Trong thế giới hình học thú vị, có một vài định lý đã trở thành những “chìa khóa vàng” để các em học sinh giải quyết rất nhiều bài toán phức tạp. Trong đó, định lý Talet không chỉ đơn thuần là công cụ, mà còn là bước ngoặt giúp bạn hiểu sâu hơn về mối quan hệ tỷ lệ giữa các đoạn thẳng nằm trong một tam giác. Hãy tìm hiểu rõ chuyên đề toán này ngay bây giờ nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
Trước khi tìm hiểu từng dạng bài thường gặp của định lý Ta-lét, chúng cần nắm vững phần lý thuyết trọng điểm. Không để bạn đợi lâu! Dưới đây là những kiến thức trọng tâm trong chuyên đề này:
1.1. Hiểu đúng về tỷ số giữa hai đoạn thẳng
Tỷ số giữa hai đoạn thẳng cũng chính là tỷ số giữa độ dài của chúng. Điều quan trọng nhất mà bạn phải nhớ là tỷ số này sẽ không thể bị thay đổi dù cho bạn có chọn đơn vị nào đi nữa, miễn sao cả hai đoạn được đo cùng một đơn vị.
1.2. Định nghĩa đoạn thẳng tỷ lệ
Cho hai đoạn thẳng AB và CD và một cặp đoạn thẳng khác là A’B’, C’D’. Khi đó, ta sẽ nói rằng AB và CD tỷ lệ với A’B’ và C’D’ nếu có thể thiết lập ra một tỷ lệ thức giữa các đoạn thẳng tương ứng, cụ thể ở đây là:
\[\frac{AB}{CD}=\frac{A’B’}{C’D’}\] hay \[\frac{AB}{A’B’}=\frac{CD}{C’D’}\]
1.3. Định lý Talet trong hình tam giác
Trong một hình tam giác, nếu có bất kỳ đường thẳng nào đó nằm song song với một cạnh, đồng thời cắt cả hai cạnh còn lại, thì đường này chắc chắn sẽ tạo ra các đoạn thẳng tương ứng với tỷ lệ trên hai cạnh đó.
Cụ thể, nếu \[\triangle ABC\] có đường thẳng \[DE//BC\], cắt AB tại D và AC tại E, thì:
\[\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\] hay \[\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\]
1.4. Kiến thức tỷ lệ thức cần nhớ và dãy tỷ số bằng nhau
- Tỷ lệ thức chính là một hằng đẳng thức giữa hai tỷ số, ví dụ:
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\]
- Theo đó, tỷ lệ thức sẽ sở hữu một vài tính chất sau:
- Tính chất cơ bản: Từ tỷ lệ đã cho ở trên, ta suy ra:
\[a.d=b.c\]
- Tính chất nghịch đảo, hoán vị: Nếu \[a.d=b.c\] với \[a,b,c,d\neq 0\], ta hoàn toàn có thể viết lại tỷ lệ này theo nhiều kiểu khác nhau, chẳng hạn như:
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d};\frac{a}{c}=\frac{b}{d};\frac{d}{b}=\frac{c}{a};\frac{d}{c}=\frac{b}{a}\]
- Khi có một dãy các tỷ số bằng nhau, ví dụ như: \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}\], ta suy ra:
\[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}\]
1.5. Kinh nghiệm được rút ra từ định lý Talet
Trước khi bước qua phần các dạng bài thường gặp, bạn cần luôn ghi nhớ: Khi đề bài nói đến tỷ số giữa hai đoạn thẳng trong hình học, bạn nên nghĩ ngay đến định lý Ta-lét. Mà khi nhắc đến định lý này, thì đường thẳng nằm song song chính là yếu tố không thể thiếu.
Như vậy, chúng tôi có một mẹo giải toán dành cho bạn là: Nếu bạn gặp bài toán đưa ra yêu cầu tìm tỷ số giữa các đoạn thẳng, nhưng lại không có đủ dữ kiện, hãy nghĩ đến việc dùng vẽ thêm một đường phụ nào đó nằm song song với cạnh hình tam giác. Đây chính là cách “mở khóa” để bạn áp dụng được định lý Ta-lét và giải quyết bài tập hiệu quả.
