Trong hành trình khám phá chương trình toán khối tiểu học, tính chất giao hoán và kết hợp chính là hai chiếc chìa khóa quan trọng giúp các em học sinh mở cánh cửa tư duy linh hoạt. Không chỉ hỗ trợ tốt cho việc tính nhẩm, hai tính chất này còn rèn luyện khả năng sắp xếp cũng như nhóm số thông minh. Khám phá lý thuyết và hướng giải quyết các dạng bây giờ nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
Trước khi điểm qua các dạng bài thường gặp về chuyên đề này, bạn cần nắm vững những kiến thức trọng tâm sau:
1.1. Tính chất giao hoán
Tính chất giao hoán cho phép bạn chuyển đổi vị trí của các số trong cùng một phép tính mà không hề ảnh hưởng đến kết quả. Tính chất này áp dụng tốt trong cả phép cộng lẫn phép nhân, nhưng không thể dùng cho phép chia hoặc phép trừ.
Đối với phép cộng, ta có biểu thức tổng quát sau:
\[a+b=b+a\]
Ví dụ: \[7+13=20;13+7=20\Rightarrow \] Tổng vẫn giữ nguyên
Hay \[17+13=30;13+17=30\Rightarrow \] Tổng vẫn giữ nguyên
Trong khi đó, đối với phép nhân, ta lại có biểu thức tổng quát là:
\[a\times b=b\times a\]
Ví dụ: \[4\times 9=36;9\times 4=36\Rightarrow \] Kết quả giống nhau
Hay \[15\times 2=30;2\times 15=30\Rightarrow \] Kết quả vẫn bằng nhau
1.2. Tính chất kết hợp
Trong hai tính chất giao hoán và kết hợp, tính chất kết hợp cho phép bạn nhóm/ gộp các số nằm trong cùng một biểu thức theo nhiều cách khác nhau mà không lo kết quả bị thay đổi. Điều này đặc biệt hữu ích khi biểu thức cần tính chứa ba hoặc nhiều số liên tiếp, giúp quá trình tính toán diễn ra nhanh chóng và chuẩn xác hơn. Tuy nhiên, tính chất này chỉ có thể áp dụng cho phép nhân và phép cộng.
Đối với phép cộng, bạn có thể chọn nhóm hai số đứng đầu trước rồi cộng với số còn lại hoặc làm ngược lại. Đương nhiên, kết quả cuối cùng đều giống nhau dù bạn nhóm theo bất kỳ cách nào. Theo đó, biểu thức tổng quát là:
\[\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)\]
Ví dụ: Tính: \[875+125+600=?\]
Lời giải:
Cách 1: \[875+125+600=(875+125)+600=1000+600=1600\]
Cách 2: \[875+125+600=875+(125+600)=875+725=1600\]
Trong khi đó, khi nhân ba số, chúng ta có thể chọn nhóm hai số đầu để nhân trước rồi mới lấy tích nhân với số cuối hoặc làm ngược lại. Tất nhiên, dù bạn nhóm theo kiểu gì thì tích thu được vẫn như nhau. Biểu thức tổng quát là:
\[\left(a\times b\right)\times c=a\times\left(b\times c\right)\]
Ví dụ: Tính \[2\times 6\times 10=?\]
Lời giải:
Cách 1: \[2\times 6\times 10=\left(2\times 6\right)\times 10=12\times 10=20\]
Cách 2: \[2\times 6\times 10=2\times(6\times 10)=2\times 60=120\]
2. Một vài dạng bài thường gặp về tính chất giao hoán và kết hợp
Việc hiểu và vận dụng tốt tính chất kết hợp và giao hoán sẽ giúp bạn tính toán nhanh và chuẩn xác hơn, đồng thời tiết kiệm nhiều thời gian làm bài. Sau đây là một số dạng bài có tần suất xuất hiện cao trong các bài kiểm tra, hướng giải đúng và ví dụ cụ thể:
2.1. Dùng tính chất giao hoán và kết hợp để tính nhanh
Có thể nói rằng, đây là dạng bài thường gặp nhất. Nó sẽ yêu cầu học sinh sử dụng đến hai tính chất đã học để sắp xếp hoặc gộp các số sao cho dễ dàng tính toán. Theo đó, việc làm này sẽ giúp rút gọn các bước làm và đỡ phải thực hiện tính nhẩm nhiều lần.
