Rút gọn phân thức là một kiến thức rất quan trọng trong toán học, liên quan đến phương pháp giải nhiều bài toán khó. Chính vì thế, dạng toán này được đưa vào chương trình giảng dạy từ rất sớm. Hãy cùng tìm hiểu ngay về lý thuyết cũng như cách giải các bài tập vận dụng liên quan nhé.
Định nghĩa phân thức là gì
Trước khi đến với phương pháp rút gọn phân thức, các bạn cần tìm hiểu về khái niệm phân thức là gì. Phân thức đại số được biết đến là một biểu thức được viết dưới dạng \[\frac{P(x)}{Q(x)}\]. Trong đó, cả \[P(x)\] và \[Q(x)\] đều là những phân thức và \[Q(x)\neq 0\].
Lý thuyết về rút gọn phân thức
Một phân thức đã được rút gọn là phân thức có tử số chia cho mẫu số và không còn nhân tử chung nào. Để rút gọn phân thức thì ta cần phải thực hiện theo các bước sau đây:
- Bước 1: Phân tích cả tử và mẫu số thành nhân tử bằng các phương pháp như đặt phân tử chung, nhóm hạng tử, sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phương pháp chia đa thức.
- Bước 2: Tìm các nhân tử chung và rút gọn những phân tử chung đó.
- Bước 3: Cuối cùng, ta biết lại phân thức dưới dạng đơn giản nhất.
Những lưu ý quan trọng bạn cần biết để rút gọn phân thức
Khi thực hiện bài toán rút gọn phân thức, các bạn học sinh cần nắm rõ những lưu ý quan trọng sau đây:
- Phân thức chỉ có thể rút gọn nếu bạn tìm được nhân tử chung. Tuyệt đối không nhầm lẫn giữa các số hạng có tổng và rút gọn sai.
- Xem xét đến điều kiện của biến khi rút gọn, các bạn cần phải lưu ý để mẫu số phải khác 0.
Ứng dụng của phép toán rút gọn phân thức
Phương pháp rút gọn phân thức có những ứng dụng rất lớn trong việc giải các bài tập phức tạp. Do đó, bạn cần nắm rõ kiến thức về dạng toán này.
Ứng dụng tìm ra giới hạn của biểu thức
Trong các bài toán giải tích, nếu cần tìm giới hạn của biểu thức trong đó có chứa phân thức, bạn cần phải rút gọn để có thể loại bỏ những số hạng quá phức tạp.
Ví dụ minh họa: Tìm giới hạn của biểu thức \[\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}\].
Ta tiến hành phân tích \[x^{2}-4=(x-2)(x+2)\] sau đó rút gọn phân thức thành \[\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}=x+2\], \[x\neq 2\].
\[x\underset{}{\rightarrow}2\] \[x\underset{}{\rightarrow}2\Rightarrow\displaystyle\lim_{x\to 2}(x+2)=4\].
Ứng dụng giải các bài tập toán về đại số
Khi cần giải phương trình, các bất phương trình hoặc những hệ phương trình có chứa phân thức, nếu sử dụng phương pháp rút gọn phân thức sẽ giúp bạn đơn giản hóa bài toán và tìm nghiệm dễ dàng hơn.
Ví dụ: \[\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)}=x+3\] với \[x\neq 3\].
Ứng dụng vào các bài tập vật lý
Trong môn học vật lý, để tính điện trở tương đương hai điện trở song song ta sử dụng công thức:
\[\frac{1}{R_{tong}}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}\]
Sau khi quy đồng và rút gọn phân thức ta có kết quả sau:
\[R_{tong}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\]
Thông qua công thức tính toán này, các bạn có thể dễ dàng tính toán được điện trở của mạch điện.
Ứng dụng so sánh hai phân thức
Để so sánh hai phân thức, các bạn cần phải quy đồng kết hợp với phương pháp rút gọn để tìm ra mối quan hệ giữa các phân thức cho sẵn.
Ví dụ: Cho \[\frac{x^{2}-4}{x-2}\] và \[x+2\]. Hãy so sánh giá trị.
Để giải bài toán trên, ta rút gọn phân thức \[\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)}=x+2\] với \[x\neq 2\].
Như vậy, hai phân thức trên bằng nhau và điều kiện là \[x\neq 2\].
Ứng dụng trong các bài toán kinh tế
Việc rút gọn phân thức còn giúp bạn có thể ứng dụng dễ dàng trong các bài toán về tài chính, kinh tế.
Khi cần tính toán lãi suất hay lợi nhuận, các bạn có thể dùng phương pháp tính này để có thể so sánh tỷ lệ dễ dàng.
Ứng dụng trong các bài tập hóa học
Trong hóa học, khi cần cân bằng các phương trình hóa học hoặc tính nồng độ, các bạn có thể rút gọn phân thức để biểu diễn kết quả một cách đơn giản, dễ hiểu nhất. Mặt khác, cách rút gọn này cũng giúp bạn chuyển đổi đơn vị tính toán nhanh hơn và cho ra kết quả chính xác hơn.
Bài tập vận dụng và lời giải
Tiếp theo, hãy cùng đến với chuyên mục ôn luyện thông qua bài tập vận dụng cùng lời giải nhé.
Bài tập
- Bài tập 1: Cho phân thức \[\frac{x^{2}-4}{x^{2}+3x-4}\]. Hãy rút gọn phân thức trên.
- Bài tập 2: Cho phân thức \[\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-3x}\]. Hãy rút gọn phân thức trên.
Lời giải
Cách giải các bài tập trên vô cùng đơn giản, bạn chỉ cần rút gọn phân thức đến lúc tử và mẫu số không còn nhân tử chung.
Bài tập 1
Ta rút gọn phân thức thông qua ba bước:
- Bước 1: Phân tích tử số \[x^{2}-4=(x-2)(x+2)\].
- Bước 2: Phân tích mẫu số \[x^{2}+3x-4=(x+4)(x-1)\].
- Bước 3: Kết hợp tử số và mẫu số ta có được phân thức \[\frac{(x-2)(x+2)}{(x+4)(x-1)}\].
Như vậy, sau khi đã hoàn tất phân tích tử số và mẫu số và kết hợp thành phân thức, ta có thể thấy rằng phân thức này không còn nhân tử chung. Do đó, đây chính là dạng rút gọn nhất của phân thức được cho trong đề bài.
Bài tập 2
Tương tự như bài tập 1, ta tiến hành giải bài tập 2 với ba bước đơn giản:
- Bước 1: Phân tích tử số của phân thức \[x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2)\].
- Bước 2: Tiếp tục phân tích mẫu số \[x^{2}-3x=x(x-3)\].
- Bước 3: Kết hợp tử số và mẫu số ta có phân thức \[\frac{(x-2)(x-3)}{x(x-3)}\]. Cuối cùng rút gọn nhân tử chung là \[x-3\].
Như vậy, phân thức sau khi được rút gọn là \[\frac{x-2}{x}\].
Bài viết trên đã mang đến những thông tin hữu ích về lý thuyết của phương pháp rút gọn phân thức. Bên cạnh các ví dụ và bài tập vừa kể trên, các bạn có thể vận dụng thêm từ các bài toán thực tế để hiểu rõ hơn về phép tính này.
