Trong chương trình Toán cấp THCS, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cũng là một dạng bài cực kỳ quan trọng, giúp các em học sinh rèn luyện tư duy logic cũng kỹ năng phân tích điều kiện. Vậy toán lớp 8 sẽ có bao nhiêu loại phương trình có dấu giá trị tuyệt đối? Cách giải ra sao? Hãy khám phá chủ đề thú vị này qua nội dung bài viết sau nhé!
1. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
Trước khi khám phá các loại phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và phương pháp giải đúng, bạn cần phải hiểu rõ về định nghĩa cũng như định nghĩa của dấu giá trị tuyệt đối. Dưới đây là các kiến thức trọng điểm mà bạn cần nắm vững:
1.1. Kiến thức về giá trị tuyệt đối
Trong toán học, giá trị tuyệt đối của một số sẽ được ký hiệu là \[\left|a\right|\]. Theo đó, nó được định nghĩa như sau:
- \[\left|a\right|=a\] nếu \[a\geq 0\]
- \[\left|a\right|=a\] nếu \[a<0\]
Một số tính chất quan trọng là:
- \[\left|a\right|\geq 0\] với mọi số thực a.
- \[\left|a\right|=0\Leftrightarrow a=0\]
- \[\left|a\right|=\left|b\right|\Leftrightarrow a=b\] hoặc \[a=-b\]
Tương tự như vậy, với đa thức ta cũng sẽ có:
\[\left|f(x)\right|=\left\{\begin{matrix}f(x)\hspace{1cm}(f(x)\geq 0)\\-f(x)\hspace{0.75cm}(f(x)<0)\end{matrix}\right.\]
1.2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Trong phạm vi kiến thức toán học phần đại số khối lớp 8, chúng ta sẽ cần quan tâm đến ba dạng phương trình có dấu giá trị tuyệt đối, cụ thể là:
- \[\left|f(x)\right|=k\], với k chính là một hằng số không âm.
- \[\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|\]
- \[\left|f(x)\right|=g(x)\]
Ví dụ: Giải phương trình: \[\left|x+5\right|=3x+1\]
Lời giải:
Đối với bài này, chúng ta có 2 cách giải như sau:
- Cách làm 1:
Ta có:
\[\left|x+5\right|=\left\{\begin{matrix}x+5\hspace{0.5cm}\textit{khi}\hspace{0.5cm}x\geq-5\\-x-5\hspace{0.5cm}\textit{khi}\hspace{0.5cm}x<-5\end{matrix}\right.\]
Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu \[x\geq-5\] phương trình có dạng:
\[x+5=3x+1\Leftrightarrow 3x-x=5-1\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2\], thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu \[x<-5\] phương trình có dạng:
\[-x-5=3x+1\Leftrightarrow 3x+x=-5-1\Leftrightarrow 4x=-6\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2}\], không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình này có nghiệm \[x=2\].
- Cách làm 2: Với điều kiện:
\[3x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq-\frac{1}{3}\]
Khi đó, phương trình được biến đổi thành:
\[\left\{\begin{matrix}x+5=3x+1\\x+5=-(3x+1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x=4\\4x=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=2\\x=-\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\]
So với điều kiện, phương trình chỉ có nghiệm \[x=2\].
2. Các dạng bài liên quan đến phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Như bạn đã biết, phương trình có dấu giá trị tuyệt đối được chia thành nhiều dạng khác nhau, nhưng mỗi dạng lại sở hữu phương pháp giải riêng biệt. Sau đây, chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn phân biệt từng dạng bài và áp dụng công thức giải thích hợp nhất.
2.1. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng \[\left|f(x)\right|=k\]
Phương trình cơ bản nhất thường có dạng: \[\left|f(x)\right|=k\]. Trong đó, k được biết là một hằng số không âm. Có thể nói rằng, đây là dạng bài tập về dấu giá trị tuyệt đối sở hữu cách giải khá đơn giản và có độ phổ biến cao nhất. Theo đó, các bước thực hiện như sau:
- Bước 1: Đặt điều kiện để khiến cho f(x) xác định (nếu thấy cần thiết).
- Bước 2: Khi đó:
\[\left|f(x)\right|=k\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}f(x)=k\\f(x)=-k\end{matrix}\right.\Rightarrow \] nghiệm x.
- Bước 3: So sánh nghiệm vừa tìm được cùng với điều kiện, từ đó kết luận chính xác nghiệm cho phương trình.
Lưu ý rằng, ta có được hệ “hoặc” ở bước 2 là nhờ vào kiến thức của giải phương trình tích, cụ thể là:
\[\left|f(x)\right|=k\Leftrightarrow f^{2}(x)=k^{2}\Leftrightarrow\left[f(x)-k\right]\left[f(x)+k\right]=0\]
Ví dụ: Giải phương trình:
- a) \[\left|2x-3\right|=1\]
- b) \[\left|\frac{x+2}{x-2}\right|=1\]
Lời giải:
- a) \[\left|2x-3\right|=1\]
Biến đổi phương trình này, ta được:
\[\left|2x-3\right|=1\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-3=1\\2x-3=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x=1+3\\2x=-1+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x=2;x=1\]
- b) \[\left|\frac{x+2}{x-2}\right|=1\]
Điều kiện xác định của phương trình \[\left|\frac{x+2}{x-2}\right|=1\] là \[x\neq 2\]
- Cách làm 1:
Biến đổi phương trình này, ta được:
\[\left|\frac{x+2}{x-2}\right|=1\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{x-2}=1\\\frac{x+2}{x-2}=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+2=x-2\\x+2=-(x-2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\]
Vậy phương trình này có nghiệm \[x=0\].