2. Những dạng toán tiêu biểu liên quan đến định lý Talet
Dưới đây là một số dạng bài đặc trưng của định lý Ta-lét, kèm theo phương pháp giải hiệu quả và ví dụ minh họa mà bạn có thể tham khảo:
2.1. Tính tỷ số giữa 2 đoạn thẳng
Để giải quyết dạng bài liên quan đến việc tính tỷ số giữa 2 đoạn thẳng hoặc chia một đoạn thẳng theo tỷ lệ, bạn có thể áp dụng những kiến thức sau:
- Áp dụng định nghĩa tỷ số độ dài:
Đối với lý thuyết này, bạn hãy nhớ rằng tỷ số giữa 2 đoạn thẳng được xác định bằng tỷ lệ độ dài của chúng, với cùng một đơn vị đo. Ví dụ, nếu đoạn AB = 6cm, CD = 3cm, thì:
\[\frac{AB}{CD}=\frac{6}{3}=2\]
- Chia một đoạn thẳng dựa trên một tỷ lệ cho trước:
Giả sử có đoạn thẳng AB, điểm C cũng nằm trên đoạn này. Nếu đoạn AB được chia ra tại C theo tỷ lệ \[\frac{m}{n}\neq 1\] (với \[m,n>0,m\neq n\]), ta có thể diễn tả mối quan hệ này bằng:
\[\frac{AC}{CD}=\frac{m}{n}\]
- Biểu diễn đại số để giải hình học:
Để thuận tiện cho việc tính toán hoặc thiết lập độ dài cho các đoạn, bạn có thể đưa về dạng đại số. Nếu ta có: \[\frac{AC}{CD}=\frac{m}{n}\], thì:
\[\left\{\begin{matrix}CA=mt\\CB=nt\end{matrix}\right.(t>0)\]
- Dựng tỷ lệ thức, đồng thời vận dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau:
Khi các đoạn thẳng có mối quan hệ tỷ lệ với nhau, hãy thiết lập nên tỷ lệ thức phù hợp. Sau đó, bạn cần sử dụng đến các tính chất của dãy tỷ số bằng nhau để tìm ra các đoạn chưa biết, hoặc giải hệ phương trình.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB = 10cm.
- a) Trên đoạn thẳng AB lấy thêm một điểm C, sao cho \[\frac{CA}{CB}=\frac{2}{3}\]. Tính độ dài CB.
- b) Trên tia đối của BA, hãy lấy thêm một điểm D, sao cho \[\frac{DA}{DB}=\frac{3}{2}\]. Tính độ dài CD.
Lời giải:
- a)
Cách 1: Từ giả thiết, ta có:
\[\frac{CA}{CB}=\frac{2}{3}\Rightarrow\left\{\begin{matrix}CA=3t\\CB=2t\end{matrix}\right.(t>0)\]
Nên \[AB=10cm=CA+CB=5t\Leftrightarrow t=2cm\].
Vậy CB = 4cm.
Cách 2: Từ giả thiết, ta có:
\[\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}\Rightarrow\frac{CA}{3}=\frac{CB}{2}=\frac{CA+CB}{3+2}=\frac{AB}{5}=\frac{10}{5}=2\]
Vậy CB = 4cm
Cách 3: Đặt CB = x thì CA = 10 – x
Từ giả thiết và tính chất cơ bản của tỷ lệ ta, ta có: \[3CB=2CA\] hay \[3x-2(10-x)\Leftrightarrow 5x=20\Leftrightarrow x=4(cm)\]
- b) Từ giả thiết, ta có:
\[\frac{DA}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow\left\{\begin{matrix}DA=3t\\DB=2t\end{matrix}\right.\]
Mặt khác D lại thuộc về tia đối của BA nên \[DA>DB\]
Do đó: \[AB=10cm=DA-DB=3t-2t\Leftrightarrow t=10cm\Rightarrow DB=20cm\]
Vậy \[CD=20+4=24(cm)\]
2.2. Tính độ dài đoạn thẳng – Dựng thêm đoạn thẳng tỷ lệ thứ tư
Khi gặp dạng bài tính độ dài đoạn thẳng, ta có thể xử lý tốt nó theo trình tự sau:
- Trước hết, sử dụng đến định lý Talet với mục tiêu thiết lập được mối quan hệ giữa các đoạn thẳng tương ứng.
- Tiếp theo, xác định rõ ràng và vẽ thêm đường thẳng nằm song song với một cạnh nào đó nhằm tạo ra những đoạn có quan hệ tỉ lệ.
- Cuối cùng, thay số vào trong biểu thức đã có rồi giải toán để tìm thấy kết quả mong muốn.
Dựng đoạn thẳng thứ 4 trong dãy 4 đoạn tỷ lệ, với điều kiện là bạn đã biết được ba đoạn còn lại:
- Đầu tiên, đặt ba đoạn thẳng đã cho lên hai cạnh tạo thành một góc.
