Trong toán học, tam giác là một dạng hình học phổ biến và có nhiều bài tập liên quan đến dạng hình này. Bài viết dưới đây sẽ giúp các bạn tìm hiểu từ A-Z về các trường hợp bằng nhau của tam giác, từ đó nắm bắt được lý quyết quan trọng để ứng dụng vào giải các bài tập phức tạp.
Thế nào là hai tam giác bằng nhau?
Trước khi đến với các trường hợp bằng nhau của tam giác, các bạn cần nắm rõ định nghĩa về hai tam giác bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau chính là hai tam giác với các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau.
Cho hai tam giác ABC và tam giác A’B’C’, ta ký hiệu hai tam giác bằng nhau là \[\triangle ABC=\triangle A’B’C’\].
Các trường hợp bằng nhau của tam giác
Các trường hợp bằng nhau của tam giác chia thành nhiều dạng khác nhau, bao gồm trường hợp cạnh – cạnh – cạnh, cạnh – góc – cạnh và góc – cạnh – góc.
-
Cạnh – cạnh – cạnh
Cho hai tam giác, nếu ba cạnh của tam giác này bằng với ba cạnh của tam giác còn lại thì hai tam giác đó là hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ, cho hai tam giác ký hiệu \[\triangle ABC\] và \[\triangle A’B’C’\], nếu \[AB=A’B’\], \[AC=A’C’\] và \[BC=B’C’\] thì chúng ta có thể kết luận là \[\triangle ABC=\triangle A’B’C’\].
Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh được ứng dụng để kiểm tra tính chính xác của các bản vẽ kỹ thuật liên quan đến hình tam giác, đồng thời được ứng dụng nhiều trong đo đạc và xây dựng.
-
Trường hợp cạnh – góc – cạnh
Cho hai tam giác, nếu có hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác này bằng với hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác kia thì chúng ta có thể kết luận là hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ, cho hai tam giác ký hiệu \[\triangle ABC\] và \[\triangle A’B’C’\], nếu \[AB=A’B’\], \[AC=A’C’\] và \[\angle A=\angle A’\] thì \[\triangle ABC=\triangle A’B’C’\].
Trường hợp này được ứng dụng nhiều trong cơ khí và kiến trúc, khi cần xác định và thiết kế những bộ phận đối xứng với nhau.
-
Trường hợp góc – cạnh – góc
Nếu một cạnh cùng hai góc kề cạnh của tam giác này bằng với một cạnh và hai góc kề cạnh của tam giác khác thì hai tam giác này là hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ, cho hai tam giác \[\triangle ABC\] và \[\triangle A’B’C’\], nếu \[\angle A=\angle A’\], \[\angle B=\angle B’\] và \[AB=A’B’\] thì \[\triangle ABC=\triangle A’B’C’\].
Trường hợp bằng nhau này của hai tam giác có thể được ứng dụng để kiểm tra góc nghiêng của những công trình và được sử dụng nhiều trong đồ họa, tạo ra hai hình đối xứng.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là dạng đặc biệt của khái niệm toán học này, bao gồm cạnh góc vuông – cạnh góc vuông, cạnh góc vuông – góc nhọn và cạnh huyền – góc nhọn.
-
Cạnh góc vuông – cạnh góc vuông
Trong lý thuyết tam giác vuông, nếu hai cạnh góc vuông của hai tam giác vuông lần lượt bằng nhau thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Đây là biến thể đặc biệt của trường hợp cạnh – góc – cạnh bởi các tam giác vuông đều sẽ có góc vuông bằng nhau và bằng \[90^{\circ}\].
-
Cạnh góc vuông – góc nhọn
Trong trường hợp này, nếu một cạnh góc vuông cùng với một góc nhọn kề cạnh của tam giác vuông bằng với một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh của tam giác vuông khác thì đây là hai tam giác vuông bằng nhau. Đây cũng chính là biến thể đặc biệt của trường hợp góc – cạnh – góc bởi chúng ta đã có hai góc vuông là bằng nhau, kết hợp với tình huống này sẽ tạo ra một cạnh và hai góc kề cạnh bằng nhau.
