Liên hệ giữa cung và dây

Cung và dây là hai khái niệm liên quan đến đường tròn trong hình học. Trong toán học, việc hiểu rõ liên hệ giữa chúng là rất cần thiết và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm cung và dây trên đường tròn, cũng như cách tính toán và giải các bài tập liên quan đến chúng.

1. Lý thuyết liên hệ giữa cung và dây

Định lí 1

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau ta có:

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

Ví dụ 1:

Ta có:
a) \(\overset\frown{AB}\;=\;\overset\frown{CD}\;=>AB\;=\;CD\)

b)  \(AB\;=\;CD\;=>\overset\frown{AB}\;=\;\overset\frown{CD}\)

Định lí 2

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

Ví dụ 2:

Ta có:
a) \(\overset\frown{AB}\;>\;\overset\frown{CD}\Rightarrow AB\;>\;CD\)

b) \(AB\;>\;CD\;=>\overset\frown{AB}\;>\;\overset\frown{CD}\)

Lưu ý:

- Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không đi qua tâm) thì đi qua điểm chính giữa của cung căng bởi dây ấy.
- Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy vừa ngược lại.

2. Bài tập

Bài 1. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Kẻ các đường kính AOC, AO'D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O').

a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau \(\overset\frown{BE}\;=\;\overset\frown{BD}\)

Lời giải
a) B ∈ đường tròn đường kính AC
⇒ BO = OA = OC
⇒ BO = AC/2
Mà BO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC
=>\(\widehat{ABC}\;=\;90^\circ\)
Chứng minh tương tự
=>\(\widehat{ABD}\;=\;90^\circ\)
=> \(\widehat{CBD}\;=\;\widehat{ABC}\;+\;\widehat{ABD}\;=\;180^\circ\)
=> B, C, D thẳng hàng

Đường tròn tâm O và O' bằng nhau => AC = AD
\(\triangle ABC\;\)và \(\triangle ABD\;\) có
\(\widehat{ABC}\;=\;\widehat{ABD}\;=\;90^\circ\), AB chung, AC = AD
=>\(\triangle ABC\;\) = \(\triangle ABD\;\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> BC = BD
=> \(\overset\frown{BC}\;=\;\overset\frown{BD}\)

b) E thuộc đường tròn đường kính AD => \(\widehat{AED}\;=\;90^\circ\)
=> \(\triangle ABC\;\) vuông tại E
Có EB là đường trung tuyến
=> EB = BD (=CD/2)
=>\(\overset\frown{BE}\;=\;\overset\frown{BD}\) hay B là điểm chính giữa cung \(\overset\frown{ED}\)

Bài 2. Cho tam giác ABC . Trên tia đối của tia AB lấy một điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vuông góc OH, OK với BC và BD (H ∈ BC, K ∈ BD)

a) Chứng minh rằng OH > OK.
b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

Lời giải

a) Xét ΔABC có: BC < AB + AC (Bất đẳng thức tam giác)
Mà AD = AC (gt)
⇒ BC < AB + AD = BD
Mà OH = khoảng cách từ O đến dây BC
OK = khoảng cách từ O đến dây BD
⇒ OH > OK.
b) Vì BD > BC
=>\(\overset\frown{BD}>\overset\frown{BC}\)

Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B vẽ hai dây AC và BD sao cho AC và BD song song với nhau. So sánh số đo hai cung nhỏ \(\overset\frown{AC}\) và \(\overset\frown{BD}\)

Lời giải

Gọi F là trung điểm của AC; G là trung điểm của BD
\(\left\{\begin{array}{l}OF\perp AC\\OG\perp BD\end{array}\right.\)
Mà AC // BD nên O, F, G thẳng hàng
Xét \(\triangle OAF\) và \(\triangle BOG\)
OA = OB  (bán kính)
\(\widehat{OAF}\;=\;\widehat{BOG}\) (hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{OFA}\;=\;\widehat{OGB}\;=\;90^\circ\)
Do đó \(\triangle OAF\;=\;\triangle BOG\) (cạnh huyền - góc nhọn)
=> AF = BG mà F là trung điểm của AC, G là trung điểm của BD
=> AC = BD
Ta có:
AC là dây căng cung \(\overset\frown{AC}\) nhỏ
BD là dây căng cung \(\overset\frown{BD}\) nhỏ
Do đó: sđ \(\overset\frown{AC}\) nhỏ = sđ \(\overset\frown{BD}\) nhỏ (định lý hai day bằng nhau căng hai cung bằng nhau).