Trong suốt quá trình học toán, có lẽ nhiều lần bạn đã từng nghe qua về cụm từ tập hợp số thực. Đây là một trong những kiến thức trọng tâm thuộc chương trình đại số năm lớp 7. Hiểu được tâm lý đó, chúng tôi đã thực hiện bài viết này để mang đến những thông tin quan trọng nhất giúp bạn hiểu rõ về chuyên đề thú vị kể trên.
Tổng hợp các lý thuyết liên quan đến tập hợp số thực
Số thực được hiểu là gì ?
Vào thế kỷ thứ 17, một nhà nghiên cứu toán học người Pháp tên là Rene Descartes đã đưa ra khái niệm chi tiết về số thực để phân biệt được các giá trị nghiệm thực và nghiệm ảo của một đa thức. Tuy nhiên, mãi cho đến năm 1871 thì có một nhà toán học khác là Georg Cantor đã đưa ra khái niệm số thực chính xác nhất.
Trong tiếng anh, số thực được gọi dưới cái tên là Real number và là một tập hợp bao gồm cả số dương (1, 2, 3,…), số âm (-1, -2, -3,…), số 0, số hữu tỉ ( [\frac{5}{6},\frac{8}{3}\],…) . Dựa trên tính chất mà số thực sẽ được định nghĩa một cách rõ nét nhất.
Tập hợp số thực được định nghĩa như thế nào ?
Theo đó, tập hợp số thực được tạo thành dựa trên sự kết hợp giữa tập các số vô tỉ và hữu tỉ, cụ thể là:
- Số hữu tỉ thường được viết dưới dạng phân số là \[\frac{a}{b}\] \[(a,b\in Z,b\neq o)\]. Ký hiệu của tập số này là \[\mathbb{Q}\].
- Ngược lại, số vô tỉ được định nghĩa là số thập phân vô hạn không tuần hoàn như \[\sqrt{2},\sqrt{5}\]. Tập số này sẽ được ký hiệu là \[\textit{I}\].
- Còn tập hợp số thực sẽ được ký hiệu là \[\mathbb{R}\]
Trong đó: \[\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\textit{I}\]. Có thể kết luận rằng, tập hợp các số thực \[\mathbb{R}\] phủ kín toàn bộ trục số.
Trục số thực là gì ?
Mỗi một số thuộc tập hợp các số thực sẽ được biểu diễn bằng một điểm trên trục số. Hoặc nói ngược lại, mỗi một điểm trên trục cũng thể hiện cho một số thực tương ứng. Đặc biệt, chỉ có duy nhất tập hợp các số thực mới lấp đầy được trục số như hình dưới đây.
Cách để so sánh các số thực với nhau
- Giả sử, ta có hai số thực, x và y bất kỳ, thì luôn có \[x=y,x<y,x>y\].
- Những số thực mà lớn hơn 0 thì được gọi là số thực dương, ngược lại nếu như nhỏ hơn 1 thì được gọi là số thực âm.
- Đặc biệt, trong khái niệm này thì số 0 không là số thực dương và cũng không là số thực âm.
- Cách để so sánh hai số thực dương với nhau cũng tương tự như cách so sánh các số hữu tỉ. Theo đó, nếu ta có a và b là số thực dương thì \[a>b\Rightarrow\sqrt{a}>\sqrt{b}\].
Các tính chất của tập hợp số thực mà bạn nên biết
Khi tiếp xúc với tập hợp số thực \[\mathbb{R}\], ta cũng sẽ thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia, căn bậc, lũy thừa,…Tương tự như các số hữu tỉ, phép toán liên quan đến số thực cũng sẽ có các tính chất tiêu biểu. Với mọi \[a,b,c\in\mathbb{R}\], ta có:
- \[a+0=a\]
- \[a+b=b+a\]
- \[(a+b)+c=a+(b+c)\]
- \[a\times b=b\times a\]
- \[(a\times b)\times c=a\times(b\times c)\]
- \[a\times 1=1\times a \]
- \[a\times(b+c)=a\times b+a\times c \]
- \[a\neq 0\Rightarrow\frac{1}{a}\times a=1\]
Tổng kết lại thì mọi phép tính thuộc \[\mathbb{R}\] thì đều sẽ xuất hiện các tính chất như giao hoán, kết hợp, phân phối,… tương tự trên các tập hợp số khác. Theo đó, bạn có thể hiểu mối liên hệ giữa các tập số như sau: \[\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\].
