Ba trường hợp bằng nhau của tam giác
Tam giác là một trong những khía niệm quen thuộc và quan trọng trong hình học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về ba trường hợp bằng nhau của tam giác, bao gồm trường hợp bằng nhau giữa hai cạnh và một góc, hai góc và một cạnh, và ba cạnh. Các trường hợp này là cơ sở để chúng ta có thể giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học định tính.
1. Định nghĩa hai tam giác bằng nhau
Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác A’B’C’ ta viết : ΔABC = ΔA'B'C'
2. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác
a) Trường hợp 1: Cạnh - cạnh - cạnh (c . c . c)
| Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. |
Xét ΔABC = ΔA'B'C' có
AB = DF
AC = DE
BC = EF
Suy ra: ΔABC = ΔDEF (c . c . c)
b) Trường hợp 2: Cạnh - góc - cạnh (c . g . c)
| Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. |
Xét ΔABC = ΔA'B'C' có
AB = DE
AC = DF
\(\widehat A\;=\;\widehat D\)
Suy ra ΔABC = ΔDEF (c . g . c)
Lưu ý: Cặp góc bằng nhau phải xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau thì mới kết luận được hai tam giác bằng nhau.
c) Trường hợp 3: Góc - cạnh - góc (g . c . g)
| Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. |
Xét ΔABC = ΔDEF có:
\(\widehat A\;=\;\widehat D\)
\(\widehat B\;=\;\widehat F\)
AB = DE
Suy ra: ΔABC = ΔDEF (g . c . g)
3. Bài tập vận dụng
Bài tập có hướng dẫn giải
Bài 1. Cho Δ ABC vuông tại A có AB < AC. Lấy I là trung điểm của AC. Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại M.
a) Chứng minh Δ AMI = ΔCMI
b) Vẽ đường thẳng vuông góc với BC tại C, đường thẳng này cắt đường thẳng MI tại N. Chứng minh Δ MAN = Δ NCM. Từ đó suy ra NA \(\perp\) AM
Lời giải
a)
Xét Δ AMI và Δ CMI có:
AI = IC (I là trung điểm của AC)
\(\widehat{AIM}=\widehat{CIM}\) (=90° do MI \(\perp\) AC)
IM là cạnh chung
=> Δ AMI = Δ CMI (c -g -c)
b)
Có Δ AMI = Δ CMI (chứng minh phần a)
=> AM = MC (2 cạnh tương ứng)
=> \(\widehat{AMN}=\widehat{CMN}\) (2 góc tương ứng)
Xét Δ NAM và Δ NCM có:
AM = MC (cmt)
\(\widehat{AMN}=\widehat{CMN}\) (cmt)
NM là cạnh chung
=> Δ NAM và Δ NCM (c - g -c)
=> \(\widehat{MAN}=\widehat{MCN}\) (2 góc tương ứng)
=> NA \(\perp\) AM
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi I là trung điểm BC. Trên cạnh AB lấy M, trên cạnh AC lấy N sao cho AM = AN
a) Chứng minh Δ ABI và Δ ACI và AI \(\perp\) BC
b) Chứng minh Δ AIM = ΔAIN
Lời giải
a)
Xét Δ ABI và Δ ACI có:
AB = AC (gt)
BI = IC (I là trung điểm BC)
AI là cạnh chung
=> Δ ABI = Δ ACI (c - c -c)
=> \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) (2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{MAN}+\widehat{MCN}\) = 180° (kề bù)
=> \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) = 90°
=> AI \(\perp\) BC
b) Có: Δ ABI = Δ ACI (cmt)
=> \(\widehat{IAM}=\widehat{IAN}\) (2 góc tương ứng)
Xét Δ AIM và ΔAIN có:
AM = AN
\(\widehat{IAM}=\widehat{IAN}\)
AI là cạnh chung
=> Δ AIM = ΔAIN (c - g - c)
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC; M là trung điểm BC; N là 1 điểm trong tam giác sao cho NB = NC.
Chứng minh: ∆NMB = ∆ NMC.
Bài 2. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng: ABE = ACE
Bài 3. Cho tam giác ABC có góc A = 400 , AB = AC. Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của tam giác AMB và tam giác AMC.
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = AC. D, E thuộc cạnh BC sao cho BD = DE = EC. Biết AD = AE.
a. Chứng minh góc EAB = góc DAC.
b. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là phân giác của góc DAE.
c. Giả sử góc DAE = 600. Tính các góc còn lại của tam giác DAE.
Bài 5. Cho tam giác ABC có góc A = 900. Vẽ AD ⊥ AB (D, C nằm khác phía đối với AB) và AD = AB. Vẽ AE ⊥ AC (E, B nằm khác phía đối với AC) và AE = AC. Biết DE = BC. Tính góc BAC.
Bài 6. Cho ABC có AB = AC. Kẻ AE là phân giác của góc BAC (E thuộc BC). Chứng minh rằng:
a. ∆ABE = ∆ACE
b. AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 7. Cho ABC có AB < AC. Kẻ tia phân giác AD của góc BAC (D thuộc BC). Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:
a. ∆BDF = ∆EDC.
b. BF = EC.
c. F, D, E thẳng hàng.
d. AD ⊥ FC
Bài 8. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox, lấy 2 điểm A và C. Trên tia Oy lấy 2 điểm B và D sao cho OA = OB; OC = OD. (A nằm giữa O và C; B nằm giữa O và D).
a. Chứng minh ∆OAD = ∆OBC
b. So sánh 2 góc CAD và CBD.