Lý thuyết về lũy thừa với số mũ tự nhiên và những dạng bài phổ biến

Lũy thừa với số mũ tự nhiên được xem là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học ở các cấp, giúp học sinh tính nhanh và rút gọn các biểu thức có nhiều số giống nhau nhân với nhau. Bài viết này sẽ khiến bạn hiểu rõ bản chất cũng như ghi nhớ cách vận dụng lũy thừa vào việc giải các dạng toán liên quan một cách hiệu quả và tiết kiệm thời gian hơn nhé!

1. Các kiến thức trọng tâm cần nhớ

Trong chương trình Toán, lũy thừa được xem là một dạng phép toán khá đặc biệt nhưng lại thường xuyên xuất hiện trong các bài tập. Trước khi làm quen với phương pháp giải của từng dạng bài cụ thể, bạn cần nắm vững những quy tắc cơ bản để thực hiện được phép tính lũy thừa một cách chuẩn xác nhất.

1.1. Quy tắc tính lũy thừa với số mũ tự nhiên

Đối với chuyên đề lũy thừa số mũ tự nhiên, bạn nhất định phải ghi nhớ toàn bộ những lý thuyết trọng điểm sau:

• Lũy thừa bậc n của số a: Đây chính là tích của n thừa số có cùng giá trị với nhau, mỗi thừa số đều bằng a: \[a^{n}=a.a…a.a\], với \[n\neq 0\]. Trong đó, a sẽ được gọi là cơ số và n chính là số mũ. 
• Quy tắc nhân hai lũy thừa có cùng một cơ số: \[a^{m}.a^{n}=a^{m+n}\]. 
• Quy tắc chia hai lũy thừa có cùng một cơ số (\[a\neq 0,m\geq n\]) là: \[a^{m}:a^{n}=a^{m-n}\]. Quy ước: \[a^{0}=1\] với \[a\neq 0\]. 
• Lũy thừa của một lũy thừa: \[(a^{m})^{n}=a^{m.n}\]. 
• Lũy thừa của một tích: \[(a.b)^{m}=a^{m}.b^{m}\]. 
• Một số lũy thừa của 10: 
  • Một nghìn: \[10^{3}=1000\]
  • Một vạn: \[10^{4}=10000\]
  • Một triệu: \[10^{6}=1000000\]
  • Một tỷ: \[10^{9}=1000000000\]
  • Tổng quát: Nếu n là một số tự nhiên khác 0 thì: \[10^{n}=100…000\]

1.2. Quy tắc thứ tự thực hiện phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên

Để giải những bài toán có lũy thừa, việc tuân thủ đúng thứ tự thực hiện phép tính là điều cực kỳ quan trọng, giúp bạn tính ra kết quả chính xác nhất. Dưới đây là những nguyên tắc bạn cần ghi nhớ:

• Khi trong biểu thức đề bài cho chỉ xuất hiện các phép toán giống nhau, chẳng hạn như cộng với trừ hay nhân với chia, bạn cứ thực hiện lần lượt từng bước theo đúng thứ tự từ trái qua phải.
• Ngược lại, nếu biểu thức kết hợp nhiều loại phép tính khác nhau, chẳng hạn như vừa có lũy thừa, vừa có nhân, chia, cộng, trừ, thì chúng ta cần thực hiện theo thứ tự ưu tiên, cụ thể là: lũy thừa -> nhân và chia -> cộng và trừ.
• Nếu trong biểu thức mà đề cho có cả dấu ngoặc (một hoặc nhiều ngoặc), bạn phải tính toán theo đúng thứ tự được ưu tiên của các loại ngoặc:
  • Ngoặc tròn ( ) được giải quyết đầu tiên,
  • Tiếp theo là ngoặc vuông [ ],
  • Cuối cùng là ngoặc nhọn { }.

Hãy tuân thủ nghiêm ngặt những quy tắc này để đảm bảo bài làm của bạn sẽ không bị sai do nhầm lẫn thứ tự khi tính toán nhé!

