương bấm số 1 lần nhưng lại đúng số của Tuyết.
Lời giải:
Các khả năng diễn ra 1 lần trong các con số từ 00; 01, …, 99 với tất cả 100 khả năng diễn ra.
Khi đó, xác suất để Hương ra đúng số cần gọi khi thử 1 lần duy nhất là: \[P=\frac{1}{100}\]
2.2. Làm quen với xác suất biến cố – Áp dụng công thức xác suất
Đây là một dạng bài có thể giúp các em học sinh rèn luyện được khả năng phân tích tình huống cũng như vận dụng tốt định nghĩa xác suất một cách hệ thống. Các bước giải bài cụ thể như sau:
- Liệt kê đầy đủ những khả năng có thể xảy ra trong một phép thử hay tình huống cho trước. Đây là cũng chính là giai đoạn xác định được không gian mẫu (tức tổng số trường hợp có thể xảy ra).
- Tìm ra số trường hợp thích hợp với yêu cầu bài toán. Bạn có thể thực hiện tốt điều này bằng cách sử dụng đến phương pháp loại trừ hay đếm trực tiếp.
- Áp dụng công thức của xác suất biến cố.
Ví dụ 1: Nhóm bạn thân 4 người trong lớp 12.5 gồm Ý, My, Vân và Thảo cùng chơi game cờ cá ngựa. Theo đó, khi đến lượt của Vân, cô ấy đã gieo xúc xắc. Tính xác suất để cho Vân chỉ gieo ra mặt xúc xắc khắc 1 chấm.
Lời giải:
Tiến hành gieo viên xúc xắc, ta nhận thấy các kết quả có thể diễn ra là:
- Xuất hiện mặt 1 chấm
- Xuất hiện mặt 2 chấm
- Xuất hiện mặt 3 chấm
- Xuất hiện mặt 4 chấm
- Xuất hiện mặt 5 chấm
- Xuất hiện mặt 6 chấm.
Như vậy, xác suất để Vân gieo ra mặt ghi 1 chấm trong tổng 6 kết quả này là: \[\frac{1}{6}\]
Ví dụ 2: Bảng tổng hợp kết quả xét nghiệm các bệnh nhân bị viêm gan ở phòng khám D chi nhánh 2 trong vòng 4 tháng đầu năm 2025 là:
| Tháng | Số ca xét nghiệm | Số ca dương tính |
| 1 | 100 | 10 |
| 2 | 200 | 21 |
| 3 | 150 | 51 |
| 4 | 220 | 17 |
Tính đúng xác suất số ca dương tính ở trong suốt 4 tháng đầu năm.
Lời giải:
Xác suất số ca dương tính ở trong tất cả các ca xét nghiệm tại phòng khám trong suốt 4 tháng đầu năm là: \[\frac{10+21+15+17}{100+200+150+220}=\frac{63}{670}\]
2.3. Xác suất của biến cố chắc chắn/ không thể
Thực tế, đây cũng được xem là một trong những dạng bài cực kỳ quen thuộc khi bạn vừa bắt đầu làm quen với xác suất biến cố. Theo đó, để giải bài toán thuộc dạng này, bạn cần:
- Xác định rõ ràng nội dung biến cố đang xét.
- Kiểm tra thử xem biến cố đó có thể diễn ra được trong tình huống mà bạn đang xét hay không.
- Kết luận xác suất là 0 (nếu chẳng thể xảy ra) hoặc đúng bằng 1 (nếu chắc chắn xảy ra).
Ví dụ 1: Trong lớp học tennis có một cái thùng chứa các trái banh đều nhau và được thầy đánh số 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14. Tuấn lấy ra ngẫu nhiên một trái banh trong số đó. Tính xác suất của 2 biến cố sau:
- a) A: “Trái banh được Tuấn lấy ra cũng chính là ước nguyên số của số 29”.
- b) B: “Trái banh được Tuấn lấy ra thuộc dạng 2k (với \[k\in\mathbb{N}\])
Lời giải:
- a) Biến cố A thuộc loại biến cố không thể, vì ước nguyên tố của số 29 cũng chính bằng nó. Vậy xác suất của biến cố A bằng 0.
- b) Biến cố B lại chính là loại biến cố chắc chắn, vì tất cả số trình bày dưới dạng 2k (với \[k\in\mathbb{N}\]) đều thuộc nhóm số chẵn. Vậy xác suất lúc này của B bằng 1.