- Sau đó, dựng thêm một đường thẳng, so cho nó nằm song song với một cạnh và phù hợp để tạo ra đoạn thẳng thứ 4 sở hữu độ dài tương ứng theo tỷ lệ đã biết.
Ví dụ 1: Tính x trên hình sau:
Lời giải:
Áp dụng ngay định lý Talet vào \[\triangle OMN\] với \[PQ//MN\], ta được:
\[\frac{MP}{PO}=\frac{NQ}{QO}\] hay
\[\frac{x-16}{16}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x-16=12\Leftrightarrow x=28\]
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng có độ dài lần lượt là m, n, p với cùng số đo. Hãy dựng thêm một đoạn thẳng có độ dài là x, sao cho \[\frac{m}{x}=\frac{n}{p}\]
Lời giải:
– Vẽ \[\widehat{zOt}\] bất kỳ.
– Trên tia Oz, lần lượt đặt các đoạn \[OA=n,OB=p\].
– Trên tia Ot, lại đặt \[OC=m\].
– Vẽ \[BD//AC\] thì \[OC=x\] là đoạn mà bạn cần dựng.
Thực vậy, khi ta áp dụng định lý Ta-lét vào \[\triangle OBD\], có \[AC//BD\], ta được:
\[\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}\] hay \[\frac{m}{x}=\frac{n}{p}\]
2.3. Chứng minh những hệ thức trong hình học
Để giải bài này, ta cần kết hợp tư duy phân tích hình với khả năng biến đổi đại số.
- Trước hết, hãy quan sát kỹ hình vẽ để phát hiện ra mối quan hệ hình học tiềm ẩn, đặc biệt là các đường có khả năng song song với một cạnh nào đó trong tam giác. Đây cũng chính là “chìa khóa” để bạn mở ra hướng lập tỉ lệ.
- Tiếp theo, vận dụng định lý Talet nhằm thiết lập ra các cặp đoạn thẳng có mối quan hệ tỉ lệ. Việc dùng đến định lý này sẽ giúp bạn xây dựng được biểu thức ban đầu để tiến hành chứng minh.
- Cuối cùng, dùng các thao tác biến đổi (quy đồng, chuyển vế, rút gọn,…) để đơn giản hóa biểu thức và làm rõ mối quan hệ cần chứng minh.
Ví dụ: Cho một hình thang \[ABCD(AB//CD)\]. Một đường thẳng nằm song song với cả 2 đáy, cắt 2 cạnh bên AD và BC lần lượt tại điểm M và N. Chứng minh rằng:
- a) \[\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}\]
- b) \[\frac{AM}{AD}+\frac{CN}{CB}=1\]
Lời giải:
- a) Gọi I là giao điểm của đường chéo AC cùng với MN.
Áp dụng định lý Talet vào \[\triangle ACD\] và \[\triangle ACB\], có \[MI//CD,IN//AB\], ta được:
\[\frac{AM}{MD}=\frac{AI}{IC}\] (1); \[\frac{BN}{NC}=\frac{AI}{IC}\] (2)
Từ (1) và (2), suy ra: \[\frac{AM}{MD}=\frac{BN}{NC}\]
- b) Áp dụng định lý Ta-lét cho \[\triangle ACD\] và \[\triangle ACB\], với \[MI//CD,IN//AB\], ta được:
\[\frac{AM}{AD}=\frac{AI}{AC}\] (3); \[\frac{ON}{OB}=\frac{CI}{CA}\] (4);
Cộng theo vế các đẳng thức (3) và (4), thu được:
\[\frac{AM}{AD}+\frac{ON}{OB}=\frac{CI+AI}{CA}=\frac{CA}{CA}=1\]
2.4. Dùng đường phụ song song để tìm ra tỷ số hai đoạn thẳng
Khi thấy đề bài không cung cấp sẵn những đoạn tỷ lệ hoặc các yếu tố hình học chưa được rõ ràng, bạn cần chủ động vẽ thêm đường phụ để tạo điều kiện áp dụng định lý Ta-lét. Cụ thể như sau:
- Trước tiên, tùy theo dữ kiện đề bài, bạn cần xác định cạnh thích hợp rồi vẽ đường thẳng song song đi qua điểm đã cho. Mục đích của hành động này là hình thành những đoạn thẳng có quan hệ tỷ lệ.
- Tiếp theo, hãy biểu diễn rõ độ dài các đoạn thẳng dưới dạng đại số thông qua việc đặt ẩn phù hợp với tỉ lệ đã cho.