2. Những dạng bài tập thường gặp nhất về lũy thừa với số mũ tự nhiên

Sau khi đã nắm vững toàn bộ lý thuyết cũng như quy tắc tính toán cùng với lũy thừa, việc luyện tập thông qua dạng bài tập cụ thể là điều đặc biệt cần thiết để giúp bạn có thể củng cố kiến thức và vận dụng linh hoạt. Dưới đây sẽ là một vài dạng bài tập có độ phổ biến cao và phương pháp giải chuẩn:

2.1. Thực hiện phép tính hay viết dưới dạng lũy thừa 

Khi gặp phải dạng bài thế này, chúng ta chỉ cần áp dụng đúng 5 công thức quan trọng sau:

1. \[a^{n}=a.a…a.a\] với \[n\neq 0\]
2. \[a^{m}.a^{n}=a^{m+n}\]
3. \[a^{m}:a^{n}=a^{m-n}\] với \[a\neq 0,m\geq n\]. Quy ước: \[a^{0}=1\] với \[a\neq 0\]
4. \[(a^{m})^{n}=a^{m.n}\]
5. \[(a.b)^{m}=a^{m}.b^{m}\]

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính (kết quả thuộc dạng lũy thừa)

1. a) \[ 625:5^{3}=?\]
2. b) \[234:3^{3}:3=?\]
3. c) \[1000000:10^{3}=?\]

Lời giải: 

1. a) \[ 625:5^{3}=5^{4}:5^{3}=5^{4-3}=5^{1}\]
2. b) \[234:3^{3}:3=3^{5}:3^{3}:3=3^{5-3-1}=3^{1}\]
3. c) \[1000000:10^{3}=10^{5}:10^{3}=10^{5-3}=10^{2}\]

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính

1. a) \[20-\left[30-(5-1)^{2}\right]\]
2. b) \[2.5^{2}+3:71^{0}-54:3^{3}\]
3. c) \[12:\left\{400:[500-(125+25.7)]\right\}\]

Lời giải: 

1. a) \[20-\left[30-(5-1)^{2}\right]\]

\[=20-\left[30-4^{2}\right]\]

\[=20-\left[30-16\right]\]

\[=20-14=6\]

2. b) \[2.5^{2}+3:71^{0}-54:3^{3}\]

\[=2.25+3:1-54:27\]

\[=50+3-2=51\]

25. c) \[12:\left\{400:[500-(125+25.7)]\right\}\]

\[=12:\left\{400:[500-(125+175)]\right\}\]

\[=12:\left\{400:[500-300]\right\}\]

\[=12:\left\{400:200\right\}\]

\[=12:2=6\]

2.2. Dạng bài so sánh lũy thừa với số mũ tự nhiên

Đối với dạng bài so sánh hai lũy thừa, bạn hoàn toàn có thể xử lý bằng cách đưa chúng về cùng một cơ số hay cùng một số mũ để tiện so sánh. Ngoài ra, trong một vài tình huống đặc biệt, việc sử dụng lũy thừa trung gian cũng sẽ giúp bạn dễ dàng đưa ra nhận định chính xác hơn.

Với \[a,b,m,n\hspace{0.2cm}\epsilon\hspace{0.2cm}N\], ta có: 

• \[a>b\Leftrightarrow a^{n}>b^{n}\hspace{0.5cm}\forall n\epsilon N^{*}\]
• \[m>n\Leftrightarrow a^{m}>b^{n}\hspace{0.5cm}(a>1)\]
• \[a=0\] hoặc \[a=1\] thì \[a^{m}=a^{n}\hspace{0.5cm}(m.n\neq 0)\]

Với A,B là biểu thức: 

• \[A^{n}>B^{n}\Leftrightarrow A>B>0\]
• \[A^{m}>B^{n}\Rightarrow m>n,A>1\]
• \[A^{m}<B^{n}\Rightarrow m<n,0<A<1\]

Ví dụ 1: So sánh: 

1. a) \[3^{500}\] và \[7^{300}\]
2. b) \[202^{303}\] và \[303^{202}\]
3. c) \[11^{1979}\] và \[37^{1320}\]

Lời giải: 

1. a) \[3^{500}\] và \[7^{300}\]

Ta có: 

\[3^{500}=(3^{5})^{100}=234^{100}\]

\[7^{300}=(7^{3})^{100}=343^{100}\]

Vì \[243^{100}<343^{100}\Rightarrow 3^{500}<7^{300}\]

1. b) \[202^{303}\] và \[303^{202}\]

