Trong chương trình Toán tiểu học, kiến thức về diện tích hình thang: thường – vuông – cân giữ vai trò quan trọng, giúp các em học sinh vận dụng linh hoạt công thức để giải bài tập. Vậy công thức chuẩn như thế nào? Đâu là các dạng bài thường gặp? Phương pháp giải ra sao? Cùng làm rõ từng vấn đề này bằng cách theo dõi bài viết dưới đây nhé!
1. Hình thang là gì?
Hình thang chính là một tứ giác có hai cạnh đối diện nằm song song với nhau. Trong đó, hai cạnh song song đó được gọi là đáy (gồm đáy bé và đáy lớn) và hai cạnh còn lại gọi là cạnh bên. Bên cạnh đó, khoảng cách giữa hai phần đáy này mang ký hiệu là h, thường gọi là đường cao. Đây cũng là đoạn thẳng sẽ nằm vuông góc, đồng thời nối từ một điểm nằm ở đáy trên đến đáy dưới (hoặc ngược lại).
2. Công thức tính diện tích hình thang: thường – vuông – cân
Sau khi đã biết về khái niệm hình thang, bước tiếp theo là tìm hiểu cách tính diện tích của chúng. Mặc dù công thức tổng quát chỉ có một, nhưng tùy vào đặc điểm của từng loại hình thang mà cách áp dụng vào trong tính toán sẽ có một vài điểm khác biệt. Dưới đây là công thức dành cho hình thang mà bạn cần nhớ rõ:
2.1. Hình thang thường
Hình thang thường sẽ có những đặc điểm sau:
- Là loại hình thang cơ bản và đơn giản nhất.
- Có hai cạnh nằm đối diện và song song, nhưng hai cạnh bên lại không mang độ dài bằng nhau và chẳng vuông góc với đáy.
- Không có bất kỳ tính chất nào đặc biệt về cạnh hay góc.
Đối với loại hình thang này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích chung, cụ thể như sau:
\[S=\frac{(a+b)\times h}{2}\]
Trong đó:
- a, b: lần lượt là độ dài của hai mặt đáy
- h: chiều cao
2.2. Hình thang vuông
Đây là loại hình thang sở hữu một góc vuông. Điều đó đồng nghĩa với việc một cạnh bên của hình sẽ vuông góc với hai đáy. Như vậy, cạnh bên đó cũng chính là đường cao. Có một cách giúp bạn dễ hình dung hơn là: hình thang vuông sẽ giống như một nửa hình chữ nhật khi bị cắt chéo.
Thực tế, việc tính diện tích của hình thang vuông trong chuyên đề “Diện tích hình thang: thường – vuông – cân” cũng cần dùng đến công thức chung:
\[S=\frac{(a+b)\times h}{2}\]
Tuy nhiên, chúng ta có thể thấy rằng việc xác định độ dài chiều cao của hình thang vuông đã trở nên dễ dàng hơn khi mà đường cao cũng chính là cạnh bên nằm vuông góc với hai đáy.
2.3. Hình thang cân
Đối với loại hình thang cân, chúng ta sẽ có những đặc điểm sau:
- Là dạng hình thang sở hữu hai cạnh bên bằng nhau, đồng thời hai góc kề đáy cũng bằng nhau.
- Trục đối xứng cũng chính đường thẳng sẽ đi qua trung điểm hai đáy.
- Thường bắt gặp trong những bài toán đưa ra yêu cầu tính diện tích với yếu tố đối xứng hay chứng minh hình học.
Tương tự như những dạng hình thang đã đề cập ở trên, hình thang cân cũng dùng đến công thức chung để tính diện tích:
\[S=\frac{(a+b)\times h}{2}\]
Tuy nhiên, chúng ta sẽ có một điểm khác biệt. Theo đó, nếu hình này chưa cho sẵn độ dài của chiều cao, chúng ta cần dùng đến kiến thức về tam giác vuông lẫn định lý Pythagoras để tính toán chiều cao dựa theo cạnh bên và hiệu của độ dài hai đáy.
