Đường kính và dây của đường tròn
Trong hình học, đường tròn là một trong những khái niệm cơ bản nhất. Hai đại lượng quan trọng nhất để miêu tả đường tròn đó là đường kính và dây. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về định nghĩa và tính chất của đường kính và dây của đường tròn, cũng như cách tính toán chúng.
1. So sánh độ dài đường kính và dây
| Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. |
Đường kính có độ dài gấp đôi bán kính
Xét đường tròn (O;R)
- A \(\in\) (O)
- B \(\in\) (O)
⇒ AB \(\leq\) 2R
Ví dụ:
Trường hợp 1. AB là đường kính ⇔ AB = 2R
Trường hợp 2. AB không là đường kính ⇔ AB < 2R
2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
Mối quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây được thể hiện thông qua 2 định lí:
| Định lí 1:Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây sẽ đi qua trung điểm của dây ấy. |
Xét (O, R):
AB là đường kính
CD là dây cung
CD \(\perp\) AB tại I
⇒ I là trung điểm của CD
| Định lí 2: Khi đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. |
Xét (O;R):
AB là đường kính
CD là dây cung
O không thuộc CD
I là trung điểm của CD, I thuộc AB
⇒ CD \(\perp\) AB tại I
3. Các dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, so sánh độ dài hai đoạn thẳng
Phương pháp giải:
Vận dụng những kiến thức đã học:
- Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây
- Dùng định lý Py – ta – go , hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp giải:
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.
- Trong một đường tròn:
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
Dạng 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm tới dây
Phương pháp giải:
- Trong một đường tròn:
- Đường kính là dây lớn nhất.
- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
- Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.
- Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
- Dây nào gần tâm hơn thì có độ dài lớn hơn
4. Bài tập vận dụng
Bài 1. Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của AB. Qua điểm M vẽ dây CD (không trùng với AB). Chứng minh rằng điểm M không phải là trung điểm của dây CD
Lời giải
Giả sử M là trung điểm của CD ta có OM \(\perp\) CD
Mặt khác M là trung điểm của AB nên OM \(\perp\) AB
Suy ra AB \(\equiv\) CD (trái giả thiết)
Do đó M không phải trung điểm của dây CD
Bài 2. Cho tam giác ABC, các đường cao AH và CK. Chứng minh rằng:
a) 4 điểm A,C, H và K cùng thuộc một đường tròn;
b) HK < AC.
Lời giải
a) Gọi I là trung điểm của AC. Áp dụng tính chất của đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AKC, AHC ta có:
\(IK=IH=\frac12AC\)
Suy ra điểm I cách đều bốn điểm A, K, H, C
Vậy 4 điểm A, K, H, C cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính AI
b) Trong đường tròn (I, AI), AC là đường kính, HK là dây phân biệt với AC nên HK < AC
Bài 3. Tính độ dài của dây AB. Biết rằng OA = 13cm, AM = MB, OM = 5cm.
Lời giải
Ta thấy, OM chính là một phần đường kính đi qua trung điểm của dây AB. Vì thế, có thể suy ra OM vuông góc với AB.
Ta xét tam giác OAM vuông góc tại M nên:
OA2 = AM2 + OM2
AM2 = OA2 - OM2 = 144
⇒AM =12
AB = 2. AM = 24cm. Như vậy, ta đã tìm được độ dài của dây AB là 24cm.
Bài 4. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB. Kẻ AE và BG lần lượt vuông góc với CD tại E và G. Chứng minh CE = DG.
Gọi H là trung điểm của CD
\(\Rightarrow OH\perp CD\Rightarrow OH\perp EG\)
Vì \(\left\{\begin{array}{l}BG\;\perp\;EG\\AE\;\perp EG\end{array}\right.\Rightarrow AE\;//BG\)
Xét tứ giác ABGE có:
AE // BG
⇒ Tứ giác ABGE là hình thang
Lại có OH ⊥ EG nên OH // AE // BG
Mà OH đi qua trung điểm O của AB nên OH đi qua trung điểm của EG
⇒ H là trung điểm của EG
⇒ HE = HG
Ta có:
\(\left\{\begin{array}{l}HE\;=EC\;+CH\\HG=DG\;+\;HD\end{array}\right.\\\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}EC=HE\;-\;CH\\DG\;=\;HG\;-\;HD\end{array}\right.\)
Mà HE = HG (cmt) ; CH = HD (H là trung điểm của CD)
Do vậy EC = DG.