Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Trong chương trình toán lớp 8, một trong những chủ đề được học đó là liên hệ thứ tự và phép nhân. Liên hệ thứ tự là một khái niệm rất quan trọng trong toán học và được áp dụng rộng rãi trong các bài toán cơ bản và nâng cao. Nếu không hiểu rõ về liên hệ thứ tự, các học sinh sẽ dễ bị nhầm lẫn và tính toán sai kết quả.

Trong khi đó, phép nhân là một phép tính cơ bản, tuy nhiên cách thức áp dụng phép nhân phải tuân thủ đúng liên hệ thứ tự. Do đó, hiểu rõ liên hệ thứ tự và phép nhân là điều cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan đến tính toán, lượng giác và đại số trong chương trình toán học.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về liên hệ thứ tự và phép nhân, bao gồm các định nghĩa cơ bản, ví dụ minh họa và các bài toán thực tế để giúp các học sinh hiểu rõ hơn về chủ đề này.

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

Ghi nhớ:

Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ:

Khi nhân bất đẳng thức 4 > 2 với 50:

4 . 50 > 2 . 50 

<=> 200 > 100

Ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Tính chất:

Với ba số a, b và c mà ta c > 0, ta có:

• Nếu a < b thì ac < bc 
• Nếu a ≤ b thì ac ≤ bc 
• Nếu a > b thì ac > bc
• Nếu a ≥ b thì ac ≥ bc

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

Ghi nhớ:

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Ví dụ:

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức 5 < 7 với số - 3, ta có:

5 . (- 3) > 7 . (- 3)

- 15 > - 21

Bất đẳng 5 < 7 và - 15 > - 21 được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất:

Với ba số a, b và c mà c < 0, ta có:

• Nếu a < b thì ac > bc 
• Nếu a ≤ b thì ac ≥ bc 
• Nếu a > b thì ac < bc
• Nếu a ≥ b thì ac ≤ bc

Tính chất bắc cầu của thứ tự

Với ba số a, b và c nếu a < b và b < c thì a < c.

Tương tự, các thứ tự lớn hơn (>), nhỏ hơn hoặc bằng (≤), lớn hơn hoặc bằng (≥) cũng có tính chất bắc cầu.

Ví dụ:

Cho a > b, chứng minh a + 3 > b - 2

Giải: Cộng 3 vào hai vế của bất đẳng thức a > b, ta được:

a + 3 > b + 3 (1)

Cộng b vào hai vế của bất đẳng thức 3 > -2, ta được:

b + 3 > b - 2 (2)

Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu suy ra: 

a + 3> b - 2

Bài tập ví dụ

a) Quy tắc bắc cầu (hay còn gọi là quy tắc so sánh hai số) chỉ ra rằng nếu ta có hai số a và b sao cho a < b, thì ta có thể kết luận rằng f(a) < f(b) đối với một hàm số f tăng.

Ở đây, ta có a < b, và muốn chứng minh rằng 3a + 1 < 3b + 1. Ta có thể áp dụng quy tắc bắc cầu với hàm số f(x) = 3x + 1. Vì đây là một hàm số tăng, ta có:

f(a) = 3a + 1 f(b) = 3b + 1

Vì a < b, theo quy tắc bắc cầu, ta có:

f(a) < f(b)

Thay giá trị của f(a) và f(b) vào biểu thức, ta có:

3a + 1 < 3b + 1

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng 3a + 1 < 3b + 1.

b) Ví dụ khác về việc sử dụng quy tắc bắc cầu như sau:

Giả sử ta muốn chứng minh rằng nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d.

Để giải quyết vấn đề này, ta sử dụng quy tắc bắc cầu với hàm số f(x, y) = x + y. Vì hàm số này là một hàm số tăng, ta có:

f(a, c) = a + c f(b, d) = b + d

Vì a < b và c < d, ta có:

a + c < b + c (do a < b) b + c < b + d (do c < d)

Từ đó suy ra:

a + c < b + d

Vậy, theo quy tắc bắc cầu, ta đã chứng minh được rằng nếu a < b và c < d, thì a + c < b + d.