3. Một vài dạng bài tính diện tích hình thang: thường – vuông – cân
Trong quá trình học và làm bài, bạn sẽ thường bắt gặp nhiều kiểu bài khác nhau có liên quan đến diện tích hình thang. Để giải quyết chúng, bạn cần nắm chắc công thức chung, đồng thời linh hoạt vận dụng tùy theo dữ kiện mà đề bài cung cấp. Dưới đây là một vài dạng bài phổ biến với phương pháp giải cụ thể và ví dụ rõ ràng:
3.1. Tính diện tích hình thang khi biết độ dài hai đáy và chiều cao
Khi gặp phải kiểu bài tập thế này, bạn chỉ cần áp dụng đúng các bước giải sau:
- Bước 1: Tính tổng độ dài của cả hai đáy (tức cộng độ dài đáy lớn và đáy bé).
- Bước 2: Nhân tổng đó cho chiều cao của hình.
- Bước 3: Chia tích vừa tính ra được cho 2 để đưa ra kết quả cuối cùng.
- Bước 4: Kiểm tra lại đơn vị đo để đảm bảo rằng các số đo cùng một đơn vị (cm, m,…).
Đương nhiên, nếu xác định chính xác cả đáy lớn, đáy bé và chiều cao, thì bạn có thể thế thẳng vào công thức chung để tính.
Ví dụ: Cho một hình thang ABCD, có đáy lớn là 18cm, đáy bé 12cm và chiều cao đúng bằng 6cm. Hãy tính diện tích hình thang đó.
Giải:
- Tổng hai đáy: 18 + 12 = 30 (cm)
- Nhân với chiều cao được: \[30\times 6=180(cm^{2})\]
- Chia 2 ta được: \[180\div 2=90(cm^{2})\]
Vậy diện tích hình này là \[90(cm^{2})\]
Hay:
\[S=\frac{(a+b)\times h}{2}=\frac{(18+12)\times 6}{2}=\frac{30\times 6}{2}=\frac{180}{2}=90(cm^{2})\]
3.2. Diện tích hình thang: thường – vuông – cân biết độ dài cạnh vuông góc đáy
Khi nhắc đến hình thang, đặc biệt là dạng hình thang vuông, đây chắc chắn là kiểu bài tập có độ phổ biến rất cao. Theo đó, cách giải chuẩn chỉnh như sau:
- Bước 1: Xác định loại hình thang, nếu có một cạnh bên nằm vuông góc với cả hai đáy thì sẽ là hình thang vuông.
- Bước 2: Dùng ngay cạnh vuông đó làm chiều cao mà chẳng cần vẽ thêm đường cao.
- Bước 3: Vẫn áp dụng đúng công thức tính diện tích hình thang như bình thường.
Ví dụ: Cho một hình thang vuông ABCD, có phần đáy trên dài 9cm, đáy dưới dài 15cm, đồng thời cạnh bên nằm vuông góc với đáy dài 7cm. Hãy tính diện tích hình thang đó.
Lời giải:
Vì hình thang ABCD vuông, nên cạnh bên vuông góc với hai đáy cũng là chiều cao của hình thang \[\Rightarrow h=7cm\]
Diện tích hình thang vuông ABCD là:
\[S=\frac{(a+b)\times h}{2}=\frac{(9+15)\times 7}{2}=\frac{24\times 7}{2}=\frac{168}{2}=84(cm^{2})\]
Vậy diện tích hình thang là \[84 cm^{2}\]
3.3. Tính diện tích hình thang cân khi biết độ dài 4 cạnh
Trong chuyên đề toán hình học tính diện tích hình thang: thường – vuông – cân, so với các dạng bài ở trên, việc tính diện tích khi biết đủ độ dài của cả 4 cạnh lại sở hữu cách làm khó hơn. Theo đó, phương pháp giải như sau:
- Bước 1: Kiểm tra kỹ tính cân đối của hình để xem hai cạnh bên mang độ dài bằng nhau không.
