Đối với chương trình toán học khối THCS, biểu thức đại số là được biết đến như một kiến thức nền tảng, giữ vai trò đặc biệt quan trọng trong việc học các chuyên đề nâng cao hơn như hàm số, phương trình và bất phương trình. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng nhau điểm qua toàn bộ lý thuyết cần nhớ và các dạng bài thường gặp, hãy theo dõi ngay bây giờ nhé!
1. Lý thuyết cần nhớ
Biểu thức đại số cũng một trong những kiến thức nền tảng nhất ở chương trình toán đại số khối THCS. Tuy nhiên, trước khi tìm hiểu sâu hơn về cách vận dụng biểu thức đại số, chúng ta sẽ cần phải nắm vững một số khái niệm cơ bản như biểu thức số, biểu thức đại số và cách để xác định đúng giá trị của biểu thức đại số.
1.1. Biểu thức số là gì?
Biểu thức số là một dạng biểu diễn toán học chỉ bao gồm phép toán và các con số, không có sự xuất hiện của bất kỳ chữ cái hay biến số nào cả. Thông thường, các phép toán thường gặp bao gồm: cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, lũy thừa,…
Thực tế, biểu thức số sẽ luôn cho ra một giá trị xác định sau khi hoàn tất việc tính toán phép tính. Ví dụ:
- Với biểu thức số \[7+3\times 2\], ta tính được: \[7+3\times 2=7+6=13\]
- Hay với biểu thức \[\frac{20-5}{3}\], ta tính được: \[\frac{20-5}{3}=\frac{15}{3}=5\]
Ngoài ra, tất cả biểu thức như thế này sẽ không thay đổi (hay không chứa thêm biến nào) vì những thành phần trong biểu thức đều là các con số cụ thể.
1.2. Biểu thức đại số là gì?
Biểu thức đại số được hiểu là một loại biểu thức toán học bao gồm các số, chữ cái (hay biến) và phép toán. Theo đó, những chữ cái nằm trong biểu thức đại sẽ diện cho các giá trị chưa biết hoặc có thể thay đổi, được gọi là biến số.
Biểu thức này cũng được xem là biện pháp tốt nhất để mô tả những tình huống có sự biến đổi về mặt giá trị, cho phép chúng ta thực hiện việc tính toán một cách linh hoạt cũng như tổng quát hơn biểu thức số. Ví dụ:
- Biểu thức \[x+4\] gồm biến số x và hằng số 4.
- Biểu thức \[3a-2b+7\] gồm hai biến a, b và các phép tính cộng, trừ.
- Biểu thức \[\frac{x^{2}-1}{x+1}\] là một phân thức đại số có chứa lũy thừa và biến.
Ngoài ra, loại biểu thức này không có giá trị cố định, mà sẽ phụ thuộc vào giá trị thay thế của các biến. Chính vì thế mà mặc dù có cùng một biểu thức, nhưng khi bạn thay giá trị khác nhau vào biến thì sẽ nhận được các kết quả khác nhau.
2. Các dạng bài tập thường gặp về biểu thức đại số
Sau khi nắm vững toàn bộ phần lý thuyết cơ bản, bạn cần phải luyện tập các dạng bài tập để biết cách vận dụng kiến thức một cách hiệu quả. Tuy nhiên, mỗi dạng bài đều mang đặc điểm riêng biệt, đòi hỏi cách tiếp cận và phương pháp giải phù hợp. Dưới đây là một vài dạng bài tiêu biểu mà bạn sẽ gặp thường xuyên:
2.1. Tính giá trị của biểu thức đại số
Khi nói về chuyên đề này, đây có chắc chắn là dạng bài cơ bản và phổ biến nhất. Tại đây, bạn sẽ được cho một biểu thức và giá trị cụ thể của các biến nằm trong biểu thức đó. Nhiệm vụ của bạn là thay đúng giá trị các biến, sau đó thực hiện các phép tính theo đúng thứ tự: lũy thừa, nhân/chia trước, cộng/trừ sau.
Như vậy, các bước giải bài như sau:
- Bước 1: Xác định rõ ràng giá trị của mỗi biến được cho ở đề bài.
- Bước 2: Thay từng biến bằng giá trị tương ứng đã cho và biểu thức.
- Bước 3: Thực hiện phép tính theo đúng quy tắc thứ tự toán học.
