Tiên đề Euclid. Tính chất hai đường thẳng song song
Tiên đề Euclid là một trong những tiên đề quan trọng nhất của hình học Euclid cổ điển. Nó mô tả tính chất của hai đường thẳng song song, tức là hai đường không bao giờ cắt nhau. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về Tiên đề Euclid và các tính chất của đường thẳng song song. Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu các ứng dụng của Tiên đề Euclid trong hình học và các bài toán liên quan đến đường thẳng.
1. Tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song
Tiên đề Euclid: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.
Ví dụ: Cho k, l và m là hai đường thẳng song song với nhau. Nếu đường thẳng p cắt đường thẳng k thì cũng cắt đường thẳng l và m.
2. Tính chất hai đường thẳng song song
Trong một mặt phẳng, nếu 2 đường thẳng song song bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 thì:
Hai góc so le trong bằng nhau
Hai góc đồng vị bằng nhau
Hai góc trong cùng phía bù nhau
Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.
Ví dụ: Cho a//b và \(c\perp a\) thì \(c\perp b\)
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Ví dụ: Cho a//b, c//b thì a//c
3. Bài tập
Bài 1. Cho hình sau, biết rằng mn//pq. Tính số đo các góc mHK, vHn.
Giải
Vì mn//pq ⇒ hai góc so le trong \(\widehat{mHK} =\widehat{HKq} =70^{o}\)
\(\widehat{vHN} =\widehat{mHK} =70^{o} \ \) (hai góc đối nhau)
Bài 2. Cho hình 3.40
a, Giải thích tại sao Am//By
b, Tính \(\widehat{CDm}\)
Giải
a, Vì \(\widehat{xBA} =\widehat{BAD} \ \) mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ AM//By
b, Vì Am//By ⇒ \(\widehat{CDm} =\widehat{tCy} \ =120^{o}\) (2 góc đồng vị)
Bài 3. Giải thích tại sao
a, Ax' //By
b, \(By\perp HK\)
Giải
a. \(\widehat{xAB} =\widehat{KAB}\). Mà 2 góc này ở vị trí so le trong ⇒ Ax' // By
b. Vì Ax' // By mà \(Ax'\perp HK\;\Rightarrow By\perp HK\)
Bài 4. Cho hình dưới đây. Giải thích tại sao
a. JK // ML
b. JK // ON
c. MN // ON
Giải
a. Ta có \(\widehat{KJL} =\widehat{JLM} =30^{o}\)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
Do đó JK // ML
b. Ta có \(\widehat{JKL} =\widehat{ONI} =70^{o}\)
Mà hai góc ở vị trí đồng vị
Do đó JK // ON
c. Ta có JK // ML ( đã chứng minh ở phần a) và JK // ON (đã chứng minh ở phần b)
Suy ra MN // ON
Bài 5. Cho tam giác ABC. Vẽ đường thẳng m đi qua A và song song với BC. Vẽ đường thẳng n đi qua B và song song với AC. Có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng m, bao nhiêu đường thẳng n? Vì sao?
Giải
Vì theo tiên đề Euclid, qua điểm A ở ngoài BC, chỉ có một đường thẳng song song với BC. Nên chỉ vẽ được một đường thẳng m duy nhất.
Vì theo tiên đề Euclid, qua điểm B ở ngoài AC, chỉ có một đường thẳng song song với AC. Nên chỉ vẽ được một đường thẳng n duy nhất.
Bài 6. Cho hình sau
a. chứng minh xx' // yy'
b. Tính số đo góc MNB
Giải
a. Ta thấy \(\widehat{t'AM} =\widehat{ABN} =65^{o}\) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒xx' // yy'
b. Vì xx' // yy' ⇒ \(\widehat{MNB} =\widehat{NMx'} =70^{o}\) (2 góc so le trong)