Chia đa thức với một biến đã sắp xếp

Trong toán học, chia đa thức một biến đã sắp xếp là một kỹ thuật cơ bản nhằm tìm thương và dư khi chia hai đa thức. Việc này là cực kỳ hữu ích trong nhiều lĩnh vực toán học, đặc biệt là trong đại số đa thức và giải tích. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách chia đa thức một biến đã sắp xếp bằng một phương pháp đơn giản nhưng hiệu quả. Bài viết sẽ bao gồm các bước thực hiện, các ví dụ minh họa và những lưu ý cần thiết khi sử dụng kỹ thuật chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Chia đa thức một biến đã sắp xếp

Để chia đa thức một biến A cho đa thức một biến B khác không, ta cần sắp xếp các hạng tử của cả hai đa thức theo lũy thừa giảm dần của cùng một biến. Sau đó, ta thực hiện phép chia giống như phép chia các số tự nhiên.

Cụ thể, quá trình chia đa thức A cho đa thức B có thể được mô tả như sau:

1. Sắp xếp các hạng tử của đa thức A và đa thức B theo lũy thừa giảm dần của biến.

2. Chọn hạng tử có bậc cao nhất của đa thức B và chia cho nó để tìm được một đa thức Q.

3. Nhân đa thức Q với đa thức B và trừ nó từ đa thức A để tìm phần dư R.

4. Nếu phần dư R bằng 0, ta đã chia được đa thức A cho đa thức B và kết quả là đa thức Q. Nếu phần dư R khác 0, ta tiếp tục chia phần dư R cho đa thức B bằng cách quay lại bước 2.

5. Kết quả cuối cùng của phép chia đa thức A cho đa thức B là đa thức Q, và phần dư là R.

Ví dụ:

Để chia đa thức A = 3x³ + 5x² + 2x - 4 cho đa thức B = x² - 3x + 2, ta sắp xếp các hạng tử theo lũy thừa giảm dần của x: A = 3x³ + 5x² + 2x - 4 và B = x² - 3x + 2.

Sau đó, ta chọn hạng tử có bậc cao nhất của B, là x², và chia cho nó để tìm được một đa thức Q = 3x + 14/5.

Nhân đa thức Q với đa thức B và trừ nó từ đa thức A để tìm phần dư R = -16/5x + 18.

Phần dư R không bằng 0, do đó ta tiếp tục chia phần dư R cho đa thức B bằng cách quay lại bước 2.

Quá trình chia tiếp tục cho đến khi phần dư bằng 0. Kết quả cuối cùng là Q = 3x + 14/5 và R = -16/5x + 18.

Luyện tập

a) Thực hiện phép chia (6x³ - 7x² - x + 2) : (2x + 1)

Đặt tính rồi tính:

Kết quả: (6x³ - 7x² - x + 2) : (2x + 1) = 3x² - 5x + 2

b) Thực hiện phép tính (x³ - 3x² + 2x + 1) : (x + 1) 

Kết quả: (x³ - 3x² + 2x + 1) : (x + 1) = x² - 4x + 6 (dư -5).