Trong hành trình chinh phục môn toán đại số, phương trình chứa ẩn nằm mẫu số luôn là thử thách khiến nhiều học sinh phải “chùn bước”. Tuy nhiên, khi bạn hiểu rõ bản chất của nó cũng như áp dụng đúng phương pháp, bài toán tưởng chừng như phức tạp này lại trở nên đơn giản đến bất ngờ. Khám phá ngay cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu số ngay bây giờ nhé!
1. Hướng dẫn giải một phương trình có chứa ẩn ở mẫu
Sau đây là phương pháp giải đúng nhất của dạng bài tập thường gặp này và một vài ví dụ minh họa:
1.1. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu chi tiết nhất
Để giải một phương trình chứa ẩn ở mẫu số, bạn nhất định phải tuân thủ theo trình tự các dưới dưới đây:
- Tìm điều kiện xác định: Trước hết, bạn cần xác định những giá trị x khiến mẫu số nằm trong phương trình khác 0. Đây là bước bắt buộc phải làm để đảm bảo phép toán hợp lệ, vì mẫu số tuyệt đối không được bằng 0. Khi xét, bạn cần loại bỏ toàn bộ giá trị làm mẫu bằng 0 ra khỏi tập xác định của phương trình.
- Quy đồng và khử mẫu: Sau khi đã có ĐKXĐ, bạn hãy tiến hành quy đồng mẫu thức ở cả hai vế, để chuyển phương trình về dạng có cùng mẫu. Khi mẫu số đã giống nhau, bạn có thể bỏ phần mẫu và chỉ tính toán với tử số.
- Giải phương trình: Tiếp theo, bạn cứ việc giải phương trình vừa thu được sau khi tiến hành bước khử mẫu như những phương trình đại số thông thường.
- Đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận: Cuối cùng, từ các nghiệm tìm thấy ở bước trên, bạn cần so sánh với ĐKXĐ đã lập ban đầu. Lúc này, bạn chỉ được giữ lại các giá trị thỏa mãn điều kiện, vì chỉ có những giá trị này mới được gọi là nghiệm thực sự của phương trình.
1.2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình: \[\frac{3x-2}{x+7}=\frac{6x+1}{2x-3}\]
Lời giải:
\[\frac{3x-2}{x+7}=\frac{6x+1}{2x-3}(1)\]
ĐKXĐ của phương trình (1) là: \[x\neq\frac{3}{2};x\neq-7\]
Mẫu số chung (MSC) của phương trình này là: \[\left(x+7\right)\left(2x-3\right)\]. Khi đó:
\[\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{(3x-2)(2x-3)}{(x+7)(2x-3)}=\frac{(6x+1)(x+7)}{(x+7)(2x-3)}\]
\[\Leftrightarrow 6x^{2}-9x-4x+6=6x^{2}+42x+x+7\]
\[\Leftrightarrow 56x=-1\Leftrightarrow x=-\frac{1}{56}\]
So với ĐKXĐ ta nhận thấy \[x=-\frac{1}{56}\] thỏa mãn. Vậy \[x=-\frac{1}{56}\] chính là nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ 2: Giải phương trình:
\[\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{4}{x^{2}-1}\]
Lời giải:
\[\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{4}{x^{2}-1}(2)\]
ĐKXĐ của phương trình (2) là: \[x\neq\pm 1\]
Mẫu số chung (MSC) của phương trình này là: \[\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]. Khi đó:
\[\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{(x+1)^{2}-(x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{4}{(x+1)(x-1)}\]
\[\Leftrightarrow x^{2}+2x+1-x^{2}+2x-1=4\]
\[\Leftrightarrow 4x=4\Leftrightarrow x=1\]
So với ĐKXD ta thấy giá trị \[x=1\] không thỏa mãn nên bị loại.
Vậy phương trình (2) vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
\[\frac{1}{x-1}-\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{2x}{x^{2}+x+1}\]
Lời giải:
\[\frac{1}{x-1}-\frac{3x^{2}}{x^{3}-1}=\frac{2x}{x^{2}+x+1}(3)\]
Ta có: \[x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),x^{2}+x+1=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0\] nên ĐKXĐ của của phương trình (3) là \[x\neq 1\]
Với điều kiện như trên, MSC là: \[x^{2}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)\]. Thực hiện đồng quy mẫu số ta có:
\[\frac{1}{x-1}-\frac{3x^{2}}{x^{2}-1}=\frac{2x}{x^{2}+x+1}\]
\[\Leftrightarrow\frac{x^{2}+x+1-3x^{2}}{(x-1)(x^{2}+x+1)}=\frac{2x(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\]
\[\Leftrightarrow 4x^{2}-3x-1=0\Leftrightarrow(4x+1)(x-1)=0\]
\[\Leftrightarrow x=1;x=-\frac{1}{4}\]
So với ĐKXĐ thì giá trị \[x=1\] sẽ bị loại. Vậy phương trình (3) có nghiệm là \[x=-\frac{1}{4}\]
2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu – Một vài bài tập vận dụng
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
- a) \[\frac{13}{(x-3)(2x+7)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{(x-3)(x+3)}\]
- b) \[\frac{2x+1}{x-4}-\frac{3}{x+2}=\frac{5x+2}{(x-4)(x+2)}\]
Bài tập 2: Với giá trị nào của \[\textit{x}\] thì biểu thức sau đều có giá trị bằng 2?
\[A=\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}\]
Bài tập 3: Cho \[A(x)=\frac{(x^{2}-x-6)(x-5)}{x(x^{2}+2x+2)}\] và \[B(x)=\frac{(x^{2}-x-6)(x-4)}{3x^{3}+6x^{2}+6x}\]
Hãy tìm \[\textit{x}\] của \[\textit{A(x)}\] và \[\textit{B(x)}\] bằng nhau.