- Cuối cùng, sau khi có đường thẳng song song cũng như đặt được biểu thức đại số, bạn hãy dùng định lý Talet để thiết lập nên hệ thức giữa các đoạn tương ứng. Từ đó mới suy ra được tỷ số mà bạn cần tìm một cách chính xác nhất.
Ví dụ: Cho \[\triangle ABC\], trên cạnh BC lấy một điểm D, sao cho \[\frac{BC}{BD}=\frac{4}{1}\]. Lại có điểm I thuộc đoạn AD, sao cho \[\frac{AI}{ID}=\frac{1}{2}\]. GỌi K là giao điểm của cạnh AC và BI. Tính tỷ số \[\frac{AK}{KC}\]
Lời giải:
Kẻ thêm \[DE//BK\] thì \[DE//IK\].
Áp dụng định lý Ta-lét vào \[\triangle ADE\] có \[IK//DE\], ta được:
\[\frac{AK}{KE}=\frac{AI}{ID}=\frac{1}{2}\Rightarrow\left\{\begin{matrix}AK=1t\\KE=2t\end{matrix}\right.(t>0)\]
Áp dụng định lý Ta-lét vào \[\triangle BCK\] có \[DE//BK\], ta được:
\[\frac{KC}{KE}=\frac{BC}{BD}=\frac{4}{1}\Rightarrow KC=4KE=8t\]
Vậy \[\frac{AK}{KC}=\frac{1t}{8t}=\frac{1}{8}\]
3. Bài tập vận dụng có liên quan đến định lý Talet
Bài tập 1: Cho một đoạn thẳng AM, với M chính là một điểm thuộc đoạn AB. Tính tỷ số \[\frac{AM}{AB}\] và \[\frac{MB}{AB}\] nếu:
- a) \[\frac{MA}{MB}=\frac{1}{2}\]
- b) \[\frac{MA}{MB}=\frac{7}{4}\]
- c) \[\frac{MA}{MB}=\frac{m}{n}\]
Bài tập 2: Cho \[\triangle ABC\] có một đoạn AM là trung tuyến và điểm E thuộc về đoạn thẳng MC. Qua E kẻ thêm một đường thẳng nằm song song cùng với AC, đồng thời cắt cạnh AB và AM lần lượt ở điểm D và K. Qua E kẻ thêm đường song song với AB, cắt AC tại điểm F. Chứng minh CF = DK.
Đáp án:
Bài tập 1:
- a)
\[\frac{MA}{MB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{MA}{1}=\frac{MB}{2}=\frac{MA+MB}{1+2}=\frac{AB}{3}\Rightarrow\frac{MA}{AB}=\frac{1}{3};\frac{MB}{AB}=\frac{2}{3}\]
b)
\[\frac{MA}{MB}=\frac{7}{4}\Rightarrow\frac{MA}{7}=\frac{MB}{4}=\frac{MA+MB}{7+4}=\frac{AB}{11}\Rightarrow\frac{MA}{AB}=\frac{7}{11};\frac{MB}{AB}=\frac{4}{11}\]
- c)
\[\frac{MA}{MB}=\frac{m}{n}\Rightarrow\frac{MA}{m}=\frac{MB}{n}=\frac{MA+MB}{m+n}=\frac{AB}{m+n}\Rightarrow\frac{MA}{AB}=\frac{m}{m+n};\frac{MB}{AB}=\frac{n}{m+n}\]
Bài tập 2:
Chứng minh được \[\lozenge ADEF\] là hình bình hành, từ đó: \[EF=AD\] (1)
Kẻ \[MG//AC(G\in AB)\], ta được G là trung điểm của đoạn AB. Áp dụng định lý Ta-lét cho \[\triangle ABC\], ta có: \[\frac{CF}{EF}=\frac{AC}{AB}\] (2)
Tương tự với \[\triangle AGM\] và \[\triangle ABC\], ta có:
\[\frac{DK}{AD}=\frac{MG}{AG}=\frac{MG}{BG}=\frac{AC}{AB}\]
Từ (1), (2), (3), suy ra: CF = DK
Bài viết trên đây là tất tần tật kiến thức trọng tâm của định lý Talet mà chúng tôi đã tổng hợp kỹ càng. Mong rằng bạn đã nhận dạng và giải quyết các dạng bài thường gặp có liên quan đến định lý này. Hãy tiếp tục theo dõi website của chúng tôi để biết thêm kiến thức khác nhé!