Ví dụ, cho hai tam giác vuông ABC vuông tại A và A’B’C’ vuông tại A’, nếu \[AB=A’B’\] và \[\angle B=\angle B’\] thì hai tam giác vuông này bằng nhau.
-
Cạnh huyền – góc nhọn
Nếu hai tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn bất kỳ bằng nhau thì hai tam giác vuông này bằng nhau.
Ví dụ, cho hai tam giác vuông ABC vuông tại A và A’B’C’ vuông tại A’, nếu \[BC=B’C’\] và \[\angle B=\angle B’\] thì \[\triangle ABC=\triangle A’B’C’\].
Bài tập và lời giải
Vận dụng kiến thức về các trường hợp bằng nhau của tam giác, chúng ta có thể tìm ra lời giải của một số bài toán về hình học.
Bài tập
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với \[AB=AC\], cho điểm N là trung điểm của cạnh BC. Hãy chứng minh \[AN\perp BC\].
Ví dụ 2: Cho \[\triangle ABC=\triangle MNP\], \[AB=5cm\], \[MP=7cm\], chu vi của ABC là 22 cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của hai tam giác trên.
Lời giải
Tiếp theo là lời giải của hai bài tập vừa được cho trên.
Ví dụ 1
Ta xét hai \[\triangle ANB \] và \[\triangle ANC\] có
- \[AB=AC\]
- AN cạnh chung
- \[NB=NC\]
\[\Rightarrow\triangle ANB=\triangle ANC\] theo khái niệm cạnh – cạnh – cạnh trong lý thuyết các trường hợp bằng nhau của tam giác.
\[\Rightarrow\angle BAN=\angle CAN\] và \[\angle ANB=\angle ANC\] theo lý thuyết các góc tương ứng bằng nhau.
Theo định lý hai góc kề bù nhau, ta có \[\angle ANB+\angle ANC=180^{\circ}\]
\[\Rightarrow\angle ANB=\angle ANC=\frac{180}{2}=90^{\circ}\Rightarrow AN\perp BC\]
Ví dụ 2
Theo đề bài, chúng ta có hai tam giác \[\triangle ABC=\triangle MNP\], như vậy các cạnh tương ứng trong tam giác sẽ bằng nhau, thực hiện lần lượt theo các bước dưới đây sẽ giải được bài toàn trên.
Bước 1: Các bạn xác định các cạnh tương ứng của hai tam giác, do \[\triangle ABC=\triangle MNP\], chúng ta có:
- \[AB=MN=5cm\]
- \[BC=NP\]
- \[AC=MP\]
Bước 2: Áp dụng công thức tính chu vi tam giác ABC ta có \[AB+BC+AC=22cm\], sau đó thay \[AB=5cm\] ta có công thức \[5+BC+AC=22cm\Rightarrow BC+AC=17cm \].
Bước 3: Tìm kết quả các cạnh còn lại, theo đề bài, \[MP=AC=7cm\], \[BC+AC=17cm\] \[\Rightarrow BC=10cm\].
Bước 4: Ta có \[BC=NP=10cm\], \[AC=MP=7cm\] và \[AB=MN=5cm\].
Như vậy, kết quả của bài toán trên là:
- Tam giác ABC có các cạnh \[AB=5cm\], \[BC=10cm\] và \[AC=7cm\].
- Tam giác MNP có các cạnh \[MN=5cm\], \[NP=10cm\] và \[MP=7cm\].
Qua bài viết trên, có thể thấy rằng lý thuyết về các trường hợp bằng nhau của tam giác tương đối đơn giản. Khi nắm rõ các khái niệm này, bạn có thể ứng dụng trong thực tiễn rất dễ dàng, đồng thời đây cũng là tính chất trung gian quan trọng để giải nhiều bài toán khó.
