Tập hợp các số thực

Số thực là một khái niệm cơ bản trong toán học và đóng vai trò trung tâm trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu, bao gồm giải tích, hình học. Tập hợp số thực là tập hợp các số biểu diễn được trên trục số và là một khái niệm cơ bản trong toán học, với nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật và kinh tế. Số thực bao gồm tất cả các số hữu tỷ, chẳng hạn như số nguyên và phân số, và tất cả các số vô tỷ, chẳng hạn như căn bậc hai và logarit. Hãy cùng tìm hiểu sâu hơn về tập hợp số thực trong bài học này.

Số thực là gì?

Số thực là một số có thể được biểu diễn trên trục số và bao gồm tất cả các số hữu tỷ (chẳng hạn như số nguyên và phân số) và các số vô tỷ (chẳng hạn như căn bậc hai và số pi).

Số thực là tập hợp các số bao gồm tất cả các số hữu tỉ (phân số và số nguyên) và số vô tỷ (các số không thể biểu diễn dưới dạng phân số đơn giản).

Tập hợp các số thực được ký hiệu bằng ký hiệu R.

Các số thực có thể được biểu diễn dưới dạng các điểm trên một đường thẳng, với khoảng cách giữa hai điểm biểu thị độ lớn của hiệu giữa các số tương ứng của chúng.

Một trong những tính chất quan trọng nhất của số thực là tính chất đầy đủ. Điều này có nghĩa là với bất kỳ tập hợp số thực không rỗng nào bị chặn ở trên, tồn tại một số thực là cận trên nhỏ nhất của tập hợp. Nói cách khác, tập hợp các số thực được “đóng” dưới các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Tính chất này làm cho số thực trở nên hữu ích trong các lĩnh vực như giải tích và các ngành toán học khác liên quan đến giới hạn và hàm liên tục.

Tập hợp số thực

Số thực được coi như là tập hợp số “mẹ” của các tập hợp số vừa được kể trên. Các tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ, số vô tỉ, kể cả số 0 đều là các tập hợp con thuộc tập hợp mẹ – tập hợp số thực R.
Mặc dù thế, tập hợp số thực vẫn chưa phải là tập hợp số lớn nhất. Tập hợp số phức C mới là tập hợp số lớn nhất.

Dựa trên đỉnh nghĩa và tập hợp số thực R, ta có thể nói tính chất của tập số thực R là một tập hợp vô hạn và không thể nào đếm hết được. Số lượng của tập hợp số thực là lớn hơn rất nhiều lần so với tập hợp của tất cả các tập hợp số khác (tập hợp số N, Z, Q, I).

Hình trên cho thấy, tập hợp số thực R bao gồm cả các tập hợp số khác như: Tập hợp số tự nhiên (N), tập hợp số nguyên (Z), tập hợp số hữu tỉ (Q). 

Tính từ “thực” trong số thực này lần đầu xuất hiện là vào thế kỷ thứ XVII. Nhờ vào công trình nghiên cứu của một nhà khoa học nổi tiếng, đặt nền móng cho nhiều giải tích trong lĩnh vực toán học. Ông chính là Rên Descartes.

Tính chất của tập hợp số thực R:

• Bất kỹ một số thực nào (ngoại trừ số 0) đều có số dương và số đối nghịch với nó (số âm). Ví dụ: ta có số dương 5 thì số đối nghịch của nó là -5 (số âm).
• Tỗng (kết quả phép tính cộng) hay tích (kết quả phép tính nhân) của hai số thực không âm luôn luôn là một số thực không âm.
• Đây được coi như là tính chất cơ bản và dễ nhận biết nhất của tập hợp số thực.
• Số thực được xem như là tập hợp vô hạn các số, với số lượng vô cùng nhiều và ta không đếm được.
• Các phép đo đại lượng liên tục có thể được thể hiện thông qua số thực.
• Số thực có thể được biễu diễn bằng số dưới dạng số thập phân (phân số).

Ngoài các tính chất cơ bản này, số thực còn có vô số các tính chất và ứng dụng quan trọng khác. Ví dụ: các số thực có thể được sử dụng để xác định các hàm, là các thực thể toán học liên kết một số thực với một số khác. Các hàm là trung tâm của nhiều lĩnh vực toán học và khoa học, và chúng được sử dụng để mô hình hóa mối quan hệ giữa các biến và đưa ra dự đoán về hành vi của các hệ thống.

Trục số thực

Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.

Ngược lại mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Chỉ có tập hợp số thực mới lấp đầy trục số.

Bài tập ví dụ về số thực

Bài 1: Điền dấu ∈, ∉, ⊂ thích hợp vào chỗ trống

a) 4 …. Q ; 4 …. R ; 4… I ; -1,23… Q ;

b) 0,2 …. I ; N …. Z ; I …. R.

Giải:

a) 4 ∈ Q ; 4 ∈ R ; 4 ∉ I ; -1,23∈ Q ;

b) 0,2 ∉ I ; N ∈ Z ; I ⊂ R.

Bài 2: Hãy tìm các tập hợp

a) Q ∩ I 

b) R ∩ I

Giải:

a) Q ∩ I = Ø 

b) R ∩ I = I

Bài 3: Điền chữ số thích hợp vào ô trống

a) – 7,15 < – 7,_5

b) – 6,528 > – 6,5_8

c) – 0,2_134 < – 0,23134

d) -1,_571 < – 1,4571

Hướng dẫn

a) – 7,15 < – 7,05

b) – 6,528 > – 6,538

c) – 0,25134 < – 0,23134

d) -1,6571 < – 1,4571