Định lí Ta-lét trong tam giác

Định lí Ta-lét trong tam giác là một trong những định lí cơ bản trong toán học, giúp ta tính toán tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên các cạnh của tam giác khi có một đường thẳng song song đi qua hai điểm trên hai cạnh của tam giác. Bài học này giúp các em hiểu rõ hơn về định lí Ta-lét, cách áp dụng và cách giải các bài toán liên quan đến nó. 

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng

Định nghĩa:

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD được kí hiệu là \(\frac{AB}{CD}\\\)

Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo

Ví dụ: 

Cho AB = 10 cm; CD = 70 cm thì \(\frac{AB}{CD}=\frac{10}{70}=\frac17\\\)

Cho AB = 1 dm; CD = 7 dm thì \(\frac{AB}{CD}=\frac17\\\)

2. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng MN và PQ gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng M'N' và P'Q' nếu có tỉ lệ thức \(\frac{MN}{PQ}=\frac{M'N'}{P'Q'}\\\) hay \(\frac{MN}{M'N'}=\frac{PQ}{P'Q'}\\\)

3. Định lí Ta - lét trong tam giác

Định lí Ta - lét: Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm trên hai cạnh của một tam giác và là song song với cạnh thứ ba, thì đường thẳng đó sẽ chia các cạnh đó thành các đoạn thẳng có tỉ lệ tương ứng với độ dài của các cạnh đó.

Cụ thể hơn, nếu tam giác ABC và d cắt AB tại D, cắt AC tại E, song song với BC, như vậy theo Ta - lét, ta có thể kết luận rằng:

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\\\) và \(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\\) và \(\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}\\\)

4. Các dạng bài tập thường gặp về định lí Ta-lét

Dạng 1. Tính tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước.

Phương pháp giải:

1. Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.
2. Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc đường thẳng AB), được gọi là chia đoạn thẳng AB theo tỉ số \(\frac mn\\\) khác 1 (m, n là các số dương), nếu ta có: \(\frac{CA}{CB}=\frac mn\\\)
3. Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.
4. Lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Dạng 2. Tính độ dài đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư.

Phương pháp giải:

1. Tính độ dài đoạn thẳng:

• Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.
• Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
• Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.

2. Trong bốn đoạn thẳng tỉ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tự khi biết độ dài của ba đoạn kia:

• Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc.
• Dựng đường thẳng song song để xác định đoạn thẳng thứ tư.

Dạng 3. Chứng minh các hệ thức hình học.

Phương pháp giải:

1. Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.
2. Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.
3. Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng theo vế các đẳng thức hình học.

Dạng 4. Vẽ thêm đường thẳng song song để tính tỉ số hai đoạn thẳng.

Phương pháp giải:

1. Vẽ thêm đường thẳng song song.
2. Áp dụng định lí Ta-lét.

5. Bài tập minh hoạ

Bài tập trắc nghiệm

Bài 1. Cho AB/A'B' = CD/C'D'

⇔ AB.C'D' = A'B'.CD    ( I )

⇔ AB/CD = A'B'/C'D'    ( II )

A. ( I ),( II ) đều sai.

B. ( I ),( II ) đều đúng.

C. Chỉ có ( I ) đúng

D. Chỉ có ( II ) đúng.

Đáp án:

Ta có: AB/A'B' = CD/C'D' ⇒ AB.C'D' = A'B'.CD

⇔ AB/ CD = A'B'/C'D'

Khi đó cả ( I ),( II ) đều đúng.

=> Chọn B

Bài 2: Cho tam giác ABC. E và D là hai điểm lần lượt thuộc AB, AC sao cho AD song song với BC. Biết độ dài AB=12, EB=8, AC=9. Độ dài của CD là:

A. CD=1,5

B. CD=3

C. CD=6

D. Một kết quả khác

Chọn đáp án C

Bài 3: Cho AB = 6 cm, AC = 18 cm, tỉ số hai đoạn thẳng AB và AC là?

A. 1/2

B. 1/3

C. 2

D. 3

Đáp án:

Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac6{18}=\frac13\\\)

Chọn đáp án B

Bài 4: Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN//BC

A. x = 2,75

B. x = 5

C. x = 3,75

D. x = 2,25

Đáp án:

Ta có: MN//BC ⇒ AM/ AB = AN/AC ⇔ 2/5 = 1,5/x ⇒ x = 3.75

Chọn đáp án C

Bài tập tự luận

Bài 1. Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a) AB = 2 cm; CD = 8 cm.

b) AB = 3dm; MN = 5cm.

c) MN = 40 cm; PQ = 2dm

Lời giải

a) Tỉ số của các cặp đoạn thẳng đã cho là:

\(\frac{AB}{CD}=\frac28=\frac14\\\)

b) Đổi AB = 3 dm = 30 cm

\(\frac{AB}{MN}=\frac{30}5=6\\\)

c) Đổi PQ = 2dm = 20 cm

\(\frac{MN}{PQ}=\frac{40}{20}=2\\\)

Bài 2. Tìm giá trị x trên hình vẽ:

Lời giải

a) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác ABC có MN//BC

Ta có: \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow\frac{AM}{AB-AM}=\frac{AN}{AC-AN}\Leftrightarrow\frac{AN}{BM}=\frac{AN}{NC}\\\)

\(\frac4x=\frac5{3,5}\Rightarrow x=\frac{4.3,5}5=2,8cm\\\)

Vậy x = 2,8cm

b) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác DEF có PQ//EF

Ta có: \(\frac{PE}{DE}=\frac{QF}{DF}\Rightarrow\frac{PE}{DE\;-\;PE}=\frac{QF}{DF\;-\;OF}\\\)

Hay \(\frac{10,5}x=\frac9{24-9}\Rightarrow x=\frac{10,5.15}9=17,5cm\\\)

Vậy x = 17,5 cm

Bài 3. Tính độ dài cạnh AN

Lời giải

Ta có MN//BC, áp dụng định lý Ta – lét ta có:

\(\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\;hay\;\frac{17}{10}=\frac x9\\\)

⇒ x = \(\frac{17.9}{10}\\\) = 15,3