- Bước 4: Ghi rõ kết quả.
Ví dụ: Tính giá trị biểu thức:
- a) \[A=3x-2y+5\] khi \[x=4;y=1\]
- b) \[B=2x^{2}-3x+1\] khi \[x=-2\]
- c) \[C=\frac{2x+y}{x-y}\] khi \[x=5;y=1\]
- d) \[D=\sqrt{x+5}+\frac{y}{2}\] khi \[x=4;y=6\]
Lời giải:
- a) \[A=3x-2y+5=3\times 4-2\times 1+5=12-2+5=15\]
- b) \[B=2x^{2}-3x+1=3\times(-2)^{2}-3\times(-2)+1=2\times 4+6+1=8+6+1=15\]
- c) \[C=\frac{2x+y}{x-y}=\frac{2\times 5+1}{5-1}=\frac{10+1}{4}=\frac{11}{4}\]
- d) \[D=\sqrt{x+5}+\frac{y}{2}=\sqrt{4+5}+\frac{6}{2}=\sqrt{9}+3=3+3=9\]
2.2. Rút gọn biểu thức đại số
Rút gọn biểu thức chính là quá trình sắp xếp rồi tính toán lại các thành phần trong biểu thức để nhận được một dạng ngắn gọn, dễ nhìn hơn nhưng vẫn giữ nguyên được giá trị ban đầu. Thông thường, dạng toán này sẽ đòi hỏi các em học sinh phải thực hiện các phép nhân giữa đơn thức và đa thức, loại bỏ dấu ngoặc theo đúng quy tắc dấu ngoặc, sau đó gom/ nhóm những hạng tử có cùng phần biến để cộng hay trừ hệ số.
Theo đó, cách làm cụ thể như sau:
- Bước 1: Nhân đa thức cùng đơn thức nếu biểu thức đề cho có dấu ngoặc.
- Bước 2: Bỏ đi dấu ngoặc theo quy tắc: trước dấu “+” giữ nguyên, trước dấu “–” thì đổi dấu cho toàn bộ hạng tử nằm trong ngoặc.
- Bước 3: Nhóm các hạng tử đồng dạng (tức hạng tử có cùng phần chữ hay phần mũ giống nhau).
- Bước 4: Cộng hoặc trừ hệ số của hạng tử đồng dạng để rút gọn.
Ví dụ: Rút gọn 4 biểu thức đại số sau:
- a) \[A=2x\left(3x-4\right)+5\left(x-2\right)-3x^{2}\]
- b) \[B=\left(2a-3b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)^{2}\]
- c) \[C=\left(x-2\right)^{2}+\left(x+3\right)\left(x-3\right)\]
- d) \[D=\left(3x^{2}-2x+1\right)-\left[x^{2}+\left(2x-3\right)-\left(x^{2}-x+2\right)\right]\]
Lời giải:
- a) \[A=2x\left(3x-4\right)+5\left(x-2\right)-3x^{2}\]
\[=6x^{2}-8x+5x-10-3x^{2}\]
\[=\left(6x^{2}-3x^{2}\right)+\left(-8x+5x\right)-10=3x^{2}-3x-10\]
- b) \[B=\left(2a-3b\right)\left(a+b\right)-\left(a-b\right)^{2}\]
\[=2a^{2}+2ab-3ab-3b^{2}-\left(a-b\right)^{2}\]
\[=2a^{2}-ab-3b^{2}-\left(a^{2}-2ab+b^{2}\right)\]
\[=2a^{2}-ab-3b^{2}-a^{2}+2ab-b^{2}\]
\[=\left(2a^{2}-a^{2}\right)+\left(-ab+2ab\right)+\left(-3b^{2}-b^{2}\right)\]
\[=a^{2}+ab-4b^{2}\]
- c) \[C=\left(x-2\right)^{2}+\left(x+3\right)\left(x-3\right)\]
\[=x^{2}-4x+4+x^{2}-9\]
\[=2x^{2}-4x-5\]
- d) \[D=\left(3x^{2}-2x+1\right)-\left[x^{2}+\left(2x-3\right)-\left(x^{2}-x+2\right)\right]\]
\[=\left(3x^{2}-2x+1\right)-\left[x^{2}+2x-3-x^{2}+x-2\right]\]
\[=\left(3x^{2}-2x+1\right)-\left[3x-5\right]\]
\[=3x^{2}-2x+1-3x+5\]
\[=3x^{2}-5x+6\]
2.3. Tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị xác định
Biểu thức đại số còn có thể chứa mẫu số hoặc căn bậc hai. Tuy nhiên, đối với những trường hợp này, không phải giá trị nào của biến số cũng làm cho biểu thức có nghĩa. Chính vì vậy mà bạn cần thực hiện bước tìm điều kiện để biểu thức được xác định.