Phương pháp giải chuẩn:
- Bước 1: Nhìn vào toàn bộ các số có trong phép tính rồi tìm ra cặp số tạo ra một tổng hay tích đẹp (tức dễ tính, số chẵn, tròn chục hoặc tròn trăm).
- Bước 2: Áp dụng ngay tính chất giao hoán để chuyển đổi vị trí các số nếu cần.
- Bước 3: Sử dụng đến tính chất kết hợp để thực hiện việc gộp các nhóm số lại để thuận tiện tính toán.
- Bước 4: Lần lượt tính toán nhanh theo các nhóm mà bạn đã chọn. Lưu ý rằng là hãy giải quyết các phép toán còn lại đúng theo thứ tự nhân, chia trước rồi mới cộng, trừ sau.
Ví dụ: Tính nhẩm
- a) \[ 125+300+75=?\]
- b) \[4\times 2\times 25=?\]
- c) \[150+500+250=?\]
- d) \[5\times 6\times 2=?\]
Lời giải:
- a) \[125+300+75=(125+75)+300=200+300=500\]
- b) \[4\times 2\times 25=(4\times 25)\times 2=100\times 2=200\]
- c) \[150+500+250=(150+250)+500=400+500=900\]
- d) \[5\times 6\times 2=(5\times 2)\times 6=10\times 6=60\]
2.2. Điền số thích hợp vào chỗ trống
Ở dạng toán này, học sinh sẽ phải làm việc với các biểu thức có một số bị ẩn (thường được biểu thị là dấu “chấm hỏi” hoặc dấu “__”). Nhiệm vụ chính của các em học sinh là dựa vào kiến thức trọng điểm về tính chất giao hoán và kết hợp để tìm thấy con số còn thiếu sao cho hai vế của biểu thức được cân bằng.
Đây cũng được xem là một dạng bài cực quan trọng, vẫn thường xuất hiện trong những bài kiểm tra lớn nhỏ khác nhau, mục đích là đánh giá khả năng tư duy logic cũng như mức độ hiểu lý thuyết của các em.
Theo đó, phương pháp giải là:
- Bước 1: Quan sát kỹ lưỡng biểu thức nằm ở cả hai vế, xác định rõ vị trí của số vẫn còn thiếu.
- Bước 2: Phân tích xem phép toán đang sử dụng là cộng hay nhân. Ngoài ra, hãy xem biểu thức được áp dụng tính chất nào.
- Bước 3: Dựa vào cấu trúc biểu thức, bạn cần suy ra con số vẫn còn thiếu thông qua việc dùng “tư duy ngược”.
- Bước 4: Điền số đã tìm thấy ở bước 3 vào ô trống và tính lại cả 2 vế để kiểm chứng kết quả một cách chính xác.
Ví dụ: Điền số còn thiếu:
- a) \[\left(32+?\right)+18=32+(15+18)\]
- b) \[\left(8\times?\right)\times 5=8\times(3\times 5)\]
- c) \[\left(45+?\right)+20=45+(30+20)\]
- d) \[\left(6\times?\right)\times 4=6\times(7\times 4)\]
Lời giải:
- a) Biểu thức này dùng đến tính chất kết hợp trong phép cộng.
Vế phải là \[32+(15+18)\], nên phía trái phải là \[\left(32+15\right)+18\]
Mà hai vế bằng nhau nên suy ra số cần tìm là 15.
Thử lại: \[\left(32+15\right)+18=47+18=65\]; \[32+(15+18)=32+33=65\]
- b) Nhìn vào biểu thức, ta thấy phép tính đang dùng đến tính chất kết hợp trong phép nhân.
Vế phải là \[8\times(3\times 5)\], nên để giống nhau thì trái phải là \[\left(8\times 3\right)\times 5\]
Suy ra, số cần tìm là 3.
Thử lại: \[\left(8\times 3\right)\times 5=24\times 5=120\]; \[8\times(3\times 5)=8\times 15=120\]
- c) Dựa vào cách trình bày của biểu thức, ta có thể thấy đây là một dạng áp dụng tính kết hợp trong phép cộng.
Vế phải là \[45+(30+20)\], để hai vế có cùng giá trị thì vế trái phải là \[\left(45+30\right)+20\]
Suy ra, số cần tìm là 30.