- Cách làm 2:
Biến đổi phương trình tương đương, ta được:
\[\left|\frac{x+2}{x-2}\right|=1\Leftrightarrow\left|x+2\right|=\left|x-2\right|\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+2=x-2\\x+2=-(x-2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\]
Vậy phương trình này có nghiệm \[x=0\].
2.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng \[\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|\]
Khi gặp dạng phương trình \[\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|\], bạn hoàn toàn có thể giải quyết nó bằng cách thực hiện đúng theo từng bước sau:
- Bước 1: Đặt điều kiện để khiến cho f(x) xác định (nếu thấy cần thiết).
- Bước 2: Khi đó:
\[\left|f(x)\right|=\left|g(x)\right|\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}f(x)=g(x)\\f(x)=-g(x)\end{matrix}\right.\Rightarrow \] nghiệm x
- Bước 3: So sánh các nghiệm mà bạn đã tìm ra cùng với điều kiện, từ đó mà đưa ra kết luận chính xác về nghiệm phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình:
- a) \[\left|2x+3\right|=\left|x-3\right|\]
- b) \[\left|\frac{x^{2}-x+2}{x+1}\right|-\left|x\right|=0\]
Lời giải:
- a) \[\left|2x+3\right|=\left|x-3\right|\]
Biến đổi phương trình tương đương, ta được:
\[\left|2x+3\right|=\left|x-3\right|\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x+3=x-3\\2x+3=-(x-3)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-x=-3-3\\2x+x=3-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=-6\\x=0\end{matrix}\right.\]
Vậy phương trình này có nghiệm \[x=-6,x=0\]
- b) \[\left|\frac{x^{2}-x+2}{x+1}\right|-\left|x\right|=0\]
Điều kiện xác định của phương trình \[\left|\frac{x^{2}-x+2}{x+1}\right|-\left|x\right|=0\] là \[x\neq 0\].
Biến đổi phương trình tương đương, ta được:
\[\left|\frac{x^{2}-x+2}{x+1}\right|-\left|x\right|=0\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-x+2}{x+1}=x\\\frac{x^{2}-x+2}{x+1}=-x\end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x^{2}-x+2=x(x+1)\\x^{2}-x+2=-x(x+1)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}2x=2\\2x^{2}=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=1\]
Vậy phương trình này có nghiệm \[x=1\]
2.3. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng \[\left|f(x)\right|=g(x)\]
Đối với dạng phương trình \[\left|f(x)\right|=g(x)\], bạn có thể lựa chọn giữa một trong hai cách giải sau:
Cách làm 1 – Phá dấu giá trị tuyệt đối:
- Bước 1: Đặt điều kiện để khiến cho cả f(x) và g(x) xác định (nếu thấy cần thiết).
- Bước 2: Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Nếu \[f(x)\geq 0\], thì phương trình có dạng:
\[f(x)=g(x)\Rightarrow \] nghiệm x và so sánh với điều kiện
- Trường hợp 2: Nếu \[f(x)<0\], thì phương trình có dạng:
\[-f(x)=g(x)\Rightarrow \] nghiệm x và so sánh với điều kiện
- Bước 3: Kết luận chính xác nghiệm cho phương trình đó.
Cách làm 2:
- Bước 1: Đặt điều kiện để khiến cho cả f(x) và g(x) xác định (nếu thấy cần thiết) và \[g(x)\geq 0\]
- Bước 2: Khi đó:
\[\left|f(x)\right|=g(x)\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}f(x)=g(x)\\f(x)=-g(x)\end{matrix}\right.\Rightarrow\] nghiệm x
- Bước 3: So sánh x vừa tìm thấy cùng với điều kiện, sau đó mới đưa ra kết luận cuối về nghiệm cho phương trình.
Ví dụ: Giải phương trình: \[\left|x+4\right|+3x=5\]
Lời giải:
Cách làm 1: Xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu \[x+4\geq 0\Leftrightarrow x\geq-4\]
Suy ra phương trình:
\[x+4+3x=5\Leftrightarrow 4x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\], thỏa mãn điều kiện.
Trường hợp 2: Nếu \[x+4<0\Leftrightarrow x<-4\]
Suy ra phương trình:
\[-(x+4)+3x=5\Leftrightarrow 2x=9\Leftrightarrow x=\frac{9}{2}\], không thỏa mãn điều kiện.
Vậy phương trình này có nghiệm \[x=\frac{9}{2}\].
Cách làm 2:
Ta có: \[\left|x+4\right|+3x=5\Leftrightarrow\left|x+4\right|=5-3x\]
Lại có điều kiện: \[5-3x\geq 0\Leftrightarrow x\leq\frac{5}{3}\]
Khi đó, ta sẽ biến đổi phương trình như sau:
\[\left|x+4\right|=\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x+4=5-3x\\x+4=-(5-3x)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{4}\\x=\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\]
So với điều kiện, phương trình này có nghiệm \[x=\frac{1}{4}\]
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Giải phương trình:
- a) \[\left|x-5\right|=3\]
- b) \[\left|3x-4\right|=\left|x+2\right|\]
Bài tập 2: Giải phương trình:
\[\left|2x-3m\right|=\left|x+6\right|\], với m là một tham số.
Đáp án:
- Bài tập 1: a) x = 2, x = 8; b) x = 3, \[x=\frac{1}{2}\]
- Bài tập 2: x = m – 2, x = 6 + 3m
Bài viết này đã tổng hợp đủ 3 dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp ở chương trình toán THCS. Mong rằng thông qua nội dung bài viết trên, bạn đã có thể nhận biết nhanh từng loại phương trình và nắm được quy trình giải chuẩn chỉnh nhé!