- Bước 2: Tính phần chênh lệch giữa đáy lớn và đáy nhỏ, rồi chia đôi để được độ dài đáy của tam giác vuông bên.
- Bước 3: Dùng đến định lý Pythagoras để có thể tính ra chiều cao:
\[h^{2}=c^{2}-(\frac{a-b}{2})^{2}\] (với c là độ dài cạnh bên)
- Bước 4: Tìm diện tích của hình dựa trên công thức chuẩn.
Ví dụ: Cho một hình thang có độ dài đáy lớn là 16cm, đáy bé là 10 cm và hai cạnh bên cùng dài 5cm. Hãy tính diện tích hình thang đó.
Lời giải:
Vì hai cạnh bên có độ dài bằng nhau nên đây là hình thang cân.
Áp dụng định lý Pythagoras ta được:
\[h^{2}=c^{2}-(\frac{a-b}{2})^{2}=5^{2}-(\frac{16-10}{2})^{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16\Rightarrow h=4(cm)\]
Diện tích hình thang là:
\[S=\frac{(a+b)\times h}{2}=\frac{(16+10)\times 4}{2}=52(cm^{2})\]
Vậy diện tích hình thang là \[52 cm^{2}\]
3.4. Bài toán có lời văn thực tế liên quan đến hình thang
Thực tế, cách giải quyết chuẩn xác của bài toán có lời văn thuộc chuyên đề hình học diện tích hình thang: thường – vuông – cân cụ thể như sau:
- Bước 1: Đọc kỹ đề bài đã cho, sau đó xác định những dữ liệu cần thiết cho việc tính toán là đáy lớn, đáy bé và chiều cao.
- Bước 2: Chuyển tất cả số đo về chung một đơn vị (nếu cần).
- Bước 3: Dùng công thức diện tích hình thang như trên.
- Bước 4: Ghi rõ kết luận lẫn đơn vị diện tích.
Ví dụ: Một mảnh đất hình thang của bạn A có đáy lớn dài 2500 cm, đáy bé dài 1500 cm và chiều cao là 1 m. Người nhà của A muốn trồng cỏ phủ kín toàn bộ mảnh đất đó. Hỏi diện tích cần trồng cỏ là bao nhiêu mét vuông?
Lời giải:
Đổi đơn vị tính:
- Đáy lớn: 2500cm = 25m
- Đáy bé: 1500cm = 15m
- Chiều cao: 1m (giữ nguyên)
Diện tích mảnh đất đó là:
\[S=\frac{(a+b)\times h}{2}=\frac{(15+25)\times 1}{2}=\frac{40\times 1}{2}=20(m^{2})\]
Vậy diện tích cỏ mà người nhà A cần trồng là \[20 m^{2}\]
4. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Một hình thang sở hữu độ dài đáy lớn dài 16cm, đáy bé là 10cm và chiều cao 8cm. Tính diện tích hình thang.
Bài tập 2: Một hình thang vuông ABCD có đáy bé 25m, đáy lớn 45m và chiều cao 10m. Hãy tính diện tích hình đó.
Bài tập 3: Hình thang cân có đáy lớn 20cm, đáy nhỏ 12cm và hai cạnh bên bằng nhau, mỗi cạnh sẽ dài 5cm. Hãy tính chiều cao và diện tích của hình thang.
Bài tập 4: Một khu đất hình thang vuông phần có đáy lớn dài 60m, phần đáy bé dài 40m và chiều cao là 20m. Chủ đất muốn lát gạch toàn bộ khu đất này. Hỏi cần lát bao nhiêu mét vuông gạch?
Đáp án:
- Bài tập 1: \[S=104 cm^{2}\]
- Bài tập 2: \[S=350 cm^{2}\]
- Bài tập 3: h = 3cm, \[S=48 cm^{2}\]
- Bài tập 4: Chủ đất cần lát \[1000 m^{2}\] gạch.
Bài viết trên đây đã hướng dẫn rõ phương pháp giải các dạng bài tập về diện tích hình thang: thường – vuông – cân ở khối tiểu học. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã có thể giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chuẩn xác nhất nhé!