Khi cuộc sống xung quanh chúng ta luôn ẩn chứa nhiều điều bất ngờ, thì trong toán học cũng sở hữu một khái niệm tương tự: biến cố. Vậy biến cố là gì mà lại có thể phản ánh rõ được sự ngẫu nhiên? Cùng khám phá nội dung bài viết sau để hiểu rõ cách mà toán học đã “dự đoán” khả năng xảy ra của các hiện tượng tưởng chừng rất khó nắm bắt nhất!
1. Biến cố là gì? Các kiến thức cần nhớ
1.1. Phép thử ngẫu nhiên là gì?
Phép thử ngẫu nhiên (hay còn được gọi là phép thử) là một thí nghiệm hay hành động mà:
- Kết quả của mọi phép thử chẳng thể nào xác định được chắc chắn 100% trước khi bạn thực hiện;
- Tuy nhiên, bạn hoàn toàn có thể liệt kê đầy đủ và chi tiết các khả năng có thể sẽ diễn ra sau khi hoàn thành xong phép thử đó.
Những ký hiệu đặc biệt quan trọng có liên quan đến khái niệm toán học này mà bạn cần ghi nhớ là:
- \[\mathbf{T}\]: Phép thử
- \[\Omega\] (đọc là omega): Không gian mẫu – nơi mà mọi khả năng có thể xảy ra của bất kỳ một phép thử nào đó được tập hợp lại.
- \[\left|\Omega\right|\] hoặc \[n(\Omega)\]: Số lượng phần tử có trong \[\Omega\].
Ví dụ: Tung một đồng xu cũng được xem là phép thử ngẫu nhiên (\[\mathbf{T}\]) với không gian mẫu là \[\Omega=\] {sấp, ngửa}.
1.2. Biến cố là gì?
Biến cố A có liên quan đến phép thử \[\mathbf{T}\] là một sự kiện nào đó có thể xảy ra hoặc không, tùy thuộc vào kết quả mà bạn thu được sau khi tiến hành xong phép thử đó. Trong đó:
- Kết quả thuận lợi của A là những kết quả của phép thử T làm cho biến cố A diễn ra.
- \[\Omega_{A}\] hoặc chỉ đơn giản là A là tập hợp của các kết quả thuận lợi.
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc nào đó, biến cố “xuất hiện số chẵn” có \[\Omega_{A}=\left\{2,4,6\right\}\]
1.3. Các tính chất cơ bản nhất của biến cố
Cho một không gian mẫu \[\Omega\] cùng với 2 biến cố \[A,B\subseteq\Omega\], ta có:
- Biến cố đối của A (ký hiệu là \[\Omega\setminus A\]), gồm các kết quả không thể khiến A xảy ra.
- \[A\cup B\]: Biến cố A hoặc biến cố B xảy ra.
- \[A\cap B\] (hay viết là AB): Cả biến cố A lẫn biến cố B đều diễn ra cùng thời điểm.
- Nếu \[A\cap B=\varnothing\], điều này nghĩa với việc không có bất kỳ kết quả nào có thể khiến A và B được diễn ra cùng lúc. Lúc này, ta sẽ gọi A và B là 2 biến xung khắc.
1.4. Hướng dẫn tính xác suất của một biến cố
Giả sử phép thử ngẫu nhiên \[\mathbf{T}\] có phần không gian mẫu hữu hạn \[\Omega\]. Cho biến cố A với \[\Omega_{A}\] là tập hợp con của \[\Omega\] (tức \[A\subseteq\Omega \]). Lúc này, xác suất xảy ra của A (ký hiệu là P(A)), sẽ được xác định bởi công thức:
\[P(A)=\frac{\left|\Omega_{A}\right|}{\left|\Omega\right|}\]
Trong đó:
- \[\left|\Omega_{A}\right|\]: Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A;
- \[\left|\Omega\right|\]: Tổng số khả năng có thể diễn ra của phép thử.
