Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình chứa ẩn ở mẫu là dạng phương trình f(x) / g(x) = 0, trong đó g(x) khác 0. Loại phương trình này được ứng dụng nhiều trong thực tế, nhưng giải nó có thể khó khăn và không xác định được giá trị ẩn tại một số điểm. Bài viết này sẽ giải thích cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu và các vấn đề liên quan.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: 

x + \(\frac{3}{x\ -\ 3}\) = 3 + \(\frac{3}{x\ -\ 3}\)

Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế:

 x + \(\frac{3}{x\ -\ 3}\) - \(\frac{3}{x\ -\ 3}\) = 3

<=> x = 3

Nếu thay x = 3 vào phương trình trên ta thấy rằng, mẫu sẽ nhận giá trị bằng 0, cho nên x = 3 không phải là nghiệm của phương trình.

Tìm điều kiện xác định của một phương trình

Điều kiện xác định của một phương trình là tất cả các mẫu trong phương trình đều khác 0 (viết tắt là ĐKXĐ).

Ví dụ:

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau

a) \(\frac{3x + 1}{x\ -\ 2}\)

b) \(\frac{5 - x}{x\ +\ 4}\)

Hướng dẫn:

a) Vì x - 2 = 0 <=> x = 2 nên ĐKXĐ của phương trình là x # 2.

b) Vì x + 4 = 0 <=> x = - 4 nên ĐKXĐ của phương trình là x # - 4.

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
• Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
• Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
• Bước 4: Kết luận.

Ví dụ:

Giải phương trình \(\frac{8x\ \ +\ 3}{2x} \ =\ \frac{4x\ +\ 1}{x\ +\ 1}\)

Giải:

• ĐKXĐ của phương trình x # 0 và x # - 1.
• Quy đồng mẫu hai vế của phương trình:

\(\frac{( x+1)(8 x\ \ +\ 3)}{2x( x\ +\ 1)} \ =\ \frac{2x( 4x\ +\ 1)}{2x( x\ +\ 1)}\)

• Khử mẫu:

(8x + 1)(x + 3) = 2x(4x + 1)

• Giải phương trình:

(8x + 1)(x + 3) = 2x(4x + 1)

<=> 8x² + 24x + x + 3 = 8x² + 2x

<=> 8x² + 24x + x + 3 - 8x² - 2x = 0

<=> 23x + 3 = 0

<=> x = - 3/23

Xét theo ĐKXĐ, nghiệm x = -3/23 thoả mãn ĐKXĐ nên suy ra x = -3/23 là nghiệm của phương trình trên.

Bài tập luyện tập

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{2x\ -\ 5}{x\ +\ 5} \ =\ 3\)

b) \(\frac{x^{2} \ -\ 6}{x} \ =\ x\ +\ \frac{3}{2}\)

c) \(\frac{\left( x^{2} \ +\ 2x\right) \ -\ ( 3x\ +\ 6)}{x\ -\ 3} \ =\ 0\)

d) \(\frac{5}{3x\ +\ 2} \ =\ 2x\ -\ 1\)

Đáp án:

a) Điều kiện xác định: x # 5.

\(\frac{2x\ -\ 5}{x\ +\ 5} \ =\ 3\)

<=> \(\frac{2x\ -\ 5}{x\ +\ 5} \ =\ \frac{3( x+5)}{x+\ 5}\)

<=> 2x - 5 = 3(x + 5)

<=> 2x  - 5 = 3x + 15

<=> 2x - 3x = 15 + 5

<=> -x = 20

<=> x = - 20 (thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {- 20}

b) Điều kiện xác định: x # 0

\(\frac{x^{2} \ -\ 6}{x} \ =\ x\ +\ \frac{3}{2}\)

<=> \(\frac{2\left( x^{2} \ -\ 6\right)}{2x} \ =\ \frac{2x^{2} \ +\ 3x}{2}\)

<=> 2(x² - 6) = 2x² + 3x

<=> 2x² - 12 - 2x² - 3x = 0

<=> - 12 - 3x = 0

<=> -3x = 12

<=> x = - 4 (thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = { -4 }

c) Điều kiện xác định: x # 3

\(\frac{\left( x^{2} \ +\ 2x\right) \ -\ ( 3x\ +\ 6)}{x\ -\ 3} \ =\ 0\)

<=> (x2 + 2x) - (3x + 6) = 0

<=> x(x + 2) - 3(x +2) = 0

<=> (x - 3)(x + 2) = 0

<=> x - 3 = 0 hoặc x + 2 = 0

(1) x = 3 (không thoả mãn ĐKXĐ)

(2) x = -2 (thoả mẫn ĐKXĐ)

vậy phương trình có tập nghiệm S = {- 2}

d) Điều kiện xác định x # -2/3 

\(\frac{5}{3x\ +\ 2} \ =\ 2x\ -\ 1\)

<=> \(\frac{5}{3x\ +\ 2} \ =\ \frac{( 2x\ -1)( 3x\ +\ 2)}{3x\ +\ 2}\)

<=> 5 = (2x - 1)(3x + 2)

<=> 6x² + 4x - 3x - 2 = 5

<=> 6x² + 4x - 3x - 2 - 5 = 0

<=> 6x² + x - 7 = 0

<=> 6x² - 6x + 7x - 7 = 0 ( tách để phân tích vế trái thành nhân tử)

<=> 6x(x - 1) + 7(x - 1) = 0

<=> (6x + 7)(x - 1) = 0

<=> 6x + 7 = 0 hoặc x - 1 = 0 

(1) x = - 7/6 (thoả mãn ĐKXĐ)

(2) x = 1 (thoả mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = { -7/6 ; 1}.