Trong chương trình toán học trung học cơ sở, giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là bài học rất quan trọng, áp dụng xuyên suốt đến trung học phổ thông. Tuy nhiên, hẳn không ít các bạn học sinh cảm thấy ngao ngán bởi có nhiều dạng bài tập hay công thức khó nằm lòng. Nhưng các bạn hãy yên tâm, bài học học hôm nay sẽ hệ thống lại các lý thuyết và các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhé!
Định nghĩa và lý thuyết cơ bản
Hệ phương trình là gì?
Khi một bài toán liên quan đến hai hay nhiều đại lượng, ta có thể thiết lập những phương trình riêng biệt biểu diễn từng mối quan hệ. Tập hợp các phương trình đó gọi là hệ phương trình. Mỗi ẩn số trong hệ đại diện cho một đại lượng chưa biết, và ta cần giải hệ đó để tìm giá trị của các ẩn.
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình có dạng:
\[\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\]
với \[a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\] là các hằng số.
Phương pháp giải hệ phương trình
Có hai cách phổ biến để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, cụ thể như sau:
- Thế: Tìm biểu thức của một ẩn theo ẩn kia trong một phương trình, rồi thế vào phương trình còn lại.
- Cộng đại số: Nhân hai phương trình để triệt một ẩn rồi cộng hoặc trừ hai phương trình.
Kết quả hệ sẽ có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm hoặc vô nghiệm tùy vào mối quan hệ giữa hai phương trình.
Các dạng bài toán thường gặp
Với giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, một số dạng toán mà bạn thường gặp như sau:
Dạng 1: Bài toán về năng suất, công việc
Đây là dạng bài rất phổ biến trong thực tế như hai người cùng làm một công việc, thời gian làm việc, hay lượng công việc hoàn thành trong một thời gian nhất định. Hệ phương trình giúp biểu diễn năng suất làm việc của từng người và tổng lượng công việc.
Ví dụ: Hai người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất làm xong trong 6 giờ, người thứ hai làm trong 4 giờ. Hỏi nếu làm chung thì sau bao lâu xong việc?
Lời giải:
- Gọi thời gian làm chung là t (giờ), năng suất người 1 là \[\frac{1}{6}\], người 2 là \[\frac{1}{4}\], năng suất chung là \[\frac{1}{t}\]
- Ta có: \[\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{t} \Rightarrow \frac{5}{12} = \frac{1}{t} \Rightarrow t = \frac{12}{5} = 2.4 giờ.\]
Dạng 2: Bài toán về chuyển động (quãng đường – vận tốc – thời gian)
Những bài toán chuyển động có hai vật chuyển động ngược chiều, cùng chiều hoặc đuổi nhau thường dùng hệ phương trình để biểu diễn mối quan hệ giữa vận tốc, thời gian và quãng đường.
Ví dụ: Hai người đi xe đạp cùng khởi hành từ hai địa điểm cách nhau 90 km, đi ngược chiều nhau. Sau 3 giờ thì gặp nhau, biết vận tốc người thứ nhất hơn người thứ hai 5 km/h. Tìm vận tốc mỗi người.
Lời giải:
- Gọi vận tốc người thứ nhất là x (km/h), người thứ hai là y (km/h)
- Ta có: \[\begin{cases} x + y = \frac{90}{3} = 30 \\ x = y + 5 \end{cases}
\Rightarrow \begin{cases} x + y = 30 \\ x – y = 5 \end{cases}\]
- Cộng hai phương trình:
\[2x = 35 \Rightarrow x = 17.5 \Rightarrow y = 12.5\]
- Vậy vận tốc người thứ nhất là 17.5 km/h, người thứ hai là 12.5 km/h
Dạng 3: Bài toán về tuổi
Những bài toán về tuổi thường có các thông tin liên quan đến hiện tại, quá khứ hoặc tương lai. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình giúp ta đặt ẩn và lập được mối quan hệ về tuổi theo thời gian.
Ví dụ: Hiện nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. 5 năm trước, tuổi mẹ gấp 5 lần tuổi con. Hỏi hiện nay mẹ bao nhiêu tuổi?