Ngoài ra, bạn cũng cần phải ghi nhớ một vài tính chất quan trọng của xác suất biến cố là:
- Luôn nằm trong khoảng từ 0 – 1: \[0\leq P(A)\leq 1\]
- Xác suất chắc chắn diễn ra: \[P(\Omega)=1\]
- Xác suất biến cố không thể diễn ra: \[P(\varnothing)=1\]
2. Một số dạng bài tập tiêu biểu liên quan đến biến cố là gì?
2.1. Xác định \[\Omega\] và biến cố là gì
Khi gặp đề bài yêu cầu xác định \[\Omega\] và các biến cố có thể diễn ra trong bất kỳ phép thử ngẫu nhiên nào đó, bạn có thể lựa chọn một trong hai cách tiếp cận sau:
- Phương pháp 1: Xác định từng khả năng có thể xảy ra trong phép thử bằng cách liệt kê chi tiết. Sau đó, dựa vào những kết quả này để mô tả các biến cố tương ứng dưới dạng tập con của \[\Omega\]. Cách làm này thích hợp khi số lượng khả năng xảy ra là tương đối ít, dễ dàng kiểm soát.
- Phương pháp 2: Nếu số lượng kết quả quá nhiều khiến việc liệt kê trở nên bất khả thi, bạn nên áp dụng đến các kỹ thuật đếm như tổ hợp, chỉnh hợp hoặc hoán vị. Cách làm này sẽ giúp bạn nhanh chóng tính ra được số phần tử nằm trong không gian mẫu và biến cố mà chẳng cần phải viết ra từng trường hợp cụ thể.
Ví dụ: Gieo 2 con xúc xắc cùng một lúc (mỗi con đủ 6 mặt và được đánh số từ 1 – 6).
- a) Hãy mô tả rõ ràng \[\Omega\]. Tính số phần tử nằm trong phần \[\Omega\].
- b) Xác định rồi đếm đầy đủ số phần tử tròn 4 biến cố sau:
A: “Tổng 2 số chấm là 7”
B: “2 Con xúc xắc gieo ra 1 con số giống nhau”
C: “Ít nhất 1 con xúc xắc đã gieo ra 6”
D: “Chẳng có xúc xắc nào gieo được ra một số chẵn”
Lời giải:
- a) Không gian mẫu là tập hợp có cặp số \[\left(x,y\right)\], trong đó \[x,y\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\].
Tổng cộng có \[6\times 6=36\] phần tử
Ký hiệu: \[\left|\Omega\right|=36\]
- b)
- A: Các cặp số có tổng bằng 7 là:
\[\left(1,6\right),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\Rightarrow\left|A\right|=6\]
- B: Các cặp giống nhau là:
\[\left(1,1\right),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\Rightarrow\left|A\right|=6\]
- C: Các cặp số có ít nhất 1 con số 6 là:
- Trường hợp con thứ nhất ra 6:
\[\left(6,1\right),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\Rightarrow\left|A\right|=6\]
- Trường hợp con thứ hai ra 6:
\[\left(1,6\right),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6)\Rightarrow\left|A\right|=5\] (trừ (6, 6) đã tính) \[\Rightarrow\left|C\right|=6+5=11\]
- D: Không có số chẵn \[\Rightarrow\] mỗi con chỉ có thể là 1, 3 hoặc 5. Vậy số trường hợp: \[3\times 3=9\Rightarrow\left|D\right|=9\]
2.2. Bài tập về biến cố là gì – Tính xác suất
Theo định nghĩa cổ điển, xác suất của một biến cố A sẽ được tính bằng tỷ số giữa phần tử thuộc về biến cố A và tổng số phần tử nằm trong \[\Omega\]. Ta có công thức:
\[P(A)=\frac{\left|\Omega_{A}\right|}{\left|\Omega\right|}\]
Lưu ý rằng, để áp dụng được công thức này, bạn cần xác định đúng phần \[\Omega\], đếm chính xác số phần tử của biến cố và đảm bảo mọi kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau.