Ví dụ 2: Nhà của Minh có một bể cá chứa 6 con cá chép được đánh số lần lượt là 1; 4; 9; 16; 25. Minh bắt ngẫu nhiên một trong tổng 6 con cá bơi trong bể. Hãy tính xác suất:
- a) A: “Con cá Minh bắt được thuộc số chính phương”.
- b) B: “Con cá Minh bắt mang số nguyên tố”
Lời giải:
- a) Biến cố A thuộc nhóm biến cố chắc chắn vì toàn bộ số mà Minh dùng đều là số chính phương. Như vậy, xác suất của A bằng 1.
- b) Biến cố B lại là biến cố không thể và sở hữu xác suất của bằng 0.
2.4. Xác suất của biến cố ngẫu nhiên
Trong quá trình làm quen với xác suất biến cố và gặp phải dạng bài thế này, thay vì lo lắng, bạn chỉ cần tiến hành theo trình tự các bước sau:
- Ghi nhận số lần biến cố diễn ra trong suốt quá trình thực hiện một phép thử trong nhiều lần. Đây cũng là tần số xuất hiện của biến cố.
- Xác định rõ ràng và chính xác số lần phép thử đó được thực hiện (hay số lần mà thí nghiệm được lặp đi lặp lại).
- Dùng đến công thức tính xác suất cho biến cố.
Ví dụ 1: Lan viết một số tự nhiên có chứa 2 chữ số một cách ngẫu nhiên trên giấy nháp. Tính xác suất biến cố:
- a) A: “Số tự nhiên đó chia hết cho 8”.
- b) B: “Số tự nhiên được Lan viết ra chia hết luôn cho 5 và 6 dư 3”.
Lời giải:
- a) Số tự nhiên chia hết cho 8 là {16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; 80; 88; 96} => n(A) = 11.
Khả năng diễn ra là: {10; 11; 12; …; 98; 99} => n = 90
Vậy xác suất \[P(A)=\frac{11}{90}\]
- b) Số tự nhiên chia hết luôn cho 5 và 6 dư được 3 là: {33; 63; 93} => n(B) = 3
Khả năng diễn ra: {10; 11; 12; …; 98; 99} => n = 90
Vậy xác suất: \[P(A)=\frac{3}{90}=\frac{1}{30}\]
Ví dụ 2: Trong nhà kín ở nhà Hương có 10 bông hồng đỏ, n bông hồng xanh, 20 bông hồng vàng. Hương lấy một trong những bông hoa trong số đó một cách ngẫu nhiên. Biết xác suất để Hương lấy ra bông màu xanh là \[\frac{4}{10}\]. Tính số bông xanh mà nhà kín nhà Hương có được.
Lời giải:
Tổng số bông hồng có trong nhà kín: n + 30
Xác suất để có Hương lấy được bông hồng màu xanh là:
\[\frac{n}{n+30}=\frac{4}{10}\Leftrightarrow n=20\]
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cô giáo có một cái hộp đựng 4 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ lại được khắc một trong 4 số là 1, 2, 3, 4. Trong đó, hai thẻ khác nhau thì khắc hai số khác nhau. Ngọc rút ngẫu nhiên một thẻ từ hộp cô đưa, ghi lại số thẻ rồi mới bỏ lại vào hộp. Tính xác suất để Ngọc rút được 2 thẻ ghi số giống nhau trong 2 lần rút.
Bài tập 2: Thầy giáo chọn ngẫu nhiên 5 người có mặt trong danh sách 20 đoàn viên được đánh số từ 1 – 20. Tính xác suất để 5 người được thầy giáo chọn trúng có số thứ tự không lớn hơn 10.
Bài tập 3: Trong giờ trả bài đầu giờ, cô giáo đã chuẩn bị trước 40 phiếu tương ứng với thứ tự của các bạn học sinh trong lớp. Sau đó, cô bóc 1 phiếu trong 40 phiếu đó một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất biến cố:
- a) A: “Phiếu bóc ra có số lớn hơn 6, nhưng không quá 22”.
- b) B: “Phiếu bóc ra có 2 chữ số và sở hữu đúng 2 ước”.
Đáp án:
- Bài tập 1: \[P=\frac{1}{4}\]
- Bài tập 2: \[P=\frac{21}{1292}\]
- Bài tập 3: a) \[P(A)=\frac{2}{5}\], b) \[P(B)=\frac{1}{20}\]
Bài viết trên đây đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức trọng tâm trong chuyên đề xác suất và biến cố. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã làm quen với xác suất biến cố và có thể tự mình giải quyết các dạng bài thường gặp rồi nhé!