Ta có: 

\[202^{303}=(2.101)^{3.101}=(2^{2}.101^{3})^{101}=(8.101.101^{2})=(808.101^{2})^{101}\]

\[303^{202}=(3.101)^{2.101}=(3^{2}.101^{2})^{101}=(9.101^{2})^{101}\]

Vì \[808.101^{2}>9.101^{2}\Rightarrow 202^{303}>303^{202}\]

1. c) \[11^{1979}\] và \[37^{1320}\]

Ta có: 

\[11^{1979}<11^{1980}=(11^{3})^{660}=1331^{660}\] (1)

\[37^{1320}=(37^{2})660=1369^{660}\] (2)

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow 11^{1979}<37^{1320}\]

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: \[72^{45}-72^{44}>72^{44}-72^{43}\]

Lời giải:

Ta có: 

\[72^{45}-72^{44}=72^{44}.(72-1)=72^{44}.71\] (1)

\[72^{44}-72^{43}=72^{43}.(72-1)=72^{43}.71\] (2)

Từ (1) và (2) \[\Rightarrow 72^{45}-72^{44}>72^{44}-72^{43}\]

2.3. Tính giá trị của x trong chuyên đề lũy thừa với số mũ tự nhiên

Khi giải những bài toán yêu cầu tìm giá trị của x trong biểu thức nào đó có chứa lũy thừa, bạn có thể lựa chọn một trong ba phương pháp giải sau:

• Cách 1: Quy đổi toàn bộ lũy thừa trong biểu thức về cùng một cơ số để tiện cho việc so sánh và giải phương trình.
• Cách 2: Tìm cách đưa các lũy thừa trong biểu thức về cùng một số mũ, từ đó tiến hành so sánh hay liên hệ giữa các cơ số để giải phương trình một cách dễ dàng hơn.
• Cách 3: Biến đổi biểu thức ban đầu thành dạng tích của các lũy thừa nhỏ hơn. Cách làm này sẽ giúp biểu thức trở nên đơn giản hơn, từ đó dễ dàng tìm được giá trị thực của ẩn.

Ví dụ: Tìm x, biết: 

1. a) \[2^{x}.4=128\]
2. b) \[3^{4}.3^{x}=3^{7}\]
3. c) \[49.7^{x}=2401\]

Lời giải: 

1. a) 

\[2^{x}.4=128\Rightarrow 2^{x}=128:4\Rightarrow 2^{x}=32\Rightarrow 2^{x}=2^{5}\Rightarrow x=5\]

1. b) 

\[3^{4}.3^{x}=3^{7}\Rightarrow 3^{x}=3^{7}-3^{4}\Rightarrow 3^{x}=3^{7-4}\Rightarrow 3^{x}=3^{3}\Rightarrow x=3\]

1. c) 

\[49.7^{x}=2401\Rightarrow 7^{x}=2401:49\Rightarrow 7^{x}=49\Rightarrow 7^{x}=7^{2}\Rightarrow x=2\]

3. Bài tập vận dụng (có đính kèm với đáp án)

Để giúp bạn củng cố kiến thức một cách hiệu quả nhất, chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn thêm một số bài tập thực hành đơn giản:

Bài tập 1: Thực hiện phép tính: 

27. a) \[27.75+25.27-2.3.5^{2}\]
28. b) \[15-5^{2}.2^{3}:(100.2)\]
29. c) \[2.3^{2}:3+182+3.(51:17)\]

Bài tập 2: So sánh: 

1. a) \[27^{5}\] và \[243^{3}\]
2. b) \[3^{39}\] và \[11^{21}\]
3. c) \[199^{20}\] và \[2003^{15}\]

Bài tập 3: Tìm x, biết: 

27. a) \[27.3^{x}=243\]
28. b) \[2^{x}.16^{2}=1024\]
29. c) \[64.4^{x}=16^{8}\]

Đáp án: 

• Bài tập 1: a) 2700, b) 14, c) 197
• Bài tập 2: a) \[27^{5}=243^{3}\], b) \[3^{39}<11^{21}\], c) \[199^{20}<2003^{15}\]
• Bài tập 3: a) x = 2, b) x = 2, c) x = 13. 

Lũy thừa với số mũ tự nhiên là một trong những kiến thức thường xuyên có mặt trong các bài kiểm tra toán học. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã ghi nhớ toàn bộ lý thuyết trọng điểm về chuyên đề này và giải được các bài tập liên quan rồi nhé!