Trong chương trình Toán học cấp THCS, tam giác được xem là một loại hình cơ bản nhưng mang nhiều tính chất thú vị. Theo đó, một trong những kiến thức nền tảng mà tất cả học sinh đều phải hiểu rõ là tổng các góc trong một tam giác để giải được nhiều dạng bài toán khác nhau. Hãy theo dõi bài viết sau để khám phá các dạng bài tập về chủ đề hình học này nhé!
1. Lý thuyết cần nhớ
Khi học về tam giác – một dạng hình có ba cạnh và ba góc, kiến thức cơ bản và đặc biệt quan trọng mà bạn cần phải ghi nhớ đầu tiên là mối quan hệ giữa toàn bộ góc bên ngoài và góc bên trong của nó. Thực tế, những tính chất này không chỉ giúp bạn giải quyết các bài tập nhanh hơn, mà còn là cơ sở vững chắc cho các lập luận hình học logic về sau.
1.1. Quy tắc tổng ba góc trong một tam giác
Trong mọi hình tam giác, tổng của ba góc nằm ở các đỉnh luôn bằng đúng 180 độ. Quy tắc này sẽ không phân biệt bất kỳ loại tam giác, cho nên dù là tam giác thường, tam giác đều, tam giác vuông hay tam giác tù thì kết quả này vẫn luôn đúng.
Như vậy, nếu gọi ba góc trong hình \[\triangle ABC\] lần lượt là \[\angle A\], \[\angle B\], \[\angle C\] thì ta có công thức:
\[\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}\]
1.2. Áp dụng vào tam giác vuông
Với tam giác sở hữu một góc vuông (tức góc bằng \[90^{\circ}\]), thì hai góc còn lại sẽ là các góc nhọn và điều đặc biệt là chúng luôn bù nhau.
Hay nói cách khác:
Nếu \[\angle C=90^{\circ}\] thì \[\angle A+\angle B=90^{\circ}\]
Tính chất này sẽ cực kỳ hữu ích khi bạn cần xác định các góc còn lại nằm trong một tam giác vuông khi đã được biết một góc nhọn.
1.3. Góc ngoài trong tam giác
Góc ngoài chính là góc được tạo thành khi kéo dài một cạnh của hình tam giác và tạo ra một góc kề bù với một trong ba góc nằm phía trong. Ví dụ, nếu kéo dài cạnh \[\textit{BC}\] tại điểm \[\textit{C}\], thì góc tạo thành giữa đường kéo dài và cạnh \[\textit{AC}\] sẽ là góc nằm ngoài tại đỉnh C.
Theo đó, một tính chất quan trọng của góc ngoài mà bạn nên hiểu rõ là: Góc ngoài nằm tại một đỉnh sẽ bằng tổng của hai góc trong không kề với nó. Cụ thể:
\[\angle ACx=\angle A+\angle B\]
Ngoài ra, góc ngoài của một hình tam giác sẽ luôn lớn hơn từng góc phía trong không kề với nó, tức là:
\[\angle ACx>\angle A\] và \[\angle ACx>\angle B\]
2. Các dạng bài thường gặp về tổng các góc trong một tam giác
Sau khi đã nắm vững các lý thuyết cơ bản, học sinh cần áp dụng kiến thức vào việc giải các dạng bài thực tế. Theo đó, mỗi dạng bài sẽ khai thác một khía cạnh khác biệt của định lý về tổng ba góc trong tam giác, từ cơ bản nhất cho đến nâng cao.
2.1. Tính số đo góc
Có thể nói rằng, đây là dạng bài thường gặp nhất, yêu cầu các em học sinh sử dụng toàn bộ kiến thức ở phần lý thuyết để tìm ra góc còn thiếu khi đã được biết trước số đo của hai góc kia. Dạng này rất phù hợp để bạn rèn luyện kỹ năng tính toán nhanh và chuẩn xác.
Ví dụ 1: Tính x, y trong hình vẽ sau:
Lời giải:
Ta có: \[\widehat{EHF}+\widehat{FHG}=180^{\circ}\] (hai góc kề bù)
\[\widehat{EHF}+80^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow\widehat{EHF}=180^{\circ}-80^{\circ}\Rightarrow\widehat{EHF}=100^{\circ}\]
Xét \[\triangle EHF\] có:
\[\widehat{EHF}+\widehat{FEH}+\widehat{EFH}=180^{\circ}\] (Định lý về tổng ba góc trong một hình tam giác)
\[100^{\circ}+\widehat{FEH}+30^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow\widehat{FEH}=50^{\circ}\Rightarrow x=50^{\circ}\]
Ta lại có: \[y+80^{\circ}=\widehat{FGm}\] (góc ngoài của tam giác)
\[y+80^{\circ}=135^{\circ}\]
\[\Rightarrow y=135^{\circ}-80^{\circ}\Rightarrow y=55^{\circ}\]
Ví dụ 2: Cho hình \[\triangle ABC\], có tia phân giác \[\textit{AD}\] của \[\widehat{A}\] cắt \[\textit{BC}\] tại điểm \[\textit{D}\]. Hãy tính \[\widehat{ADB}\] biết \[\widehat{B}-\widehat{C}=40^{\circ}\]
Lời giải:
Ta có: \[\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}\]
\[\widehat{BAC}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}\]
Vì \[\textit{AD}\] là tia phân giác của \[\widehat{BAC}\] nên:
\[\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}=\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C})=90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{B}-\frac{1}{2}\widehat{C}\]
Ta lại có: \[\frac{1}{2}\widehat{A_{1}}+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180^{\circ}\]
\[\Rightarrow\widehat{ADB}=180^{\circ}-\widehat{A_{1}}-\widehat{B}=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\widehat{B}-\frac{1}{2}\widehat{C})-\widehat{B}=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\widehat{B}-\widehat{C})=90^{\circ}-\frac{1}{2}.40^{\circ}=70^{\circ}\]
2.2. Chứng minh các tính chất trong tam giác
Khi nhắc đến tổng các góc trong một tam giác, đây cũng là một dạng bài quen thuộc. Đối với dạng bài này, bạn cần phải vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học trong chuyên đề hình học này để lập luận chặt chẽ và chuẩn xác. Bên cạnh đó, bạn cũng nên kết hợp thêm một vài định lý khác như:
- Quan hệ giữa các đường thẳng nằm song song và góc so le trong;
- Tính chất vuông góc và góc bù;
- Đặc điểm của tia phân giác trong một hình tam giác.