Giá trị tuyệt đối của các số thuộc \[\mathbb{R}\]
Bạn có thể hiểu khái niệm này theo định nghĩa như sau: Khoảng cách từ a đến điểm 0 nằm trên trục số sẽ là giá trị tuyệt đối của một số bất kỳ, mà a là số thực. Giá trị tuyệt đối của số dương là chính nó, còn giá trị tuyệt đối của số âm sẽ là số đối của nó. Mệnh đề này có thể tổng quát như sau:
- \[a\geq 0\Rightarrow\left|a\right|=a\]
- \[a<0\Rightarrow\left|a\right|=-a\]
- \[x-a\geq 0\Rightarrow\left|x-a\right|=x-a\]
- \[x-a\leq 0\Rightarrow\left|x-a\right|=a-x\]
- \[\left|a\right|=o\Leftrightarrow a=0\]
- \[\left|a\right|\neq o\Leftrightarrow a\neq 0\]
- Nếu xét trong hai số âm thì số nào nhỏ hơn sẽ có giá trị tuyệt đối lớn hơn, cụ thể là: \[a<b<o\Rightarrow\left|a\right|>\left|b\right|\].
- Ngược lại, số dương nào nhỏ hơn thì giá trị tuyệt đối của nó cũng sẽ nhỏ hơn \[0<a<b\Rightarrow\left|a\right|<\left|b\right|\].
- Tích của hai giá trị tuyệt đối cũng bằng giá trị tuyệt đối của tích hai số đó \[\left|a\times b\right|=\left|a\right|\times\left|b\right|\].
- Tương tự, giá trị tuyệt đối của một thương bất kỳ cũng sẽ bằng thương hai giá trị tuyệt đối đó \[\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{\left|a\right|}{\left|b\right|}\].
Tổng hợp một vài dạng bài tập liên quan đến tập hợp số thực
Bài 1: Hãy điền các dấu \[\in,\notin,\subset \] vào các chỗ trống sau:
\[5…\mathbb{Q};5…\mathbb{R};5…\mathbb{I};-5,67…\mathbb{Q};0,5(84)…\mathbb{I};\mathbb{N}…\mathbb{Z};\mathbb{I}…\mathbb{R}\]
Giải:
\[5\in\mathbb{Q};5\in\mathbb{R};5\notin\mathbb{I};-5,67\in\mathbb{Q};0,5(84)\notin\mathbb{I};\mathbb{N}\in\mathbb{Z};\mathbb{I}\subset\mathbb{R}\]
Bài 2: Xác định các tập hợp như sau:
- \[\mathbb{Q}\cap\mathbb{I}\]
- \[\mathbb{R}\cap\mathbb{I}\]
Giải:
\[\mathbb{Q}\cap\mathbb{I}=\varnothing \]
\[\mathbb{R}\cap\mathbb{I}=\mathbb{I}\]
Bài 3: Tìm x biết rằng \[3,2\times x+(-1,2)\times x+2,7=-4,9\]
Lời giải:
\[3,2\times x+(-1,2)\times x+2,7=-4,9\]
\[\Leftrightarrow(3,2+1,2)\times x+2,7=-4,9\]
\[\Leftrightarrow 2\times x+2,7=-4,9\]
\[\Leftrightarrow 2\times x=-4,9-2,7\]
\[\Leftrightarrow 2\times x=-7,6\]
\[\Leftrightarrow x=-3,8\]
Bài viết trên đã tổng hợp chi tiết các lý thuyết liên quan đến tập hợp số thực mà bạn cần nắm. Đây là tập số lớn nhất trong toán học và phủ kín toàn bộ trục số. Chúng tôi mong rằng bạn đã có được những phút giây học đầy hứng khởi cùng các kiến thức đã được bật mí.