Lời giải:
- Gọi tuổi con hiện nay là x, mẹ là 3x
- 5 năm trước: \[3x – 5 = 5(x – 5) \Rightarrow 3x – 5 = 5x – 25 \Rightarrow -2x = -20 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow 3x = 30\]
- Vậy con 10 tuổi, mẹ 30 tuổi
Bài tập giải toán bằng cách lập hệ phương trình
Để nắm vững cách giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, việc luyện tập thật nhiều bài tập đa dạng là điều cần thiết. Bên dưới là các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, giúp bạn rèn luyện hiệu quả nhé:
Bài tập cơ bản
Bài 1: Trong chuồng có tất cả 36 con gà và chó. Đếm được 100 chân. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Lời giải:
- Gọi số con gà là x, số con chó là y.
Ta có hệ: \[\begin{cases} x + y = 36 \\ 2x + 4y = 100 \end{cases}\]
Từ phương trình (1): \[y = 36 – x\] - Thay vào (2): \[2x + 4(36 – x) = 100 \\ 2x + 144 – 4x = 100 \\ -2x = -44 \Rightarrow x = 22 \Rightarrow y = 14\]
- Đáp án: 22 con gà, 14 con chó
Bài 2: Mua 3 gói bánh và 2 gói kẹo hết 27.000 đồng. Mua 2 gói bánh và 4 gói kẹo hết 28.000 đồng. Hỏi giá mỗi gói bánh và mỗi gói kẹo.
Lời giải:
- Gọi giá một gói bánh là x đồng, gói kẹo là y đồng: \[\begin{cases} 3x + 2y = 27000 \\ 2x + 4y = 28000 \end{cases}\]
Nhân (1) với 2: \[6x + 4y = 54000\]
Trừ (2): \[6x + 4y – (2x + 4y) = 54000 – 28000 \Rightarrow 4x = 26000 \Rightarrow x = 6500\]
- Thay vào (1): \[3\cdot6500 + 2y = 27000 \Rightarrow 19500 + 2y = 27000 \Rightarrow 2y = 7500 \Rightarrow y = 3750\]
- Đáp án: Bánh: 6.500 đồng, kẹo: 3.750 đồng
Bài 3: Hai năm trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Hai năm nữa, tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?
Lời giải:
- Gọi tuổi hiện tại của mẹ là x, con là y: \[\begin{cases} x – 2 = 4(y – 2) \\ x + 2 = 3(y + 2) \end{cases}\]
Từ (1): \[x – 2 = 4y – 8 \Rightarrow x = 4y – 6\]
Thay vào (2): \[4y – 6 + 2 = 3(y + 2) \Rightarrow 4y – 4 = 3y + 6 \Rightarrow y = 10 \Rightarrow x = 4\cdot10 – 6 = 34\]
- Đáp án: Mẹ: 34 tuổi, Con: 10 tuổi
Bài 4: Trong thư viện có 120 quyển sách Toán và Văn. Số sách Văn nhiều hơn số sách Toán 24 quyển. Hỏi có bao nhiêu sách mỗi loại?
Lời giải:
- Gọi số sách Toán là x, Văn là y
\[\begin{cases} x + y = 120 \\ y = x + 24 \end{cases} \Rightarrow x + (x + 24) = 120 \Rightarrow 2x = 96 \Rightarrow x = 48, y = 72\]
- Đáp án: 48 sách Toán, 72 sách Văn
Bài 5: Một người có tất cả 20 đồng tiền gồm loại 2.000 đồng và 5.000 đồng. Tổng số tiền là 70.000 đồng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu đồng?
Lời giải:
- Gọi số đồng 2.000 là x, 5.000 là y: \[\begin{cases} x + y = 20 \\ 2000x + 5000y = 70000 \end{cases}\]
Từ (1): \[y = 20 – x\]
Thay vào (2):
\[2000x + 5000(20 – x) = 70000 \Rightarrow 2000x + 100000 – 5000x = 70000 \Rightarrow -3000x = -30000 \Rightarrow x = 10 \Rightarrow y = 10\]
Đáp án: 10 đồng 2.000, 10 đồng 5.000
Bài tập nâng cao
Bài 1: Lãi suất ngân hàng
Một người gửi 2 khoản tiền vào hai ngân hàng khác nhau. Khoản thứ nhất gửi với lãi suất 0,6%/tháng, khoản thứ hai là 0,8%/tháng. Sau 1 tháng, tổng tiền lãi từ cả hai khoản là 780.000 đồng. Biết rằng tổng số tiền ban đầu là 120 triệu đồng, hỏi mỗi khoản gửi bao nhiêu tiền?