Tùy thuộc vào dạng biểu thức, chúng ta có những cách xử lý khác nhau, cụ thể là:
- Nếu biểu thức đề cho ở dạng phân thức: Ta sẽ tìm điều kiện mẫu khác 0.
- Nếu biểu thức đề cho chứa căn bậc hai: Ta sẽ tìm điều kiện biểu thức nằm trong căn lớn hơn hoặc bằng 0 (với căn bậc hai xác định trên tập số thực).
Ví dụ: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới đây xác định:
- a) \[A=\sqrt{5-x}\]
- b) \[B=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\]
- c) \[C=\frac{x+1}{\sqrt{2x-3}}\]
- d) \[D=\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}\]
Lời giải:
- a) \[A=\sqrt{5-x}\]
Điều kiện để biểu thức có nghĩa là biểu thức dưới dấu căn không âm hay \[5-x\geq 0\Rightarrow x\leq 5\].
- b) \[B=\frac{1}{\sqrt{x-2}}\]
Để biểu thức xác định thì:
Mẫu số khác 0: \[\sqrt{x-2}\neq 0\Rightarrow x-2\neq 0\Rightarrow x\neq 2\]
Biểu thức dưới căn không âm: \[x-2\geq 0\Rightarrow x\geq 2\]
Kết hợp 2 điều kiện: \[x\geq 2\] và \[x\neq 2\Rightarrow x>2\]
- c) \[C=\frac{x+1}{\sqrt{2x-3}}\]
Biểu thức xác định khi:
Mẫu số \[\sqrt{2x-3}\neq 0\Rightarrow 2x-3\neq 0\Rightarrow x\neq\frac{3}{2}\]
Biểu thức dưới căn không âm: \[2x-3\geq 0\Rightarrow x\geq\frac{3}{2}\]
Kết hợp 2 điều kiện: \[x\geq\frac{3}{2}\] và \[x\neq\frac{3}{2}\Rightarrow x>\frac{3}{2}\]
- d) \[D=\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}\]
Biểu thức xác định khi:
Biểu thức dưới căn không âm: \[x+5\geq 0\Rightarrow x\geq-5\]
Mẫu số khác 0: \[x-1\neq 0\Rightarrow x\neq 1\]
Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa là \[x\neq 1\] và \[x\geq-5\]
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
- a) \[A=3x^{2}-2x+1\] với x = -2
- b) \[B=\frac{2x+\sqrt{x}}{x-1}\] với x = 4
- c) \[C=\frac{1}{\sqrt{x-3}}+\sqrt{x}\] với x = 9
Bài tập 2: Rút gọn:
- a) \[P=2x\left(x-3\right)-\left(x^{2}-6x\right)\]
- b) \[Q=\frac{x^{2}-9}{x-3}+\frac{2x-6}{x-3}\]
- c) \[R=\frac{\sqrt{x^{2}}}{x}+\frac{x^{2}-1}{x-1}\] (với x > 0)
Bài tập 3: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức:
- a) \[M=\frac{1}{\sqrt{3x+6}}\]
- b) \[N=\frac{x+2}{\sqrt{x-5}}\]
- c) \[T=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-9}}\]
Đáp án:
- Bài tập 1: a) A = 17, b) \[B=\frac{10}{3}\], c) \[C\approx 3,41\]
- Bài tập 2: a) \[P=x^{2}\], b) \[Q=x+5\] (với \[x\neq 3\]), c) \[R=x+2\]
- Bài tập 3: a) x > -2, b) x > 5, c) x < -3 và x > 3.
Biểu thức đại số là một trong những kiến thức cần thiết để bạn dễ dàng tiếp cận hơn với các chuyên đề toán nâng cao hơn. Mong rằng những gì chúng tôi chia sẻ trở nên hữu ích và bạn đã có thể tự mình giải được các dạng bài thường gặp rồi nhé!