Hình nón cụt là một trong những chủ đề toán học nhận được rất nhiều sự quan tâm từ phía các bạn học sinh. Đây là một kiến thức quan trọng, có mối liên hệ mật thiết đến nhiều bài toán nâng cao. Hiểu được tâm lý đó, chúng tôi đã thực hiện bài viết này để tổng hợp những công thức cơ bản mà bạn biết để đạt được điểm số như mong đợi.
Hình nón và hình nón cụt khác nhau như thế nào ?
Giả sử trong một mặt phẳng không gian, ta có tam giác vuông AOC. Lúc này, quay một vòng tam giác trên quanh cạnh OA cố định thì ta sẽ được một hình nón. Trong đó, A sẽ là đỉnh của hình, đường tròn O vừa dựng sẽ là phần đáy. Và mỗi vị trí AB sẽ được gọi là đường sinh của hình nón trên, còn đoạn OA thì sẽ là chiều cao.
Vậy, hình nón cụt là gì ? Nếu như một hình nón bình thường như trên, bị cắt bởi một mặt phẳng song song với phần đầy thì phần hình nằm giữa, kết hợp với mặt đáy sẽ là hình nón dạng cụt. Trong đó, hai hình tròn tâm O’ và O là hai đáy của hình, OO’ là trục đồng thời cũng là chiều cao. Tương tự, đoạn AB vẫn là đường sinh.
Bật mí các công thức liên quan đến hình nón cụt
Diện tích xung quanh
\[S_{xq}=\pi\times(r_1+r_2)\times l\]
Trong đó:
- \[S_{xq}\]: Diện tích xung quanh cần tìm\
- \[r_1,r_2\] là bán kính của hai đáy trong hình
- \[l\] là độ dài đường sinh
Tuy nhiên, bạn cần lưu ý rằng, diện tích xung quanh của hình nón dạng cụt chỉ bao gồm diện tích của các mặt xung quanh hình mà thôi, không bao gồm diện tích của hai phần đáy.
Diện tích toàn phần
\[s_{tp}=S_{xq}+S_{2d}\]
\[\RightarrowS_{tp}=\pi\times(r_1+r_2)\timesb l+\pi\times{r_{1}}^{2}+\pi\times{r_{2}}^{2}\]
Trong đó:
- \[S_{xq}\]: Diện tích xung quanh của hình nón
- \[S_{tp}\]: Diện tích toàn phần đang cần tìm
- \[S_{2d}\]: Diện tích 2 mặt đáy trong hình nón cụt
Theo đó, diện tích toàn phần sẽ là độ lớn mà toàn không gian trong hình chiếm giữ, bao gồm cả diện tích xung quanh với diện tích 2 mặt đáy.
Thể tích
Nói một cách nôm na thì thể tích của dạng hình nón này là toàn bộ lượng không gian mà hình chiếm giữ. Theo đó, thể tích của hình nón cụt sẽ bằng hiệu thể tích của hình nón lớn trừ đi hình nón nhỏ. Với \[r_1, r_2\] là bán kính của hai đáy, h là chiều cao, ta có công thức tính thể tích là:
\[v=\frac{1}{3}\pi\times(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_1\times r_2)\times h\]
Một số bài tập vận dụng liên quan đến hình nón dạng cụt
Bài 1: Biết một hình nón dạng cụt có bán kính hai mặt đáy là r1 và r2 với kích thước lần lượt là 5cm và 7cm. Hình có đường sinh là l nối từ phần đỉnh đến đáy dài 6cm, Hãy tính diện tích xung quanh và toàn phần của hình trên ?
Giải:
Ta có hai bán kính đáy lần lượt là 5cm và 7cm, đường sinh l bằng 6cm nên suy ra diện tích toàn phần của hình là:
\[\Rightarrow s_{tp}=\pi\times(5+7)\times 4+(\pi\times 5^2+\pi\times 7^2)=\pi\times 12\times 4+(\pi\times 25+\pi\times 49)=383,08 cm^2 \]
Diện tích xung quanh của hình nón này là: \[\Rightarrow S_{xq}=\pi\times(r_1+r_2)\times l=\pi\times(5+7)\times 6\approx 266 cm^2\].
Bài 2: Cho hình nón cụt tương tự hình vẽ dưới đây, biết rằng bán kính phần đáy nhỏ là 3cm, còn đáy lớn là 6cm. Độ dài đoạn AB bằng 4cm. Tìm diện tích xung quanh và thể tích của hình trên.
Lời giải:
Diện tích xung quanh của hình sẽ bằng: \[\Rightarrow S_{xq}=\pi\times(r_1+r_2)\times l=\pi\times(3+6)\times 4=36\pi(cm^2)\].
Vẽ đoạn AH vuông góc với PB và áp dụng định lý Py – ta – go trong tam giác AHB vuông tại H ta có:
\[AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{AB^2-(R-r)^2}=\sqrt{16-1}=\sqrt{15}\]
Vậy, thể tích của hình sẽ bằng: \[v=\frac{1}{3}\pi\times(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_1\times r_2)\times h=\frac{1}{3}\times\sqrt{15}\times(3^2+6^2+3\times 6)=21\pi\sqrt{15}(cm^3)\]
Trên đây là các lý thuyết cơ bản giúp bạn nhận biết được hình nón cụt trong mặt phẳng không gian là như thế nào. Hy vọng rằng, những kiến thức trên sẽ giúp bạn có được niềm vui và sự phấn khởi trong suốt quá trình học tập tương lai.
