Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
Khi hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm khác nhau, chúng ta có thể vẽ được hai tiếp tuyến tại hai điểm cắt đó. Trong toán học, hai tiếp tuyến này có một số tính chất đặc biệt, và bài viết này sẽ giới thiệu đến bạn những tính chất quan trọng của hai tiếp tuyến cắt nhau.
1. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
|
Tính chất: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
|
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. AB, AC là các tiếp tuyến kẻ từ A đến (O) với B và C là các tiếp điểm
Khi đó
- AB = AC
- Tia OA là phân giác góc BOC
- Tia AO là phân giác góc BAC
Ví dụ: Cho đường tròn (O), điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
a) Chứng minh OA \(\perp\) BC
b) Tính cạnh của tam giác ABC biết OA = 4 , OB = 2
a) Do (AB), (AC) là hai tiếp tuyến của đường tròn (O)
⇒ AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà OB = OC
⇒ OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC
⇒OA \(\perp\) BC
b) Gọi BC \(\cap\) OA = H ⇒ BC \(\perp\) OA tại H
Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AB \(\perp\) OB
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AO2 = OB2 + AB2 ⇒ AB = AC = \(\sqrt{OA^2-OB^2}\;=\;\sqrt{4^2-2^2}\;=\;2\sqrt3\)
Lại có tam giác ABC cân tại A, AO \(\perp\)BC tại H
⇒ AH là trung tuyến của tam giác ABC ⇒ H là trung điểm của BC
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
\(\frac1{{BH}^2}=\frac1{AB^2}+\frac1{OB^2}\Rightarrow\frac1{BH^2}=\frac13\Rightarrow BH=\sqrt3\)
⇒BC=2. BH = \(2\sqrt3\)
Vậy AB = AC = BC = \(2\sqrt3\)
2. Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, cón tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao ba đường phân giác của tam giác đó.
3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B(hoặc C). Với một tam giác , có ba đường tròn bàng tiếp.
4. Bài tập minh hoạ
Bài 1. Cho đường tròn (O;2) từ một điểm A cách O là \(2\sqrt2\) , vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Tính chu vi tam giác ABC
Lời giải
Nối OB, OC ta được OB \(\perp\) AB, OC \(\perp\) AC
Ta có AC2 = OA2 - OC2 = \({(2\sqrt2)}^2\;-\;2^2\;=\;4\)
=> AC = 2, do đó AB = 2
Tứ giác ABOC có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. Hình thoi này có góc C = 90° nên là hình vuông
Bài 2. Trong hình dưới đây, đường tròn (K) bàng tiếp góc A của tam giác ABC. Ta kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c và p = \(\frac{a+b+c}2\)
Chứng minh rằng:
a) AM = AN = p
b) BM = BE = p - c, CN = CE = p - b
Lời giải
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:
BM = BE; CN = CE và AM = AN
a) Ta có:
AM + AN = (AB + BM) + (AC + CN)
= AB+ BE + AC + CE
= AB + AC + (BE + CE)
= AB + AC + BC
Do đó 2AM = 2p => AM = p => AN =p
b) Ta có
BM = AM - AB = p - c =>BE = p - c
CN = AN - AC = p - b = CE = p - b