Thử lại: \[\left(45+30\right)+20=75+20=95\] và \[45+(30+20)=45+50=95\].
- d) Biểu thức đang sử dụng đến tính chất kết hợp trong phép nhân với 3 số.
Vế phải là \[6\times(7\times 4)\], để hai vế có cùng giá trị thì vế trái phải là \[(6\times 7)\times 4\].
Suy ra, số cân tìm là 7.
Thử lại: \[(6\times 7)\times 4=42\times 4=168\] và \[6\times(7\times 4)=6\times 28=168\]
2.3. So sánh nhanh hai biểu thức rồi điền dấu thích hợp
Tương tự như những dạng bài trước đó, so sánh nhanh hai biểu thức cũng là cách phổ biến để kiểm tra năng lực vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp. Theo đó, đều bài sẽ yêu cầu bạn so sánh hai biểu thức rồi điền dấu =, > hoặc <.
Phương pháp giải cụ thể như sau:
- Bước 1: Tính toán cẩn thận giá trị của từng biểu thức.
- Bước 2: So sánh nhanh hai kết quả với nhau, rồi điền một trong ba dấu =, >, hoặc <.
- Bước 3: Có thể áp dụng cả tính chất kết hợp lẫn giao hoán để làm đơn giản hóa các bước tính.
- Bước 4: Kiểm tra lại tất cả các phép tính mà bạn đã thực hiện.
Ví dụ: So sánh:
- a) \[\left(7+13\right)+10\] ___ \[7+(13+10)\]
- b) \[\left(2\times 3\right)\times 5\] ___ \[2\times(3\times 5)\]
- c) \[\left(6+2\right)+9\] ___ \[\left(2+9\right)+4\]
- d) \[\left(2\times 3\right)\times 4\] ___ \[\left(4\times 3\right)\times 5\]
Lời giải:
- a)
Tính vế trái: \[\left(7+13\right)+10=20+10=30\]
Tính vế phải: \[7+(13+10)=7+23=30\]
\[\Rightarrow\left(7+13\right)+10=7+(13+10)\]
- b)
Tính vế trái: \[\left(2\times 3\right)\times 5=6\times 5=30\]
Tính vế phải: \[2\times(3\times 5)=2\times 15=30\]
\[\Rightarrow\left(2\times 3\right)\times 5=2\times(3\times 5)\]
- c)
Tính vế trái: \[\left(6+2\right)+9=8+9=17\]
Tính vế phải: \[\left(2+9\right)+4=11+4=15\]
\[\left(6+2\right)+9>\left(2+9\right)+4\]
- d)
Tính vế trái: \[\left(2\times 3\right)\times 4=6\times 4=24\]
Tính vế phải: \[\left(4\times 3\right)\times 5=12\times 5=60\]
\[\left(2\times 3\right)\times 4<\left(4\times 3\right)\times 5\]
3. Tính chất giao hoán và kết hợp – Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính nhẩm
- a) \[250+75+150=?\]
- b) \[5\times 20\times 2=?\]
- c) \[400+50+600=?\]
Bài tập 2: Điền số vào chỗ trống:
- a) \[\left(45+?\right)+25=45+(30+25)\]
- b) \[\left(10\times?\right)\times 6=10\times(4\times 6)\]
- c) \[\left(8+?\right)+92=8+(58+92)\]
Bài tập 3: So sánh:
- a) \[\left(20+30\right)+10\] ___ \[20+(25+10)\]
- b) \[\left(3\times 4\right)\times 2\] ___ \[3\times(4\times 5)\]
- c) \[\left(5+10\right)+25\] ___ \[\left(10+25\right)+5\]
Đáp án:
- Bài tập 1:
- a) \[250+75+150=(250+150)+75=400+75=475\]
- b) \[5\times 20\times 2=(5\times 2)\times 20=10\times 20=200\]
- c) \[400+50+600=(400+600)+50=1000+50=1050\]
- Bài tập 2: a) 30, b) 4, c) 58
- Bài tập 3: a) >, b) <, c) =.
Tính chất giao hoán và kết hợp chính là các công cụ giúp học sinh đơn giản hóa các biểu thức, khiến việc tính toán diễn ra nhanh hơn. Hy vọng bài viết hữu ích và bạn đã nắm vững mọi kiến thức cơ bản về hai tính chất này, đồng thời ghi nhớ cách giải dạng bài thường gặp.