Gọi:
- x: số tiền (triệu đồng) gửi vào ngân hàng lãi suất 0,6%
- y: số tiền (triệu đồng) gửi vào ngân hàng lãi suất 0,8%
Ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} x + y = 120 \\ 0.006x + 0.008y = 0.78 \end{cases}\]
Nhân phương trình thứ hai với 1000 để dễ tính:
\[\begin{cases} x + y = 120 \\ 6x + 8y = 780 \end{cases}\]
Giải hệ:
- Từ pt1: \[y = 120 – x\]
- Thay vào pt2:
\[ 6x + 8(120 – x) = 780 \Rightarrow 6x + 960 – 8x = 780 \Rightarrow -2x = -180 \Rightarrow x = 90 \Rightarrow y = 30\]
Đáp án: Gửi 90 triệu vào ngân hàng lãi 0,6%, 30 triệu vào ngân hàng lãi 0,8%
Bài 2: Hình học ứng dụng – chu vi và diện tích hình chữ nhật
Một hình chữ nhật có chu vi là 64 cm, nếu tăng chiều dài lên 4 cm và giảm chiều rộng 2 cm thì diện tích không đổi. Tính kích thước ban đầu của hình chữ nhật.
Gọi:
- x: chiều dài (cm)
- y: chiều rộng (cm)
Ta có:
\[\begin{cases} 2(x + y) = 64 \\ x \cdot y = (x + 4)(y – 2) \end{cases}\]
Rút gọn pt1: \[x + y = 32 \Rightarrow y = 32 – x\]
Thay vào pt2: \[x(32 – x) = (x + 4)(30 – x) \Rightarrow 32x – x^2 = (x + 4)(30 – x)\]
Khai triển và giải:
\[32x – x^2 = 30x + 120 – x^2 – 4x \Rightarrow 32x – x^2 = 26x + 120 – x^2 \Rightarrow 6x = 120 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow y = 12\]
Đáp án: Chiều dài 20 cm, chiều rộng 12 cm.
Bài 3: Tốc độ dòng chảy
Một chiếc ca nô đi xuôi dòng từ A đến B mất 4 giờ, quay ngược dòng về mất 5 giờ. Quãng đường AB là 72 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước.
Gọi:
- x: vận tốc ca nô khi nước yên lặng (km/h)
- y: vận tốc dòng nước (km/h)
Ta có:
- Xuôi dòng: vận tốc x + y, thời gian 4 giờ
- Ngược dòng: vận tốc x – y, thời gian 5 giờ
\[\begin{cases} 4(x + y) = 72 \\ 5(x – y) = 72 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 18 \\ x – y = 14.4 \end{cases}\]
Giải hệ:
- Cộng vế: \[2x = 32.4 \Rightarrow x = 16.2\]
- Thế vào pt1: \[y = 1.8\]
Đáp án: Vận tốc ca nô 16.2 km/h, dòng nước 1.8 km/h
Bài 4: Bài toán tuổi nâng cao
Tổng tuổi hiện nay của hai cha con là 56. 4 năm trước, tuổi cha gấp 5 lần tuổi con. Tính tuổi hai người.
Gọi:
- x: tuổi cha hiện tại
- y: tuổi con hiện tại
\[\begin{cases} x + y = 56 \\ x – 4 = 5(y – 4) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 56 \\ x – 4 = 5y – 20 \end{cases} \Rightarrow x = 5y – 16 \Rightarrow 5y – 16 + y = 56 \Rightarrow 6y = 72 \Rightarrow y = 12, x = 44\]
Đáp án: Cha 44 tuổi, con 12 tuổi.
Lời kết
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một kỹ năng không thể thiếu trong hành trang học toán. Mong rằng bài viết trên đã giúp bạn nắm rõ được lý thuyết và biết cách giải mã đa dạng các bài tập. Hãy luyện tập đều đặn với các dạng bài trên để thành thạo cách lập và giải hệ phương trình nhé.