Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp là dạng bài tập rất quen thuộc trong toán học. Để có thể giải được những bài toán liên quan đến công thức này, các bạn học sinh cần nắm rõ lý thuyết, định nghĩa và đồng thời thực hành nhiều bài tập ví dụ, tìm ra lời giải và đáp án, ứng dụng trong nhiều dạng toán khác nhau.
Lý thuyết về đường tròn nội tiếp tam giác
Định nghĩa đường tròn nội tiếp tam giác
Để nắm được công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, các bạn học sinh cần phải nắm được lý thuyết về loại đường tròn này.
Trong toán học, đường tròn là tập hợp của tất cả các điểm trên cùng một mặt phẳng và cùng cách đều một điểm bằng với một khoảng cách nào đó. Điểm cách đều được gọi là tâm đường tròn, khoảng cách giữa tâm với các điểm trên đường tròn được gọi là bán kính. Thông thường, tâm đường tròn sẽ được ký hiệu là O và bán kính sẽ ký hiệu là r, đường tròn ký hiệu (O;r).
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn lớn nhất nằm bên trong một tam giác, tiếp xúc với ba cạnh tam giác đó. Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm ba đường phân giác trong.
Tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác
Có 3 tính chất của đường tròn nội tiếp tam giác mà các bạn học sinh cần nắm để có thể làm bài tập tốt hơn:
- Mỗi tam giác chỉ có một đường tròn nội tiếp.
- Khoảng cách từ tâm của hình tròn hạ đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác chính là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác.
- Đối với tam giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp sẽ là một.
Làm thế nào để xác định đường tròn nội tiếp tam giác
Với định nghĩa tâm của đường tròn nội tiếp tam giác chính là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác, chúng ta có 4 bước xác định tâm 0 của đường tròn nội tiếp tam giác ABC như sau:
- Bước 1: Vẽ 3 đường phân giác trong của tam giác, lần lượt là AM, BN và CP.
- Bước 2: Tiếp tục xác định giao điểm O của 3 đường phân giác tam giác ABC.
- Bước 3: Bắt đầu từ tâm I, kẻ 3 đường vuông góc với 3 cạnh AB, AC và BC của tam giác. Giao điểm của 3 đường phân giác chính là tâm O đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Bước 4: Cuối cùng, vẽ đường tròn tâm O bán kính là OM = ON = OP.
Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp
Công thức tính đường tròn nội tiếp của tam giác rất đơn giản. Cho tam giác ABC có AB=c, BC=c, CA=b với những ký hiệu sau:
- S: Diện tích của tam giác
- \[p=\frac{a+b+c}{2}\] là nửa chu vi
- r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác.
Chúng ta có công thức tính đường tròn nội tiếp tam giác như sau:
\[r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\]
Ngoài ra, đối với trường hợp tam giác đều sẽ có công thức tính khác, cho ABC là tam giác đều cạnh a, chúng ta có \[p=\frac{3a}{2}\], vì vậy bán kính sẽ là \[r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\].
Công thức tính bán kính của đường tròn nội tiếp vận dụng vào thực tiễn
Khi các bạn hiểu rõ khái niệm và công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, bạn sẽ vận dụng được rất nhiều vào thực tiễn để công việc trở nên nhẹ nhàng hơn. Một số ví dụ về việc vận dụng công thức toán học này bao gồm:
- Ví dụ 1: Đối với thợ cơ khí, khi chế tạo ra bánh răng, họ sẽ tính toán bán kính của đường tròn nội tiếp để đảm bảo những bộ phận này sẽ khớp với nhau. Bánh răng thường có các răng hình tam giác, xác định được bán kính đường tròn nội tiếp chính là xác định khoảng cách giữa các răng sao cho khớp nhau.
- Ví dụ 2: Khi ứng dụng trong giao thông đô thị, nếu muốn thiết kế một vòng xoay với mục đích giảm thiểu tình trạng ùn tắc giao thông thì bạn cần ứng dụng cách tính bán kính của đường tròn nội tiếp. Thông qua phương pháp này, bạn có thể tính toán được làn đường như thế nào là phù hợp để xe di chuyển một cách thuận lợi và không bị va chạm nhau.
Bài tập minh hoạ và lời giải
Để vận dụng tốt kiến thức của công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, hãy cùng tìm hiểu một số bài tập và lời giải dưới đây nhé.
Bài tập
Ví dụ A: Cho tam giác ABC, độ dài các cạnh AB=8cm, AC=10cm, BC=12cm. Hãy tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Ví dụ B: Cho tam giác đều ABC có AB=AC=BC= 6cm. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác
Ví dụ C: Cho tam giác vuông ABC với 2 cạnh góc vuông AB = 9cm và BC = 12cm. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp.
Lời giải
Tiếp theo là đáp án của 2 bài tập vận dụng để các bạn nắm rõ cách tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
Ví dụ A
Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ta có:
- Nửa chu vi \[p=\frac{8+10+12}{2}=15cm\].
- Sử dụng công thức Heron để tính diện tích \[S=\sqrt{15(15-8)(15-10)(15-12)}=\sqrt{15*7*5*3}=45cm^{2}\].
- Bán kính \[r=\frac{45}{15}=3cm\].
Ví dụ B
Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều, ta có:
- Chiều cao \[h=\frac{\sqrt{3}}{2}*6=3\sqrt{3}\].
- Diện tích \[S=\frac{1}{2}*6*3\sqrt{3}=9\sqrt{3}cm^{2}\].
- Bán kính \[r=\frac{\sqrt{3}}{6}*6=\sqrt{3}cm\].
Ví dụ C
- Các bước giải lần lượt để tìm ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác:
- Bước 1: Tính cạnh huyền \[AC=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=\sqrt{225}=15cm\].
- Bước 2: Nửa chu vi \[p=\frac{9+12+15}{2}=18cm\].
- Bước 3: Diện tích tam giác \[S=\frac{9*12}{2}=54cm^{2}\].
- Bước 4: Tính bán kính đường tròn \[r=\frac{S}{p}=\frac{54}{18}=3cm\]
Như vậy, qua bài viết trên, có thể thấy rằng công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tương đối đơn giản. Chỉ cần các bạn nắm vững công thức là đã có thể vận dụng dễ dàng vào thực tiễn cuộc sống cũng như tìm ra đáp án của nhiều bài tập khó.