Đáp án:
Bài tập 1:
- a) \[\frac{13}{(x-3)(2x+7)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{(x-3)(x+3)}(4)\]
ĐKXĐ của phương trình (4) là: \[x\neq\pm 3;x\neq-\frac{2}{7}\]. Với điều kiện này, ta sẽ có:
\[\frac{13}{(x-3)(2x+7)}+\frac{1}{2x+7}=\frac{6}{(x-3)(x+3)}\]
\[\Leftrightarrow\frac{13(x+3)+(x+3)(x-3)}{(x-3)(2x+7)(x+3)}\]
\[\Leftrightarrow\frac{6(2x+7)}{(x-3)(2x+7)(x+3)}\]
\[\Leftrightarrow 13x+39+x^{2}-9=12x+42\]
\[\Leftrightarrow x^{2}+x-12=0\Leftrightarrow(x-3)(x+4)=0\]
\[\Leftrightarrow x=3;x=-4\]
So với ĐKXĐ giá trị \[x=3\] sẽ bị loại. Vậy phương trình (4) có nghiệm \[x=-4\]
- b) \[\frac{2x+1}{x-4}-\frac{3}{x+2}=\frac{5x+2}{(x-4)(x+2)}(5)\]
ĐKXĐ của phương trình (5) là \[x\neq 4;x\neq-2\]
MSC của phương trình này là \[\left(x-4\right)\left(x+2\right)\]. Khi đó:
\[\left(x-4\right)\left(x+2\right).(\frac{2x+1}{x-4}-\frac{3}{x+2})=\left(x-4\right)\left(x+2\right).\frac{5x+2}{(x-4)(x+2)}\]
\[\Leftrightarrow(2x+1)(x+2)-3(x-4)=5x+2\]
\[\Leftrightarrow 2x^{2}+5x+2-3x+12=5x+2\]
\[\Leftrightarrow 2x^{2}+2x+14=5x+2\]
\[\Leftrightarrow 2x^{2}-3x+12=0\]
Giải phương trình bậc 2 này, ta có:
\[\Delta=(-3)^{2}-4.2.12=9-96=-87\]
Vì \[\Delta<0\] nên phương trình (5) vô nghiệm.
Bài tập 2:
\[A=\frac{3x-1}{3x+1}+\frac{x-3}{x+3}(6)\]
ĐKXĐ của biểu thức A là: \[x\neq-3;x\neq-\frac{1}{3}\]
Với điều kiện này, ta sẽ biến đổi biểu thức A thành:
\[A=\frac{(3x-1)(x+3)+(x-3)(3x+1)}{(3x+1)(x+3)}\]
\[=\frac{(3x^{2}+3x-3)+(3x^{2}-3x-3)}{(3x+1)(x+3)}\]
\[=\frac{6x^{2}-6}{(3x-1)(x+3)}\]
Để A có giá trị bằng 2, ta có:
\[\frac{6x^{2}-6}{(3x-1)(x+3)}=2\] hay \[6x^{2}-6=2(3x-1)(x+3)\]
Tức là \[6x^{2}-6=6x^{2}+20x+6\] hay \[20x=-12\], nghĩa là \[ x=-\frac{3}{5}\]
Mà \[ x=-\frac{3}{5}\] thỏa mãn điều kiện.
Vậy với \[ x=-\frac{3}{5}\] thì biểu thức A mang giá trị bằng 2.
Bài tập 3:
Để \[\textit{A(x)}\] = \[\textit{B(x)}\], thì:
\[\frac{(x^{2}-x-6)(x-5)}{x(x^{2}+2x+2)}=\frac{(x^{2}-x-6)(x-4)}{3x(x^{2}+2x+2)}\] (7)
Để phương trình (7) xác định, ta cần:
\[x\neq 0;x^{2}+2x+2\neq 0\]
Giải phương trình \[x^{2}+2x+2=0\]:
\[\Delta=2^{2}-4.1.2=-4<0\]
Vậy ĐKXĐ của phương trình (7) chỉ có: \[x\neq 0\]
Từ phương trình (7), suy ra:
\[3(x^{2}-x-6)(x-5)=(x^{2}-x-6)(x-4)\]
\[\Leftrightarrow(x^{2}-x-6)(3x-15)-(x^{2}-x-6)(x-4)=0 \]
\[\Leftrightarrow(x^{2}-x-6)(3x-15-x+4)=0\]
\[\Leftrightarrow(x-3)(x+2)(2x-11)=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x-3=0\\x+2=0\\2x-11=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=3\\x=-2\\x=5,5\end{matrix}\right.\]
Cả ba giá trị vừa tính được đều thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy với \[x=-2;x=3;x=5,5\] thì \[\textit{A(x)}\] = \[\textit{B(x)}\]
Bài viết trên đây là cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu chi tiết và chuẩn xác nhất mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Mong rằng bài viết hữu ích và bạn đọc đã có thể tự giải quyết dạng bài tập đại số này rồi nhé!
