Tổng các góc trong một tam giác

Trong toán học, tam giác là một hình học cơ bản được tạo thành bởi ba đoạn thẳng nối với nhau tại ba đỉnh. Một trong những tính chất cơ bản của tam giác là tổng các góc bên trong của tam giác luôn bằng 180 độ. Đây là một tính chất quan trọng của tam giác, được áp dụng rộng rãi trong giải toán hình học và tính toán đa dạng trong thực tế.

1. Định lí tổng ba góc của một tam giác

Hoạt động 1: Vẽ tam giác ABC bất kì, đo ba góc của tam giác đó.

• Tổng số đo ba góc của tam giác ABC bằng bao nhiêu?
• So sánh kết quả của em với các bạn và rút ra nhận xét.

Kết quả:

• Tổng số đo ba góc của tam giác ABC bằng 180°.
• So sánh kết quả với các bạn khác, rút ra nhận xét: Tổng ba góc của một tam giác bất kì bằng 180°.

Hoạt động 2: Cắt một hình tam giác bằng giấy bất kì (H.4.2a). Đánh dấu ba góc là x, y, z. Cắt hai góc y, z và ghép lên góc x như Hình 4.2b. Từ đó, em hãy dự đoán tổng số đo các góc x, y, z của tam giác ban đầu.

Kết quả: Tổng số đo các góc x,y,z của tam giác ban đầu ở hình a bằng số đo của góc bẹt ở hình b và bằng 180 độ.

Từ hai hoạt động ta suy ra:

Định lí: Trong một tam giác, tổng số đo ba góc bằng 180°

Ví dụ:

Tam giác MNP có \(\widehat M\;+\;\widehat N\;+\;\widehat P\;=\;180^\circ\)

2. Áp dụng vào tam giác vuông

Trong một tam giác vuông (tam giác có một góc 90°), hai góc nhọn phụ nhau (tức tổng hai góc này bằng 90°).

Ví dụ:

Xét tam giác ABC có \(\widehat A\;=\;90^\circ\)

\(\Rightarrow\widehat B\;+\;\widehat C\;=\;90^\circ\)

3. Góc ngoài của tam giác

Định nghĩa: Góc ngoài tam giác là góc kề bù với bất kì một góc nào trong tam giác. Tính chất: – Mỗi góc ngoài tam giác có số đo bằng tổng hai góc trong không kề với nó. – Góc ngoài của tam giác có số đo lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

Ví dụ:

Xét tam giác ABC
Ta có: \(\left\{\begin{array}{l}\widehat{ACD}\;=\;\widehat A\;+\;\widehat B\\\widehat{ACD}\;>\;\widehat A,\;\widehat{ACD}\;>\;\widehat B\end{array}\right.\)

4. Bài tập vận dụng

Bài 1. Tính số đo góc x, y, z trong hình sau:

Lời giải

a)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác cho tam giác trên hình vẽ ta có:

x + 120° + 35° = 180° suy ra x = 180° – 120° – 35° = 25°.

Vậy x = 25°.

b)

Áp dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác cho tam giác trên hình vẽ ta có:

y + 60° + 70° = 180° suy ra y = 180° – 60° – 70° = 50°.

Vậy y = 50°.

c)

Tam giác trong hình vẽ là tam giác có một góc có số đo bằng 90° nên là tam giác vuông, do đó hai góc nhọn phụ nhau.

Suy ra z + 55° = 90°

z = 90° – 55°

z = 35°.

Vậy z = 35°.

Bài 2. Cho tam giác ABC có \(\widehat B\;=\;\widehat C\;=\;50^\circ\). Gọi Am là tia phân giác góc ngoài tại điểm A. Hãy chứng minh rằng Am // BC

Lời giải

Gọi \(\widehat{CAD}\) là góc ngoài của tam giác ABC tại điểm A

Ta suy ra \(\widehat{CAD}\;=\;\widehat B\;+\;\widehat C\;=50^\circ\;+\;50^\circ=100^\circ\)

Am là tia phân giác của góc CAD nên:

\(\widehat{DAm}=\widehat{mAC}=\frac12\widehat{CAD}=\frac12.100^\circ=50^\circ\)

Am và BC tạo với AC hai góc so le trong bằng nhau

\(\widehat{mAC}=\widehat C=50^\circ\)

Vậy Am // BC