Bán kính đường tròn ngoại tiếp trong tam giác nghe có vẻ khá đơn giản nhưng thực tế lại đang khiến cho nhiều bạn học sinh phải đau đầu. Có khá nhiều công thức liên quan đến chủ đề này và bạn cần phải nắm vững hết tất cả thì mới có thể làm bài tốt được. Ngay sau đây sẽ là chi tiết về các lý thuyết cũng như bài tập vận dụng của chủ đề trên.
Bật mí khái niệm bán kính đường tròn ngoại tiếp là gì
Trước tiên, bạn cần hiểu rằng đường tròn ngoại tiếp của tam sẽ là đường tiếp xúc với phần ngoài của tam giác. Theo đó, đường tròn này sẽ phải đi qua cả ba đỉnh trong một tam giác. Tâm của nó chính là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác. Một tên gọi khác của đường tròn ngoại tiếp tam giác là nội tiếp đường tròn.
Giả sử, ta có O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì suy ra OA = OB = OC. Và ba đoạn thẳng kể trên cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp mà bạn cần phải xác định. Chúng có những tính chất cần chú ý như sau:
- Trong một tam giác, chỉ có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp mà thôi
- Trong tam giác vuông, tâm của đường tròn này chính là trung điểm của cạnh huyền.
- Trong một tam giác đều thì tâm của đường tròn nội tiếp lẫn ngoại tiếp sẽ cùng 1 điểm.
Bật mí công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác chi tiết
Trong các kì kiểm tra toán hiện nay, dạng bài này xuất hiện vô cùng phổ biến. Vì thế, các bạn học sinh cần hiểu kỹ và nắm sâu những cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp cơ bản sau đây:
Dùng diện tích tam giác
Bán kính đường tròn ngoại tiếp thường có ký hiệu là R. Bạn có thể sử dụng các yếu tố cơ bản của một tam giác như độ dài cạnh hay các góc tương ứng. Sau đây là công thức tìm ra bán kính bằng diện tích tam giác:
\[S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}\]
Trong đó:
- a, b, c: Là độ dài ba cạnh
- S: Là diện tích tam giác có sẵn
- R: Bán kính đường tròn cần tìm
Sử dụng định lý lượng giác
\[S=\frac{abc}{4R}\Rightarrow R=\frac{abc}{4S}\frac{a}{sin\widehat{A}}=\frac{b}{sin\widehat{B}}=\frac{c}{sin\widehat{C}}=2R \]
=> \[\Rightarrow R= \frac{a}{2sin\widehat{A}}=\frac{b}{2sin\widehat{B}}= \frac{c}{2sin\widehat{C}}\]
Dùng hệ tọa độ
Công thức được áp dụng khi đề bài cho tam giác đều và yêu cầu bạn tìm ra bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Đặc điểm nhận biết đó là sẽ có lời văn cho ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau và cách thực hiện như sau:
- Đầu tiên, bạn cần tìm ra tọa độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp này
- Tiếp đến, cần tìm ra tọa độ của 1 trong ba đỉnh tam giác A, B, C
- Và cuối cùng là tính khoảng cách từ O đến 1 trong các đỉnh trên vì R = OA = OB = OC theo công thức: \[r=\frac{a}{2}\]. Với r là bán kính, còn a là độ dài của cạnh bất kỳ trong tam giác đều.
Bài tập vận dụng (có đáp án) về bán kính đường tròn ngoại tiếp
Bài 1: Cho một tam giác ABC với, AB = 6, AC = 8 và BC = 10. Hãy tính R đường tròn ngoại tiếp của tam giác trên.
Ta có:
\[AB^2=6^2=36;AC^2=8^2=64;BC^2=10^2=100 \]
Và vì \[36+64=100 \]
=> \[AB^2+AC^2=BC^2\]
Vậy tam giác ABC vuông tại A theo định lý Pytago
Từ đó, ta có thể tính R của đường tròn tam giác ABC là:
\[R=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.10=5\]
Bài 2: Tam giác ABC có AB, AC và BC lần lượt là 3, 5 và 6. Tính R ngoại tiếp của tam giác này.
Áp dụng công thức hê rông, ta có diện tích ABC là:
\[S=\frac{\sqrt{(AB+AC+BC)(AB+BC-AC)(AB+AC-BC)(BC+AC-AB)}}{4}\]
\[=\frac{\sqrt{(3+5+6)(3+6-5)(3+5-6)(6+5-3)}}{4}\]
\[=\frac{\sqrt{14.4.2.8}}{4}=\frac{\sqrt{896}}{4}=\frac{8\sqrt{14}}{4}=2\sqrt{14}\]
Theo đó, R ngoại tiếp đường tròn tam giác ABC là:
\[R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{3.5.6}{4.2\sqrt{14}}=\frac{90}{8\sqrt{14}}=\frac{45}{4\sqrt{14}}\]
Bài 3: Biết tam giác MNP có góc N bằng 45 độ và MP = 4. Hãy tính bán kính đường tròn ngoại tiếp MNP.
Gọi bán kính cần tìm là R
Biết rằng, b = MP = 4
Theo định lý sin trong tam giác MNP, ta có:
\[\frac{b}{sinB}=2R\]
\[\Rightarrow xR=\frac{b}{2\times\sin(B)}=\frac{4}{2\times\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\]{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\]
Vậy, \[R=2\sqrt{2}\]
Trên đây là khái niệm về bán kính đường tròn ngoại tiếp và cách giúp bạn tính ra yếu tố này khi làm toán hình. Hãy chăm chỉ luyện tập bằng các bài vận dụng kể trên để củng cố thêm kiến thức và đạt được điểm số cao bạn nhé.
