Trong hình học, đường kính và dây cung của đường tròn là những khái niệm quan trọng mà bạn cần nắm để có thể hiểu được những định nghĩa nâng cao sau này. Vậy, chúng có vai trò gì và có mối quan hệ như thế nào với nhau ? Tất cả sẽ được bật mí một cách rõ ràng và chi tiết nhất thông qua bài viết dưới đây.
Mách bạn khái niệm đường kính và dây cung của đường tròn
Xét trong toán học thì đường kính và dây của đường tròn là những thành phần không thể thiếu trong dạng hình học này. Dưới đây sẽ là những lý thuyết cốt lõi về chuyên đề này mà bạn nên nắm:
Đường kính là gì ?
Trong hình tròn, đường kính được biết đến như là đoạn thẳng dài nhất mà bạn có thể vẽ dược. Nó sẽ đi qua tâm của hình tròn và nối hai điểm bất kỳ trên đường tròn. Đồng thời, đoạn thẳng này cũng sẽ là trục chia đường tròn đang xét thành hai nửa bằng nhau.
Theo đó, đường kính sẽ gấp đôi bán kính, bởi lẽ nó sẽ bằng hai lần khoảng cách từ tâm đến một điểm bất kỳ nằm trên đường tròn. Như trong ví dụ minh hoạ theo hình ảnh dưới đây, AB sẽ là đường kính và \[AB= 2\times R\] (R là bán kính).
Dây cung là gì ?
Xét trong hình tròn, dây cung cũng là một đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn, nhưng khác với đường kính nó sẽ không đi qua tâm. Dây cung sẽ ngắn hơn đường kính trong trường hợp nó không trùng với đường kính.
Dây cũng thường rất đa dạng về mặt kích thước, tùy theo vị trí của chúng trên đường tròn. Bên cạnh đó, nếu dây cung nằm ở vị trí càng gần tâm thì nó sẽ có kích thước càng lớn và tăng dần đến khi bằng độ dài của đường kính. Xét tam giác OAB theo hình dưới, nếu vận dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \[AB<AO+OB=R+R=2R\], vậy \[AB\leq 2R\].
Mối quan hệ giữa đường kính và dây cung – Bạn có biết ?
Trong một hình tròn, đường kính luôn là dây cung có kích thước dài nhất trong mọi dây cung mà bạn có thể vẽ được. Dây cũng nào cũng sẽ nhỏ hơn đường kính, trừ khi nó đi qua tâm của hình tròn mà thôi. Đặc biệt, mối quan hệ giữa hai yếu tố này sẽ được thể hiện rõ nét nhất qua các định lý sau đây:
- Định lý 1: Nếu đường kính vuông góc với dây cung thì đường kính sẽ đi qua trung điểm của chính dây cung đó.
- Định lý 2: Đồng thời, nếu như đường kính đi qua trung điểm của dây cung, thì chính đường kính sẽ vuông góc với dây cung ấy.
Ví dụ minh hoạ: Cho hình vẽ minh hoạ sau, hãy tính độ dài dây AB khi biết OA= 6cm, AM= BM = 5cm.
Áp dụng hai định lý trên ta có: \[AB\perp OM\]
Kết hợp với định lý Py – ta- go trong tam giác vuông OAM tại M, ta có:
\[AM=\sqrt{OA^2-OM^2}=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{11}\]
\[\Rightarrow AB=2\times AM=2\times\sqrt{11}=2\sqrt{11}\]
Tổng hợp một vài dạng bài tập cần biết về đường kính và dây của đường tròn
Bài 1: Cho tam giác ABC với hai đường cao lần lượt là BD và CE. Hãy chứng minh rằng bốn điểm B, D, C và E cùng nằm trên đường tròn và ED < BC.
Quan sát hình trên ta có, \[\Delta EBC,\Delta DBC \] đang là hai tam giác vuông có chung một cạnh huyền là BC, nên cả hai tam giác kể trên đều có chung đường tròn ngoại tiếp. Tâm của đường tròn này sẽ là F, đây cũng là trung điểm của BC và bán kính của đường tròn là FB.
Suy ram, các điểm cần xét B, E, D, và C đều cùng nằm trên đường tròn chung. Theo đường tròn, ta có đường kính sẽ là BC, và đoạn ED sẽ là dây cung, vì vậy ED < BC.
Bài 2: Cho đường tròn tâm O có bán kính bằng 4cm. Vẽ một dây cung HK vuông góc với bán kính OI tại trung điểm của OI. Hãy tính độ dài đoạn HK.
Gọi M là trung điểm của OI, đường tròn có tâm là O và bán kính là OI nên \[OM=\frac{OI}{2}=2\].
Trong tam giác vuông OMH, áp dụng định lý Py – ta – go ta có:
\[OH^2=OM^2+MH^2\]
\[\Rightarrow MH^2=OH^2-OM^2=4^2-2^2=16-4=12\]
\[\Rightarrow MH=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\] (cm)
Vì \[OI\perp HK \] và M là trung điểm của HK nên:
\[HK=2\times MH=4\sqrt{3}\] (cm)
Những ứng dụng thực tế của đường kính và dây trong đường tròn
- Hỗ trợ chứng minh các tính chất hình học liên quan: Đường kính và dây của đường tròn có vai trò thiết yếu trong việc chứng minh đúng sai của nhiều tính chất hình học. Những định lý kể trên sẽ giúp bạn chứng minh được nhiều bài toán khó dễ khác nhau. Từ đó mà bạn có thể hiểu thêm nhiều mối liên hệ giữa các yếu tố trong hình tròn.
- Tính độ dài bất kỳ đoạn thẳng nào trong đường tròn: Khi nhắc đến 3 yếu tố đường tròn, đường kính và dây cung bạn sẽ nghĩ ngay đến độ dài đoạn thẳng trong hình tròn. Thông qua đường kính. bạn có thể tìm ra bán kính, diện tích và chu vi của hình tròn. Ngoài ra, mối quan hệ giữa dây cung và góc ở tâm cũng tạo được nhiều thú vị.
- Giải các bài toán thực tế khác: Ví dụ như, khi thiết kế sân vận động hình tròn, bạn sẽ cần tính diện tích hoặc chu vi để bố trí ghế khán giả sao cho hợp lý. Và tất cả những điều trên bạn đều cần sử dụng kiến thức về dây cung và đường tròn để giải quyết.
Bài viết trên đã mang đến nhiều thông tin thú vị về đường kính và dây của đường tròn. Mong rằng những kiến thức về lý thuyết cũng như thực hành mà chúng tôi chia sẻ sẽ giúp bạn cảm thấy vui vẻ hơn trong quá trình học tập.
