Trong chương trình toán phổ thông, số thập phân vô hạn tuần hoàn là một khái niệm quan trọng, giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa số thập phân và phân số. Tuy nhiên, vẫn còn rất nhiều người thường xuyên nhầm lẫn khi nhận diện và chuyển đổi dạng số này. Bài viết sau sẽ giúp bạn nắm vững khái niệm và biết các dạng bài tập phổ biến nhé!
1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn
Ví dụ: \[\frac{1}{3}\] = 0,3333…
Khi quan sát ví dụ trên, chúng ta nhận thấy rõ đây là phép tính cho ra kết quả với số 3 lặp lại mãi mãi. Lúc này, ta sẽ nói phân số \[\frac{1}{3}\] có số thập phân là 0,3333… Đây cũng chính là STP vô hạn tuần hoàn.
Thực tế, số 0,3333… này sẽ được viết gọn thành 0,3 (3) với ký hiệu (3) có nghĩa là số 3 được lặp lại vô hạn. Ngoài ra, con số này cũng được xem là chu kỳ của một STP vô hạn tuần hoàn.
Khám phá khái niệm của số thập phân vô hạn tuần hoàn
Để nhận biết nhanh chóng phân số nào có thể viết ra dưới dạng số thập phân này, bạn cần hiểu rõ hai định lý sau:
- Nếu phân số tối giản có mẫu dương, đồng thời mẫu này sở hữu ước khác 2 nguyên tố là 2 và 5, thì phân số đó có thể viết với dạng một STP vô hạn tuần hoàn. Ví dụ: \[\frac{1}{6}\] = 1,166666= 1,1 (6); \[\frac{1}{9}\] = 0,11111= 0,(1); \[\frac{2}{15}\] = 0,13333= 0,1 (3).
- Nếu phân số tối giản có mẫu dương, đồng thời mẫu này sở hữu ước chỉ có 2 nguyên tố là 2 và 5, phân số đó có thể viết với dạng số thập phân hữu hạn. Ví dụ: \[\frac{1}{2}\] = 0,5; \[\frac{2}{5}\] = 0,4; \[\frac{3}{10}\] = 0,3.
2. Làm tròn số thập phân vô hạn tuần hoàn/ hữu hạn
2.1. Dựa vào quy ước làm tròn của số thập phân
Quy ước làm tròn của số thập phân cụ thể như sau:
- Nếu chữ số đầu tiên trong những con số bị đem bỏ đi nhỏ hơn 5, chúng ta sẽ giữ nguyên bộ phận còn lại. Ở trường hợp số nguyên, ta cần thay các chữ số bị đem bỏ đi thành các con số 0.
- Nếu chữ số đầu tiên trong những con số bị đem bỏ đi bằng hoặc lớn hơn 5, chúng ta sẽ cộng 1 vào chữ số cuối của bộ phận còn lại. Ở trường hợp số nguyên, ta cần thay các chữ số bị đem bỏ đi thành các con số 0.
2.2. Dựa vào độ chính xác cho trước
Đối với cách này, khi làm tròn số đến hàng nào đó, kết quả làm tròn phải đạt độ chính xác bằng nửa đơn vị hàng làm tròn. Trong đó, bạn có thể xác định hàng làm tròn thích hợp dựa trên bảng sau:
| Hàng làm tròn | Độ chính xác |
| Trăm | 50 |
| Chục | 5 |
| Đơn vị | 0,5 |
| Phần mười | 0,05 |
| Phần trăm | 0,005 |
3. Các dạng bài tập về số thập phân vô hạn tuần hoàn
3.1. Nhận biết phân số viết được với dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn
Ở kiểu bài tập này, phương pháp giải như sau:
- Chuyển phân số đã cho thành phân số tối giản sở hữu mẫu dương.
- Phân tích mẫu đó ra thừa số nguyên tố.
- Nếu mẫu chẳng có ước khác 2 nguyên tố là 2 và 5 => phân số sẽ viết được với dạng một số thập phân hữu hạn. Ngược lại, nếu mẫu sở hữu ước khác 2 nguyên tố là 2 và 5 => phân số viết được với dạng một STP vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ: Phân số \[\frac{11}{6}\] sẽ được viết với dạng STP hay hữu hạn?
Lời giải:
Ta có mẫu 6= 2.3 => ước có thêm nguyên tố 3 khác với 2 và 5 nên phân sẽ viết được dưới dạng STP vô hạn tuần hoàn.
3.2. Xác định chu kỳ số thập phân vô hạn tuần hoàn
Dạng bài tập này có phương pháp giải như sau:
- Dựa vào nội dung ở phần 1 của bài viết để nhận biết số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn.
- Xét các chữ số sau dấu phẩy để tìm ra chu kỳ khi là STP vô hạn tuần hoàn.
