Chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp là một dạng toán rất quen thuộc đối với các bạn học sinh. Đây là một phương pháp đại số được sử dụng rất nhiều trong tính toán, nắm bắt cách tính này sẽ giúp các bạn có thể thực hiện được nhiều bài toán tổng hợp và nâng cao, ứng dụng nhuần nhuyễn để giải bài tập.
Thế nào là chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp?
Chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp là phương pháp trong toán học đại số nhằm tìm thương và số dư khi chia hai đa thức với nhau. Các bước cần thực hiện khi chia một đa thức \[ A\] cho đa thức một biến \[B\] với \[B\neq 0\]:
- Bước 1: Hãy sắp xếp lại đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến nếu đa thức đó chưa được sắp xếp.
- Bước 2: Tiếp tục xác định số hạng đầu của thương, cách làm là lấy số hạng đầu thuộc đa thức bị chia chia số hạng đầu thuộc đa thức chia.
- Bước 3: Nhân thương của phép chia vừa thực hiện với đa thức chia.
- Bước 4: Lấy đa thức bị chia trừ kết quả ở bước 3 để tìm ra đa thức dư tạm thời.
- Bước 5: Tiếp tục lặp lại quy trình trên với đa thức dư tạm thời vừa tính được cho đến lúc bậc của phần dư nhỏ hơn so với bậc của đa thức chia.
Bên cạnh việc sử dụng phép chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp để giải các bài toán khó, phương thức này còn được ứng dụng trong ngành điện tử và viễn thông. Trong quá trình truyền tải dữ liệu, người ta chia dữ liệu gốc cho đa thức chuẩn để kiểm tra xem có số dư hay không, từ đó tìm ra lỗi dễ dàng.
Ví dụ minh họa
Để hiểu rõ cách tính của bài toán chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp, hãy cùng phân tích ngay ví dụ minh họa sau đây nhé.
Cho đa thức bậc cao \[P(x)=x^{3}-3x^{2}+5x-2\] và nhị thức \[D(x)=x-1\]. Hãy thực hiện phép tính chia \[P(x)\] cho \[D(x)\].
Các bước giải bài toán này như sau:
- Bước 1: Xác định số hạng đầu \[\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\].
- Bước 2: Nhân \[x^{2}\] với \[(x-1)\] ta có \[(x^{3}-x^{2})\].
- Bước 3: Trừ đa thức bị chia ta có \[(x^{3}-3x^{2}+5x-2)-(x^{3}-x^{2})=-2x^{2}+5x-2 \].
- Bước 4: Lấy \[\frac{-2x^{2}}{x}=-2x\].
- Bước 5: Nhân \[-2x\] với \[(x-1)\] ta có \[-2x^{2}+2x\].
- Bước 6: Tiếp tục thực hiện phép trừ \[(-2x^{2}+5x-2)-(-2x^{2}+2x)=3x-2\].
- Bước 7: Lấy \[\frac{3x}{x}=3\].
- Bước 8: \[3(x-1)=3x-3\].
- Bước 9: Lấy \[(3x-2)-(3x-3)=1\].
Vậy ta có kết quả của phép chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp là \[Q(x)=x^{2}-2x+3\] và \[R(x)=1\].
Các bài tập ứng dụng và lời giải
Phép chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp được ứng dụng rất nhiều trong các bài tập có cách giải phức tạp. Hãy cùng tìm hiểu các ví dụ của bài tập này cùng với lời giải tương ứng nhé.
Phép chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp được sử dụng để giải bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm giới hạn hàm số nếu x tiến đến vô cực,…
Bài tập 1
Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử là một ứng dụng của phương pháp tính này. Khi bạn chia đa thức \[P(x)\] cho nhị thức \[(x-a)\]. Như vậy, có thể thấy \[(x-a)\] là nhân tử của đa thức \[P(x)\].
Ta có bài tập giả sử đa thức \[P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6\] có nghiệm \[x=2\]. Hãy phân tích đa thức trên thành nhân tử.
Lời giải bài tập 1
Ta có \[x=2\] là nghiệm của đa thức cho sẵn \[P(x)\], do đó \[x-2\] chính là một phân tử của đa thức này. Bước đầu tiên ta thực hiện phép chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp:
- Chia \[\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\]
- Lấy \[x^{2}(x-2)-x^{3}-2x^{2}\].
- Thực hiện phép trừ \[(x^{3}-4x^{2}+x+6)-(x^{3}-2x^{2})=-2x^{2}+x+6 \].
- Lấy \[\frac{-2x^{2}}{x}=-2x\].
- \[-2x(x-2)=-2x^{2}+4x\].
- Thực hiện tiếp phép trừ \[(-2x^{2}+x+6)-(-2x^{2}+4x)=-3x+6 \].
- Lấy \[\frac{-3x}{x}=-3 \].
- \[-3(x-2)=-3x+6\].
- \[(-3x+6)-(-3x+6)=0\] hết số dư.
Vậy thương của bước này là \[x^{2}-2x-3\]. Ta tiếp tục phân tích \[x^{2}-2x-3\] thành nhân tử sẽ có: \[x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)\].
Vậy kết quả cuối cùng của bài tập trên là \[P(x)=(x-2)(x-3)(x+1)\].
Bài tập 2
Phép chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp còn được áp dụng trong bài toán giải tích. Khi cần tính giới hạn của phân thức hữu tỉ, ta sẽ chia tử số cho mẫu số để tìm ra bậc của đa thức lớn nhất giúp xác định giới hạn.
Cho đề bài \[\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}-5}{x-1}\]
Hãy tính giới hạn của bài toán trên.
Lời giải bài tập 2
Ta có \[\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}-5}{x-1}\]
Bước đầu tiên, xét bậc của tử số \[P(x)=x^{3}+2x^{2}-5\] có bậc 3, mẫu số \[Q(x)=x-1\] bậc 1. Do bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu nên giới hạn sẽ tiến đến vô cực.
Kế tiếp, chúng ta tiến hành chia phép chia đa thức như sau:
- Lấy \[\frac{x^{3}}{x}=x^{2}\].
- Lấy \[x^{2}(x-1)=x^{3}-x^{2}\].
- Ta có \[(x^{3}+2x^{2}-5)-(x^{3}-x^{2})=3x^{2}-5\].
- Lấy \[\frac{3x^{2}}{x}=3x\].
- \[3x(x-1)=3x^{2}-3x\].
- Tiếp tục thực hiện phép trừ \[(3x^{2}-5)-(3x^{2}-3x)=3x-5 \].
- Thực hiện tiếp phép chia \[\frac{3x}{x}=3 \].
- \[3(x-1)=3x-3\].
- Thực hiện tiếp phép trừ \[(3x-5)-(3x-3)=-2\].
Như vậy, kết quả của phép chia trên là \[x^{2}+3x+3+\frac{-2}{x-1}\].
Bước cuối cùng là tìm giới hạn của bài toán. Nếu \[x\underset{}{\rightarrow}\infty \]:
- \[x^{2}+3x+3\underset{}{\rightarrow}\infty \].
- \[\frac{-2}{x-1}\underset{}{\rightarrow}0\]
Như vậy, giới hạn của biểu thức này là vô cực.
Bài viết trên đã là lý thuyết cũng như các bài tập liên quan đến phép chia đa thức cho đa thức một biến đã sắp xếp. Đây là một phương pháp tính toán có liên quan đến rất nhiều đề toán khó. Do đó, các bạn cần nắm rõ kiến thức này để ứng dụng giải nhiều bài tập hơn.
