Trong môn toán học, phân thức đại số đóng vai trò rất quan trọng trong nhiều bài toán biến đổi biểu thức và giải các phương trình. Để làm chủ được dạng toán này, bạn cần nắm vững quy tắc nhân chia phân thức đại số. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phép nhân, phép chia phân thức, từ đó xử lý nhanh và chuẩn xác các dạng bài tập liên quan nhé!
1. Các kiến thức cần ghi nhớ
Sau đây là tổng hợp các kiến thức quan trọng về phép nhân, chia phân thức đại số mà bạn cần hiểu rõ:
1.1. Phép nhân phân thức đại số
Đối với phép nhân phân thức, chúng ta cần áp dụng quy tắc: Để nhân hai phân thức với nhau, ta sẽ thực hiện phép nhân giữa các tử số và các mẫu số tương ứng.
\[\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.B}{B.D}\]
1.2. Phép chia phân thức đại số
Đối với phép chia, bạn cần ghi nhớ những kiến thức trọng tâm sau:
- Hai phân thức được gọi là nghịch đảo khi tích của chúng bằng 1. Ví dụ: phân thức nghịch đảo của \[\frac{A}{B}\] là \[\frac{B}{A}\].
- Muốn chia phân thức \[\frac{A}{B}\] cho một phân thức khác 0 là \[\frac{C}{D}\], ta nhân \[\frac{A}{B}\] với phân thức nghịch đảo của \[\frac{C}{D}\]. Ta có: \[\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}\] với \[\frac{C}{D}\neq 0\].
2. Một số dạng bài tập phổ biến về nhân chia phân thức đại số
2.1. Áp dụng quy tắc nhân và chia để giải bài toán
Với dạng bài tập thường xuất hiện này, chúng ta sẽ phải áp dụng đầy đủ các quy tắc nhân, chia phân thức đại số đã được trình bày chi tiết ở phần trên để giải mọi phép tính yêu cầu.
Ví dụ: Thực hiện các phép tính:
- a) \[\frac{8x}{15 y^{3}}.\frac{4 y^{2}}{x^{2}}\] với \[x\neq 0\], \[y\neq 0\]
- b) \[\frac{7xy}{3x+1}:\frac{14 x^{2}y}{6x+2}\]
Lời giải:
- a) \[\frac{8x}{15 y^{3}}.\frac{4 y^{2}}{x^{2}}=\frac{8x.4 y^{2}}{15 y^{3}.x^{2}}=\frac{32}{15xy}\]
- b) \[\frac{7xy}{3x+1}:\frac{14 x^{2}y}{6x+2}=\frac{7xy}{3x+1}.\frac{6x+2}{14 x^{2}y}=\frac{7xy}{3x+1}.\frac{2(3x+1)}{14 x^{2}y}=\frac{1}{x}\]
2.2. Nhân chia phân thức – Bài tập kết hợp các quy tắc đã học
Khi gặp phải dạng bài tập này, bạn cần sử dụng hợp lý 4 quy tắc đã học là: quy tắc trừ, quy tắc cộng, quy tắc nhân và quy tắc chia để tính toán.
Lưu ý rằng:
- Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức, bạn phải thực hiện phép nhân giữa các tử số và giữa các mẫu số.
- Ưu tiên tính các biểu thức nằm trong dấu ngoặc trước (nếu có).
Ví dụ: Rút gọn 2 biểu thức sau:
a)\[\frac{t^{4}+4t^{2}+8}{2t^{3}+2}.\frac{t}{12t^{2}+1}:\frac{t^{4}+4t^{2}+8}{3t^{3}+3}\] với \[t\neq-1\]
- b) \[\frac{y-1}{2y}.(y^{2}+y+1+\frac{y^{3}}{y-1})\] với \[y\neq 0\] và \[y\neq 1\]
Lời giải:
a)
\[\frac{t^{4}+4t^{2}+8}{2t^{3}+2}.\frac{t}{12t^{2}+1}:\frac{t^{4}+4t^{2}+8}{3t^{3}+3}=\frac{(t^{4}+4t^{2}+8).t.3(t^{3}+1)}{2(t^{3}+1).(12t^{2}+1).(t^{4}+4t^{2}+8)}=\frac{3t}{2(12t^{2}+1)}\]
b)
\[\frac{y-1}{2y}.(y^{2}+y+1+\frac{y^{3}}{y-1})=\frac{y-1}{2y}.(\frac{y^{3-1}}{y-1}+\frac{y^{3}}{y-1})=\frac{2y^{3}-1}{2y}\]
3.2. Nhân chia phân thức – Bài tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước
Để giải đúng dạng bài tập này, bạn cần thực hiện theo 2 bước sau:
- Bước 1: Đưa phân thức mà bạn cần tìm về riêng một vế.
- Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân, chia các phân thức để suy ra phân thức cần tìm.
Ví dụ: Tìm phân thức A thỏa mãn:
\[\frac{x-4}{x^{3}-3x^{2}+x-3}:A=\frac{x^{2}-5x+4}{(x-2)(x-3)}\]
Lời giải:
\[\frac{x-4}{x^{3}-3x^{2}+x-3}:A=\frac{x^{2}-5x+4}{(x-2)(x-3)}\]
\[\Rightarrow A=\frac{x-4}{x^{3}-3x^{2}+x-3}:\frac{x^{2}-5x+4}{(x-2)(x-3)}\]
\[A=\frac{x-4}{x^{3}-3x^{2}+x-3}.\frac{(x-2)(x-3)}{x^{2}-5x+4}\]
\[A=\frac{x-4}{x^{2}(x-3)+x-3}.\frac{(x-2)(x-3)}{x^{2}-x-4x+4}\]
\[A=\frac{x-4}{(x-3)(x^{2}+1)}.\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-4)}\]
\[A=\frac{x-2}{(x-1)(x^{2}+1)}\]
3. Bài tập vận dụng về nhân, chia các phân thức
Bài tập 1: Tìm phân thức D, biết:
\[\frac{(x-1)^{2}-6(x-1)+9}{3x^{2}-3x}.D=\frac{x^{2}-16}{3x^{2}-3x}\]
Bài tập 2: Nhân các phân thức sau:
\[\frac{4n^{2}}{17m^{4}}.(-\frac{7m^{2}}{12n})\]
Đáp án:
- Bài 1: \[D=\frac{(x-4)(x+1)}{x+4}\]
- Bài 2: \[\frac{-7n}{51m^{2}}\]
Bài viết trên đây đã tổng hợp tất tần tật các kiến thức trọng tâm về việc nhân chia các phân thức đại số. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã hiểu rõ hơn về các dạng bài tập nhân, chia phân thức phổ biến nhất và ghi nhớ phương pháp giải đúng nhé!