Ví dụ 1: Trong những số thập phân sau, số nào là STP vô hạn tuần hoàn, số nào là STP hữu hạn?
0,2; 1,1666…; 0,454545…; 0,5; 12, 5 (3)
Lời giải:
Trong những số đã cho ở trên:
- STP hữu hạn là: 0,2; 0,5.
- STP vô hạn tuần hoàn là: 1,1666…; 0,454545…; 12,5 (3).
Ví dụ 2: Viết những phân số sau dưới dạng STP rồi xác định xem nó có phải là STP vô hạn tuần hoàn hay không? Chỉ ra chu kỳ và viết gọn nếu số đó là STP vô hạn tuần hoàn.
\[\frac{5}{6}\] ; \[\frac{-1}{3}\] ; \[\frac{11}{220}\]
Lời giải:
\[\frac{5}{6}\]= 0,3125 => STP hữu hạn.
\[\frac{-1}{3}\]= -0,3333… = -0,(3) => STP vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 3.
\[\frac{11}{220}\]= \[\frac{1}{20}\]= 0,05 => STP hữu hạn.
3.3. Chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số tối giản
Để giải dạng bài này, bạn cần hiểu các kiến thức sau:
- STP vô hạn tuần hoàn đơn có chu kỳ ngay sau dấu phẩy sẽ dùng công thức là: \[0,(a)=\frac{a}{9}\] và \[0,(ab)=\frac{ab}{99}\]
- Đối với STP vô hạn tuần hoàn tạp, ta cần lấy số tạo bởi phần bất thường và chu kỳ trừ phần tử bất thường để làm tử của phân số. Mẫu số sẽ gồm các số 9 (số lượng bằng số chữ trong chu kỳ) và kèm theo các con số 0 (số lượng bằng số chữ ở phần bất thường).
Ví dụ: Hãy viết các số thập phân sau dưới dạng một phân số tối giản:
0,(3); 1,(15); 1,02 (5)
Lời giải:
0,(3)= \[\frac{3}{9}\] = \[\frac{1}{3}\]
1,(15)= 1+ 0,(15)= 1 + \[\frac{15}{99}\]= \[\frac{38}{33}\]
1,02 (5)= 1,02 + \[\frac{5}{900}\] = \[\frac{923}{900}\]
3.4. Làm tròn số thập phân vô hạn tuần hoàn/ hữu hạn
Ở dạng bài này, bạn cần phải dựa những quy ước làm tròn của số thập phân và độ chính xác cho trước mà chúng tôi từng đề cập tại nội dung phần 2 của bài viết.
Ví dụ: Làm tròn 3 số thập phân sau đến hàng phần trăm:
1,(54); 3,14159…; 1,183183…
Lời giải:
\[1,(54)=1,545454…\approx 1,55\]
\[3,14159…\approx 3,14\]
\[1,183183…\approx 1,83\]
4. Bài tập vận dụng
4.1. Đề bài
Bài tập 1: Đâu là những phân số có thể viết với dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn?
\[\frac{100}{275}\]; \[\frac{24}{300}\]; \[\frac{-8}{35}\]; \[\frac{13}{6}\]; \[\frac{65}{30}\]
Bài tập 2: Rút gọn và xác định đúng chu kỳ của những STP vô hạn tuần hoàn sau:
1,343434…; -2,151515…; 1,1111…; – 12,5555…; 1,183183…
Bài tập 3: Chuyển các số thập phân sau thành phân số tối giản
0,(4); 0,(21); -0,0(18); -2,4; 1,25
Bài tập 4: Làm tròn 5 số thập phân sau đến hàng phần mười:
1,(16); 2,(36); 3,14159; 2,256; 3,14
4.2. Đáp án
Bài tập 1: \[\frac{100}{275}\], \[\frac{-8}{35}\]; \[\frac{13}{6}\]
Bài tập 2: 1,(34) => chu kỳ là 34; -2,(15) => chu kỳ là 15; 1,(1) => chu kỳ là 1; -12 (5)=> chu kỳ là 5; 1,(183) => chu kỳ là 183.
Bài tập 3: 0,(4)= \[\frac{4}{9}\]; 0,(21)= \[\frac{7}{33}\]; -0,0 (18)= \[\frac{-1}{55}\]; -2,4= \[\frac{12}{5}\]; 1,25= \[\frac{1}{8}\]
Bài tập 4: \[1,(16)\approx 1,2\]; \[2,(36)\approx 2,4\]; \[3,14159\approx 3,1\]; \[2,256\approx 2,3\]; \[3,14\approx 3,1\]
Bài viết trên đây đã tổng hợp đầy đủ các kiến thức liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Mong rằng với những thông tin trên, bạn đọc đã có thể nhận diện dạng số này và biết được cách giải của một số dạng bài tập phổ biến nhé!
