Trong hình học phẳng, những đường thẳng mà chúng ta tưởng chừng như đơn giản lại ẩn chứa nhiều điều thú vị. Một ví dụ điển hình là hai tiếp tuyến xuất phát cùng một điểm nằm ngoài đường tròn. Theo đó, chúng không chỉ bằng nhau mà còn tạo ra một thế cân đối đặc biệt. Hãy khám phá tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và các dạng bài thường gặp ngay nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
1.1. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Khi ta kẻ hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm nằm ngoài đường tròn, ta sẽ nhận thấy một vài tính chất đặc biệt như sau:
- Khoảng cách từ điểm ngoài đường tròn cho đến hai tiếp điểm của tiếp tuyến là bằng nhau, điều này chứng tỏ rằng hai đoạn tiếp tuyến có độ dài giống nhau.
- Đoạn thẳng nối điểm ngoài và tâm đường tròn sẽ chia đều góc được tạo thành hai tiếp tuyến, chính là tia phân giác của góc đó.
- Tia từ tâm đến điểm ngoài không chỉ là tia phân giác của góc hợp thành bởi hai bán kính mà còn chia đều góc này, mỗi bán kính đi qua một tiếp điểm.
- Đoạn thẳng nối từ tâm đến điểm ngoài cũng chính là trung trực của đoạn nối hai tiếp điểm, vì nó cắt đoạn này tại trung điểm và vuông góc với nó.
| Giả thiết | Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M, trong đó A và B là tiếp điểm |
| Kết luận | – MA = MB
– \[\widehat{M_{1}}=\widehat{M_{2}}\] – \[\widehat{O_{1}}=\widehat{O_{2}}\] – MO là trung trực của AB |
1.2. Đường tròn nội tiếp tam giác
Sau khi nắm vững tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, chúng ta sẽ chuyển sang một khái niệm khá quen thuộc nhưng không kém phần thú vị: đường tròn nội tiếp tam giác. Đây chính là đường tròn nằm gọn bên trong một tam giác và tiếp xúc với toàn bộ ba cạnh của nó tại ba điểm khác nhau. Ngược lại, trong trường hợp tam giác được xem như một hình bao quanh đường tròn, ta sẽ gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
Theo đó, tâm của đường tròn nội tiếp cũng chính là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong tam giác và sở hữu những đặc điểm nổi bật sau:
- Tâm luôn nằm gọn bên trong tam giác.
- Khoảng cách từ tâm đến ba cạnh chính là bán kính của đường tròn nội tiếp.
| Giải thiết | – AB, AC, BC đều là các tiếp tuyến của (O) với H, P, K là các tiếp điểm.
– IH = IK = IP = R – \[\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}};\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}};\widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}\] |
| Kết luận | Đường tròn (O) nội tiếp \[\triangle ABC\] |
1.3. Đường tròn bàng tiếp tam giác
Một khái niệm quan trọng không kém tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau hay đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn bàng tiếp tam giác. Theo đó, đây là một dạng đường tròn tiếp xúc với một cách của hình tam giác, đồng thời tiếp xúc cả phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Thực tế, mỗi tam giác sẽ có tổng cộng ba đường tròn này.
Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác \[\widehat{A}\] chính là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại C và B. Ngoài ra, nó cũng là giao điểm của đường phân giác \[\widehat{A}\] và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).
| Giả thiết | – BC, Ax, Ay đều là ba tiếp tuyến của (O); trong đó thì L, M, N là ba tiếp điểm.
– OL = OM = ON = R – \[\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}};\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}};\widehat{C_{1}}=\widehat{C_{2}}\] |
| Kết luận | Đường tròn (O) là đường tròn bàng tiếp \[\triangle ABC\] |
2. Một vài dạng toán thường gặp về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
2.1. Chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau/ song song/ vuông góc
Khi gặp các bài toán hình học yêu cầu bạn chứng minh hai đoạn thẳng vuông góc, bằng nhau hoặc song song, đặc biệt là trong tình huống xuất hiện tiếp tuyến tại một điểm ngoài đường tròn, bạn có thể thử khai thác sâu tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau. Những tính chất mà chúng tôi đề cập ở phần lý thuyết trọng tâm trên sẽ là công cụ mạnh mẽ giúp bạn đưa ra các lập luận chặt chẽ và logic.
Ví dụ: Hai tiếp tuyến nằm tại B và C của đường tròn (O) đã cắt nhau tại A.
- a) Chứng minh rằng AO là đường trung trực đoạn BC.
- b) Vẽ thêm đường kính CD của đường tròn (O) rồi chứng minh rằng \[BD//AO\].
Lời giải:
- a) Theo tính chất của hai đường tiếp tuyến cắt nhau, ta sẽ có: \[AB=AC\Rightarrow A\] thuộc đường trung trực BC.
Lại có: \[OB=OC\Rightarrow O\] cũng thuộc về đường trung trực BC.
Vậy AO chính là đường trung trực BC.
- b) Ta có: \[AO\perp BC;DB\perp BC\Rightarrow BD//AO\] (đpcm)
2.2. Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến, tính góc và độ dài đoạn thẳng
Để giải quyết hiệu quả dạng toán này, bạn cần kết hợp nhiều kiến thức hình học, bao gồm cả tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Cụ thể:
- Từ một điểm nằm ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến được kẻ đến đường tròn luôn sở hữu độ dài bằng nhau, hình thành hai tam giác cân. Nhờ đó, bạn có thể khai thác các mối liên hệ như đường phân giác, góc đối đỉnh, hay đối xứng để lập luận.
- Đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp của tam giác: Tận dụng tất cả các yếu tố như tâm đường tròn chính là giao điểm của các đường phân giác ngoài hoặc trong, từ đó mà tính được bán kính hay khoảng cách đến 3 cạnh để suy ra độ dài.
- Các hệ thức lượng có trong tam giác vuông: Khi giải bài toán liên quan đến hình tam giác vuông, bạn có thể nhanh trí dùng ngay định lý Pythagoras, công thức tính đường cao, trung tuyến hay các tỷ số lượng giác giải quyết số đo góc hay độ dài cạnh.
Ví dụ: Cho đường tròn (O). Từ điểm M nằm ngoài (O), vẽ thêm hai đường tiếp tuyến MF, ME (trong đó E, F là 2 tiếp điểm) sao cho \[\widehat{EMO}=30^{\circ}\]. Biết chu vi của \[\triangle MEF\] là 30 cm.
- a) Tính độ dài dây EF.
- b) Tính diện tích \[\triangle MEF\]
Lời giải:
- a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta sẽ có:
\[\widehat{OME}=\widehat{OMF}=30^{\circ}\Rightarrow\widehat{EMF}=60^{\circ}\Rightarrow\triangle MEF\] đều \[\Rightarrow EF=10 cm\]
- b) Xét đến tam giác \[\triangle MEI(\widehat{I}=90^{\circ})\Rightarrow cos30^{\circ}=\frac{MI}{ME}\Rightarrow MI=cos30^{\circ}.ME=8,6 cm\Rightarrow S_{MEF}=\frac{1}{2}.MI.EF=25\sqrt{3}(cm^{2})\]
3. Bài tập ứng dụng liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Bài tập 1: Cho điểm \[\textbf{A}\] nằm phía ngoài đường tròn \[\left(O;R\right)\]. Từ \[\textbf{A}\], bạn hãy vẽ thêm hai tiếp tuyến \[\textbf{AB}\] và \[\textbf{AC}\] đến đường tròn. Gọi \[\textbf{M}\] là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \[\textbf{OC}\] tại \[\textbf{O}\] và đoạn \[\textbf{AB}\]; \[\textbf{N}\] là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \[\textbf{OB}\] tại \[\textbf{O}\] và đoạn \[\textbf{AC}\].
- a) Chứng minh rằng \[\lozenge AMON\] là hình bình hành.
- b) Điểm \[\textbf{A}\] cách \[\textbf{O}\] một khoảng bao nhiêu để \[\textbf{MN}\] là tiếp tuyến đường tròn (O).
Bài tập 2: Từ \[\textbf{A}\] nằm phía ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến \[\textbf{AM}\], \[\textbf{AN}\] với đường tròn (\[\textbf{M}\], \[\textbf{N}\] là các tiếp điểm).
- a) Chứng minh \[OA\perp MN\]
- b) Vẽ thêm đường kính \[\textbf{NOC}\]. Chứng minh \[MC//AO\].
- c) Tính độ dài các cạnh \[\triangle AMN\], biết \[OM=3 cm,OA=5cm\]
Đáp án:
Bài tập 1:
Ta có:
\[\left\{\begin{matrix}ON//AM\\AN//OM\end{matrix}\right.\Rightarrow\lozenge AMON\] là hình bình hành
Lại có: \[\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\Rightarrow\lozenge AMON\] là hình thoi
\[\Rightarrow MN\perp OA;HA=HO\]
Để \[\textbf{MN}\] là tiếp tuyến đường tròn (O) thì \[OH=R\] hay \[OA=2OH=2R\Rightarrow OA=2R\]
Bài tập 2:
- a) Vì AM = AN, OM = ON (1) \[\Rightarrow OA\] là đường trung trực của MN
\[\Rightarrow OA\perp MN;MI=IN=\frac{MN}{2}\] (2) (I là giao điểm của \[\textbf{OA}\] và \[\textbf{MN}\])
- b) Từ (1) và (2) \[\Rightarrow IO\] là đường trung trực \[\triangle MNC\Rightarrow IO//MC;MC//AO\]
- c) Vì \[\textbf{AM}\] là tiếp tuyến của (O) \[\Rightarrow AM\perp MO\] hay \[\triangle AMO\] vuông tại \[\textbf{M}\] có cạnh huyền \[AO=5cm\] thu được:
\[OM^{2}=OI.OA\Leftrightarrow 3^{2}=OI.5\Leftrightarrow OI=1,8(cm)\Rightarrow AI=5-1,8=3,2(cm)\]
Áp dụng hệ thức về cạnh, ta sẽ có: \[AM^{2}=3,2.5=4^{2}\Leftrightarrow AM=4(cm)(AM>0)\]
Áp dụng hệ thức về đường cao, ta lại có: \[MI^{2}=3,2.1,8=2,4^{2}\Leftrightarrow MI=2,4(cm)(MI>0)\]
Vậy \[AM=AN=4 cm\] và \[MN=IN.2=2,4.2=4,8 cm\]
Bài viết trên đây đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức về tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã biết cách nhận diện và giải các dạng bài liên quan đến khái niệm hình học này rồi nhé!