Ví dụ: Thảy một con xúc xắc có hình dáng chân đối 3 lần. Tính xác suất đúng của 3 biến cố sau:
- a) Chỉ có 1 kết quả là 1 chấm cho toàn bộ 3 lần thảy.
- b) Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần trong tổng số 3 lần thảy.
- c) Tổng cả 3 lần thảy là 6.
Lời giải:
Không gian mẫu \[\Omega\] gồm tất cả các bộ ba số có giá trị từ 1 – 6: \[\left|\Omega\right|=6^{3}=216\]
- a)
Chỉ có một bộ số (1, 1, 1)mới thỏa mãn được biến cố A.
Vậy \[\left|A\right|=1\Rightarrow P(A)=\frac{1}{216}\]
- b)
Số trường hợp chẳng có con số 6 trong cả 3 lần tung (có 5 lựa chọn từ 1 – 5):
\[\left|B’\right|=5^{3}=125\Rightarrow\left|B\right|=216-125=91\Rightarrow P(B)=\frac{91}{216}\]
- c)
Những bộ số đạt tổng là 6 gồm (1, 1, 4), (1, 2, 3), (2, 2, 2). Trong đó thì:
- (1, 1, 4) sở hữu 3 hoán vị \[\rightarrow\] 3 cách
- (1, 2, 3) sở hữu hoán vị \[\rightarrow\] 6 cách
- (2, 2, 2) sở hữu duy nhất 1 cách
\[\Rightarrow\left|C\right|=3+6+1=10\Rightarrow P(C)=\frac{10}{216}\]
3. Biến cố là gì? Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Trong lớp thêm nhỏ có tổng 9 em học sinh: 5 nam, 4 nữ. Giáo viên sẽ chọn ngẫu nhiên 3 em để tham gia chương trình thiện nguyện.
- a) Xác định chính xác số phần tử của \[\Omega\].
- b) Tính số phần tử với 3 biến cố sau:
A: “Chọn 1 nữ và 2 nam”
B: “Toàn bộ đều là nữ”
C: “Có ít nhất 1 nam được chọn”
Bài tập 2: Một hàng ghế học sinh dài tổng 12 chỗ có: 5 nam và 7 nữ. Tính xác suất của 2 biến cố sau:
- a) Các học sinh nam ngồi liền nhau.
- b) Không có bất kỳ học sinh nam nào ngồi liền với nhau.
Đáp án:
Bài tập 1:
- a) \[\left|\Omega\right|=C^3_9=84\]
- b)
\[\left|A\right|=C^2_5\times C^1_4=10\times 4=40\]
\[\left|B\right|=C^3_4=4\]
\[\left|C\right|=\left|\Omega\right|-\] Số cách chọn toàn nữ
\[\Rightarrow\left|C\right|=84-4=80\]
Bài tập 2:
\[\left|\Omega\right|=12!\]
- a)
Xếp 8 đối tượng: 8! cách
5 Học sinh nam có thể đổi chỗ cho nhau: 5! cách
Vậy \[\left|A\right|=8!\times 5!\Rightarrow P(A)=\frac{8!5!}{12!}\]
- b)
Xếp 7 nữ vào 12 ghế: 7! cách
Tạo 8 chỗ trống giữa hoặc ngoài các nữ \[\rightarrow\] chọn 5 chỗ: \[\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}\]
Xếp 5 nam vào 5 chỗ đã chọn: 5! cách
\[\Rightarrow\left|B\right|=7!\times\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}\times 5!\]
\[\Rightarrow P(B)=\frac{7!\times\begin{pmatrix}8\\5\end{pmatrix}\times 5!}{12!}\]
Bài viết trên đây là tất tần tật các kiến thức trọng điểm liên quan biến cố. Mong rằng với tất cả những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã phần nào hiểu rõ biến cố là gì và nắm nằm lòng phương pháp giải đúng nhất của từng dạng bài tập thường gặp về khái niệm này rồi nhé!
