Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trong toán học, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một loại phương trình mà chúng ta thường gặp trong lớp 8. Việc giải quyết các phương trình này đòi hỏi kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối và sự tương quan giữa các số học học. Việc hiểu và giải quyết được các phương trình này không chỉ giúp cho các em học sinh nâng cao kiến thức toán học mà còn giúp các em phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối và cách giải quyết chúng.

Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối là giá trị số học không phụ thuộc vào dấu của số đó.

Khi ta lấy giá trị tuyệt đối của một số, ta luôn nhận được một số dương hoặc bằng 0, và giá trị tuyệt đối của một số âm bằng với giá trị tuyệt đối của số đó nhưng có dấu trừ (-) trước.

Công thức để tính giá trị tuyệt đối của một số a được viết là:

• |a| = a nếu a ≥ 0
• |a| = -a nếu a < 0

Giá trị tuyệt đối được sử dụng rộng rãi trong toán học, đặc biệt là trong giải phương trình và bất phương trình.

Ví dụ:

a) Giá trị tuyệt đối của số 5 là 5, giá trị tuyệt đối của số -5 cũng là 5:

|5| = 5

|-5| = 5

b) Khi giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối, ta cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối để thu được một hoặc nhiều bất phương trình tương đương.

|2x - 3| > 7

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta phân tích thành hai trường hợp:

• Trường hợp 1: 2x - 3 > 0. Khi đó, |2x - 3| = 2x - 3 và bất phương trình ban đầu trở thành: 2x - 3 > 7, hay x > 5.

• Trường hợp 2: 2x - 3 < 0. Khi đó, |2x - 3| = -(2x - 3) và bất phương trình ban đầu trở thành: -(2x - 3) > 7, hay 2x - 3 < -7, hay x < -2.

Vậy, ta có hai bất phương trình tương đương là x > 5 hoặc x < -2.

Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta cần phân tích phương trình thành hai trường hợp tương đương với các giá trị dương và âm của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Cụ thể:

• Bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta phải xác định được giá trị của biểu thức nằm trong dấu.
• Sau khi xác định được giá trị của biểu thức, ta sẽ có được các trường hợp tương ứng với việc giá trị biểu thức đó là dương hoặc âm.
• Tiếp theo, ta sẽ giải các bất phương trình liên quan đến các trường hợp này để tìm ra các giá trị của biến x thỏa mãn đề bài.
• Cuối cùng, ta sẽ gộp các giá trị của biến x tìm được ở các trường hợp lại để có được tất cả các nghiệm của bài toán.

Ví dụ:

|2x + 3| = 7

Để giải phương trình này, ta phân tích thành hai trường hợp:

• Trường hợp 1: 2x + 3 ≥ 0. Khi đó, |2x + 3| = 2x + 3 và phương trình ban đầu trở thành: 2x + 3 = 7.

Giải phương trình:

2x + 3 = 7

<=> 2x = 7 - 3

<=> 2x = 4

<=> x = 2

• Trường hợp 2: 2x + 3 < 0. Khi đó, |2x + 3| = -(2x + 3) và phương trình ban đầu trở thành: -(2x + 3) = 7.

Giải phương trình:

-(2x + 3) = 7

<=> -2x - 3 = 7

<=> -2x = 7 + 3

<=> -2x = 10

<=> x = - 5

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = -5.

Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình:

a) |x - 4| = 5

b) |3x + 1| = 10

c) |2x - 1| + 3 = 9

Đáp án:

a) |x - 4| = 5

Để giải phương trình này, ta phân tích thành hai trường hợp:

• Trường hợp 1: x - 4 ≥ 0. Khi đó, |x - 4| = x - 4 và phương trình ban đầu trở thành: x - 4 = 5.

Giải phương trình:

x - 4 = 5 <=> x = 9

• Trường hợp 2: x - 4 < 0. Khi đó, |x - 4| = -(x - 4) và phương trình ban đầu trở thành: -(x - 4) = 5.

Giải phương trình:

-(x - 4) = 5 <=> -x + 4 = 5 <=> x = - 1

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 9 và x = -1.

b) |3x + 1| = 10

Để giải phương trình này, ta phân tích thành hai trường hợp:

• Trường hợp 1: 3x + 1 ≥ 0. Khi đó, |3x + 1| = 3x + 1 và phương trình ban đầu trở thành: 3x + 1 = 10.

Giải phương trình:

3x + 1= 10 <=> 3x = 9 <=> x = 3

• Trường hợp 2: 3x + 1 < 0. Khi đó, |3x + 1| = -(3x + 1) và phương trình ban đầu trở thành: -(3x + 1) = 10.

Giải phương trình:

-(3x +1) = 10 <=> -3x - 3 = 10 <=> -3x = 13 <=> x = -13/3

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 3 và x = -13/3.

c) |2x - 1| + 3 = 9

Để giải phương trình này, ta phân tích thành hai trường hợp:

• Trường hợp 1: 2x - 1 ≥ 0. Khi đó, |2x - 1| = 2x - 1 và phương trình ban đầu trở thành: (2x - 1) + 3 = 9.

Giải phương trình:

(2x - 1) + 3 = 9 <=> 2x - 1 + 3 = 9 <=> 2x = 7 <=> x = 7/2.

• Trường hợp 2: 2x - 1 < 0. Khi đó, |2x - 1| = -(2x - 1) và phương trình ban đầu trở thành: -(2x - 1) + 3 = 9.

Giải phương trình:

-(2x - 1) + 3 = 9 <=> -2x + 1 + 3 = 9 <=> -2x = 5 <=> x = -5/2.

Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 7/2 và x = -5/2.

Bài 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức

a) A = |3x + 1| + 5

b) B = |2x - 3| - 7

c) C = |x + 2| + 9

Đáp án:

a) A = |3x + 1| + 5

Ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: 3x + 1 ≥ 0

Khi đó: |3x + 1| = 3x + 1

Ta được phương trình mới là: A = 3x + 1 + 5 = 3x + 6

• Trường hợp 2:  3x + 1 < 0

Khi đó |3x + 1| = -(3x + 1)

Ta được phương trình mới là: A = -3x - 1 + 5 = -3x + 4

b) B = |2x - 3| - 7

Tương tự, ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: 2x - 3 ≥ 0 

Khi đó: |2x - 3| = 2x - 3

Ta được phương trình mới là: B = 2x - 3 - 7 = 2x - 10

• Trường hợp 2: 2x - 3 < 0

Khi đó:  |2x - 3| = -(2x - 3)

Ta được phương trình mới là: B = -2x + 3 - 7 = -2x - 4.

c) C = |x + 2| + 9

Xét hai trường hợp:

• Trường hợp 1: x + 2 ≥ 0 

Khi đó: |x + 2| = x + 2

Ta được phương trình mới C = x + 2 + 9 = x + 11

• Trường hợp 2: x + 2 < 0

Khi đó: |x + 2| = -(x + 2)

Ta được phương trình mới C = -x -2 + 9 = -x + 7.

Vậy nghiệm của phương trình là x ≤ -8 hoặc x ≥ 4.