Khi giải, bạn hãy chú ý đến việc xác định rõ điều cần chứng minh cũng như tìm mối liên hệ giữa những yếu tố có trong đề bài với các định lý đã học để xây dựng lập luận hợp lý.
Ví dụ 1: Cho \[\triangle ABC\] có \[\widehat{B}\], \[\widehat{B}<90^{\circ}\]. Kẻ đường \[\textit{BD}\] vuông góc với \[\textit{AC}\] (với \[D\in AC\]). Kẻ \[\textit{CE}\] nằm vuông góc với \[\textit{AB}\] (với \[E\in AB\]). Gọi \[\textit{H}\] là giao điểm của đoạn \[\textit{BD}\] và \[\textit{CE}\]. Chứng minh rằng: \[\widehat{A}+\widehat{DHE}=180^{\circ}\]
Lời giải:
Trong hình \[\triangle AEH\] vuông ngay tại \[\textit{E}\], ta có: \[\widehat{A_{1}}+\widehat{H_{1}}=90^{\circ}\] (hai góc phụ nhau) (1)
Trong hình \[\triangle ADH\] vuông ngay tại \[\textit{D}\], ta có: \[\widehat{A_{2}}+\widehat{H_{2}}=90^{\circ}\] (hai góc phụ nhau) (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế, ta sẽ có:
\[\widehat{A_{1}}+\widehat{A_{2}}+\widehat{H_{1}}+\widehat{H_{2}}=90^{\circ}+90^{\circ}\]
Suy ra: \[\widehat{A}+\widehat{DHE}=180^{\circ}\]
Ví dụ 2: Cho góc \[\widehat{xOy}\], có điểm \[\textit{A}\] thuộc tia \[\textit{Ox}\]. Kẻ \[\textit{AB}\] nằm vuông góc với \[\textit{Ox}\] (với \[B\in Oy\]), kẻ \[\textit{BC}\] vuông góc với \[\textit{Oy}\] (với \[C\in Ox\]), kẻ \[\textit{CD}\] vuông góc với \[\textit{Ox}\] (với \[D\in Oy\]). Chứng minh: \[\widehat{ABO}=\widehat{ACB}\] và \[\widehat{ABO}=\widehat{CDO}\]
Lời giải:
Ta có: \[\widehat{ABO}=\widehat{ACB}\] (cùng phụ với \[\widehat{ABC}\])
Ta có: \[\left\{\begin{matrix}BA\perp Ox\\DC\perp Ox\end{matrix}\right.(gt)\]
Suy ra: \[AB\parallel CD\Rightarrow\widehat{ABO}=\widehat{CDO}\] (đồng vị)
3. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho \[\triangle MNP\] có \[N>P\]. vẽ đường phân giác \[\textit{MK}\].
- a) Chứng minh: \[\widehat{MKP}-\widehat{MKN}=\widehat{N}-\widehat{P}\]
- b) Đường thẳng có chứa tia phân giác góc ngoài tại điểm \[\textit{M}\] của \[\triangle MNP\], cắt đường thẳng \[\textit{NP}\] tại điểm \[\textit{E}\]. Chứng minh rằng: \[\widehat{MEP}=\frac{\widehat{N}-\widehat{P}}{2}\]
Lời giải:
- a) Dùng đến tính chất góc ngoài, ta được:
\[\widehat{MKN}=\widehat{P}+\frac{\widehat{M}}{2}.\widehat{MKP}=\widehat{N}+\frac{\widehat{M}}{2}\]
\[\Rightarrow\widehat{MKP}-\widehat{MKN}=\widehat{N}-\widehat{P}\]
- b) Ta có:
\[\widehat{MEP}=\widehat{MEx}-\widehat{MPE}=\frac{\widehat{NMx}}{2}-\widehat{P}\]
Mà \[\widehat{NMx}=\widehat{N}+\widehat{P}\]. Từ đó suy ra: \[\widehat{MEP}=\frac{\widehat{N}-\widehat{P}}{2}\]
Bài tập 2: Tìm x trong hình sau:
Lời giải:
Cách 1:
Ta có: \[x+90^{\circ}+55^{\circ}=180^{\circ}\] (Định lý về tổng ba góc của một hình tam giác)
\[\Rightarrow x=180^{\circ}-90^{\circ}-55^{\circ}\Rightarrow x=35^{\circ}\]
Cách 2:
Ta có: \[x+55^{\circ}=90^{\circ}\] (hai góc nhọn phụ nhau trong hình tam giác vuông)
\[\Rightarrow x=90^{\circ}-55^{\circ}\Rightarrow x=35^{\circ}\]
Tổng các góc trong một tam giác là kiến thức quan trọng ở chương trình toán lớp 7. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã có thể ghi nhớ toàn bộ lý thuyết trọng điểm của chuyên đề này và phương pháp giải quyết các dạng bài thường gặp rồi nhé!