Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Số thập phân vô hạn tuần hoàn là gì?

Số thập phân hữu hạn

Xét phép chia 4 : 10  hay phép chia 45 : 16 ta được kết quả lần lượt là 0,4 và 2,8125. Hai số 0,4 và 2,8125 ta gọi là số thập phân hữu hạn.

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Số thập phân vô hạn không tuần hoàn là số thập phân có phân thập phân là các chữ số khác 0 lặp đi lặp lại không theo một quy tắc nhất định.

Ví dụ:

Số Pi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn: π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279...

1/2 có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân không tuần hoàn 0,5.

Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Số thập phân tuần hoàn là số thập phân có dãy chữ số lặp lại sau dấu thập phân.

B

Ví dụ:

Xét phép chia 7 : 11 ta được kết quả là 0,6363…Ta nói rằng 7 chia cho 11 ta được một số là 0,6363…, đây là một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số 0,6363… được viết gọn là 0,(63). 63 được gọi là chu kì của số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(63).

Phân số 1/3 có thể được biểu diễn dưới dạng số thập phân định kỳ là 0,3333..., trong đó chuỗi "3" lặp lại vô thời hạn.

Phân số 1/7, có thể được biểu diễn dưới dạng 0,142857142857..., trong đó chuỗi "142857" lặp lại.

Dưới đây là một vài ví dụ về số thập phân tuần hoàn:

1/3 = 0,3333...

1/7 = 0,142857142857...

1/9 = 0,1111...

1/11 = 0,0909090909...

2/3 = 0,6666...

1/4 = 0,25

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn

Một số thập phân tuần hoàn có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau, bao gồm:

• Ký hiệu thập phân lặp lại: Số thập phân lặp lại được viết dưới dạng số thập phân có dấu gạch ngang trên (các) chữ số lặp lại, ví dụ: 1/3 = 0,(3).
• Dạng phân số: Số thập phân tuần hoàn có thể được biểu thị dưới dạng một phân số có dạng p/q, trong đó q là lũy thừa của 10. Tử số p có được bằng cách lấy phần nguyên của số thập phân trừ đi phần nguyên của số thập phân.
• Khai triển thập phân: Số thập phân tuần hoàn cũng có thể được viết dưới dạng khai triển thập phân, trong đó chuỗi các chữ số lặp lại được hiển thị rõ ràng, ví dụ: 1/3 = 0,3333...
• Dạng hỗn số: Một số thập phân lặp lại cũng có thể được biểu diễn dưới dạng hỗn số, trong đó phần thập phân lặp lại được biểu thị dưới dạng phân số và phần nguyên được biểu thị dưới dạng số nguyên.

Những cách biểu diễn khác nhau này giúp hiểu được các thuộc tính của số thập phân tuần hoàn và cũng giúp thực hiện các phép tính số học với chúng.

Ví dụ:

Ký hiệu thập phân lặp lại:

1/3 = 0.(3)

1/11 = 0.(09)

Dạng phân số:

1/3 = \(\frac13\)

1/11 = \(\frac1{11}\)

Dưới dạng số thập phân:

1/3 = 0,3333...

1/11 = 0,090909...

Dạng hỗn số:

1/3 = 0 + \(\frac13\)

1/11 = 0 + \(\frac1{11}\)

Các biểu diễn khác nhau của số thập phân định kỳ này hữu ích cho các mục đích khác nhau và có thể được chuyển đổi từ dạng này sang dạng khác khi cần.

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số

Số thập phân tuần hoàn có thể được biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ, là những số có thể được biểu diễn dưới dạng phân số của hai số nguyên.

Ví dụ:

Số thập phân định kỳ 0.(3) có thể được biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac3{10}\) + \(\frac3{100}\) + \(\frac3{1000}\) + ... Mẫu số của phân số này là lũy thừa của 10 và lấy tử số bằng cách lấy phần nguyên của số thập phân trừ đi phần thập phân tuần hoàn. 

Tương tự, số thập phân tuần hoàn 0.(09) có thể được biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac9{100}\) + \(\frac9{1000}\) + ..., v.v.

Biểu diễn các số thập phân tuần hoàn dưới dạng số hữu tỉ cho phép chúng ta thực hiện các phép tính số học với chúng và cũng để hiểu rõ hơn các thuộc tính của chúng, chẳng hạn như chúng là số hữu tỉ hay vô tỉ, số thập phân có tận cùng hoặc không có tận cùng, v.v.

Nhận biết một phân số được viết dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Để biết được một phân số có viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không, ta làm như sau:

• Bước 1: Viết phân số đó dưới dạng phân số tối giản với mẫu số dương.
• Bước 2: Phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố.
• Bước 3: Mẫu số của phân số có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ:

Trong các phân số sau, phân số nào viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: 

Giải: 

Ta thấy các phân số đề ra đều đã được viết dưới dạng phân số tối giản.

Ta phân tích các mẫu số của các phân số đó ra thừa số nguyên tố: 4 = 22; 11=11; 3 = 3; 20 = 22. 5

Ta thấy các mẫu số 11; 3 có ước nguyên tố khác 2 và 5 nên các phân số  viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Viết một phân số hoặc một tỉ số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Để viết phân số dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn ta thực hiện phép chia a : b.

Ví dụ:

Biến đổi các phân số sau thành số thập phân vô hạn tuần hoàn: 

Giải:

Ta có:

2 : 11 = 0,181818181818 ...

1 : 3 = 0,3333333333333 ...

2 : 15 = 0,133333333333 ...

Từ đó, ta có:  = 0,(18),  = 0,(3),  = 0,1(3).

Biến đổi một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số tối giản

Một số thập phân có thể được thể hiện dưới nhiều kiểu và dạng khác nhau, một trong số đó là số thập phân tuần hoàn. Số thập phân tuần hoàn là số trong đó các chữ số thập phân tuần hoàn hoặc lặp lại. Đưa ra dưới đây là các bước để chuyển đổi số thập phân tuần hoàn thành phân số.

• Bước 1: Gọi x là số thập phân tuần hoàn hoặc lặp lại ở dạng khai triển.
• Bước 2: Đếm số chữ số lặp lại. Đặt chúng là n.
• Bước 3: Nhân số thập phân tuần hoàn với 10n.
• Bước 4: Lấy kết quả của bước 3 trừ kết quả của bước 1 để loại bỏ phần lặp lại.
• Bước 5: Tìm x, biểu diễn đáp số dưới dạng phân số ở dạng đơn giản nhất.

Ví dụ:

nếu x = 0,23232323 thì số các chữ số lặp lại là hai, vì vậy hãy nhân với 10 để lũy thừa 2 = 100. 100x = 23,23232323 , trừ hai phương trình ta được 99x = 23 hoặc x = \(\frac{23}{99}\).

0,3 = \(\frac3{10}\)

0,25 = \(\frac{25}{100}\) = \(\frac14\)

0,666... = 666.../1000... = (2/3) / (10³) = \(\frac23\)

0,1666... = 1666.../10000... = (1/6) / (10⁴) = \(\frac16\)

0,04 = \(\frac4{100}\) = \(\frac1{25}\)

Lưu ý rằng trong mỗi trường hợp, phân số có thể được tối giản hết mức có thể.