Rút gọn phân thức

Phân thức đại số là một khái niệm quen thuộc trong toán học, được sử dụng rộng rãi trong các bài toán và ứng dụng thực tiễn. Nó được xây dựng dựa trên cách biểu diễn một số hoặc biểu thức dưới dạng tỉ lệ của các đại lượng đại số, bao gồm các biến và hằng số. Việc rút gọn phân thức đại số là một kỹ năng quan trọng trong toán học, giúp ta dễ dàng giải quyết các bài toán phức tạp hơn, tối ưu hóa biểu thức và làm cho phép tính toán trở nên dễ dàng hơn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phân thức đại số và các kỹ thuật để rút gọn chúng.

Rút gọn phân thức đại số

Để rút gọn một phân thức đại số, chúng ta cần tìm một thừa số chung của tử số và mẫu số, sau đó chia cả tử và mẫu cho thừa số đó. Các bước chi tiết như sau:

1. Phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số nguyên tố.
2. Tìm các thừa số chung của tử số và mẫu số.
3. Chia tử và mẫu cho các thừa số chung đó.
4. Kết hợp lại các thừa số đã chia để tạo thành phân thức đơn giản hơn.

Ví dụ, để rút gọn phân thức đại số sau đây:

(4x² - 12x) / (8x³ + 16x²)

Chúng ta cần phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số nguyên tố:

4x² - 12x = 4x(x - 3)
8x³ + 16x² = 8x²(x + 2)

Sau đó, tìm thừa số chung của tử số và mẫu số, trong trường hợp này là 4x:

(4x² - 12x) / (8x³ + 16x²) = (4x(x - 3)) / (8x²(x + 2))

Chia tử và mẫu cho thừa số chung đó:

(4x(x - 3)) / (8x²(x + 2)) = (x - 3) / (2x(x + 2))

Vậy phân thức đã được rút gọn và đơn giản hóa thành (x - 3) / (2x(x + 2)).

Qui tắc rút gọn

Có một số quy tắc rút gọn phân thức đại số cơ bản như sau:

1. Tìm thừa số chung giữa tử số và mẫu số, chia tử số và mẫu số cho thừa số đó.

2. Nhân tử số và mẫu số với cùng một biểu thức sao cho biểu thức đó có giá trị 1.

3. Dịch chuyển các hạng tử giữa tử số và mẫu số, tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.

4. Sử dụng các công thức biến đổi đại số để đơn giản hóa phân thức, chẳng hạn như khai thác đại số, nhân đôi, bình phương, hay căn bậc hai.

5. Sử dụng các tính chất của các hàm số đặc biệt, chẳng hạn như hàm mũ, logarit, hay hàm lượng giác, để rút gọn phân thức.

Những qui tắc này không phải là toàn bộ, mà chỉ là một số trong số những cách phổ biến để rút gọn phân thức đại số. Có nhiều cách khác nhau để rút gọn phân thức đại số tùy thuộc vào từng trường hợp cụ thể.

Bài tập luyện tập

1. Rút gọn phân thức: (2x² - 6x) / (4x³ - 8x²)

2. Rút gọn phân thức: (3a² - 9a³) / (15a⁴ + 30a³)

3. Rút gọn phân thức: (x³ + 5x² + 6x) / (x² + 4x + 4)

4. Rút gọn phân thức: (2x² + 8x - 6) / (4x² - 16)

5. Rút gọn phân thức: (4x² + 12x + 8) / (2x² + 6x)

Đáp án:

1. Rút gọn phân thức: (2x² - 6x) / (4x³ - 8x²)

Ta có thể rút gọn phân thức bằng cách chia tử số và mẫu số cho 2x:

(2x² - 6x) / (4x³ - 8x²)

= 2x(x - 3) / 4x²(x - 2)

= (x - 3) / 2(x - 2)

2. Rút gọn phân thức: (3a² - 9a³) / (15a⁴ + 30a³)

Ta có thể rút gọn phân thức bằng cách chia tử số và mẫu số cho 3a²:

(3a² - 9a³) / (15a⁴ + 30a³)

= 3a²(1 - 3a) / 15a³(a + 2)

= (1 - 3a) / 5a(a + 2)

3. Rút gọn phân thức: (x³ + 5x² + 6x) / (x² + 4x + 4)

Ta có thể rút gọn phân thức bằng cách sử dụng công thức a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) và chia tử số và mẫu số cho (x + 2):

(x³ + 5x² + 6x) / (x² + 4x + 4)

= x(x² + 5x + 6) / (x + 2)²

= x(x + 2)(x + 3) / (x + 2)²

= x + 3

4. Rút gọn phân thức: (2x² + 8x - 6) / (4x² - 16)

Ta có thể rút gọn phân thức bằng cách chia tử số và mẫu số cho 2:

(2x² + 8x - 6) / (4x² - 16)

= 2(x² + 4x - 3) / 4(x² - 4)

= (x² + 4x - 3) / 2(x - 2)(x + 2)

5. Rút gọn phân thức: (4x² + 12x + 8) / (2x² + 6x)

Ta có thể rút gọn phân thức bằng cách chia tử số và mẫu số cho 2x:

(4x² + 12x + 8) / (2x² + 6x)

= 4(x² + 3x + 2) / 2x(x + 3)

= 2(x + 2) / x(x + 3)