Trong môn hình học, đặc biệt là đường tròn, mối liên hệ giữa cung và dây giữ vai trò quan trọng trong việc giải quyết những bài toán suy luận và chứng minh. Theo đó, nếu bạn hiểu rõ cách cung và dây tương tác với nhau, bạn có thể nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt trong nhiều tình huống hình học phức tạp đấy. Hãy theo dõi bài viết để khám phá chủ đề này nhé!
1. Kiến thức cần nhớ về mối liên hệ giữa cung và dây
Để giải quyết tốt tất cả bài toán liên quan đến cung và dây trong toán hình học, bạn cần nắm vững các định lý cơ bản. Dưới đây là toàn bộ định lí cũng như tính chất thường gặp, giúp các em học sinh dễ dàng nhận diện mối quan hệ giữa các yếu tố trong một đường tròn.
1.1. Quan hệ giữa cung và dây khi có độ dài bằng nhau
Khi cần làm việc với hai cung nhỏ nằm trong cùng một đường tròn nào đó hoặc trong hai đường tròn có chung bán kính, bạn có thể áp dụng ngay định lí sau:
- Nếu hai cung sở hữu độ dài giống nhau, thì các dây cung tương ứng cũng sẽ bằng nhau về độ dài.
- Ngược lại, nếu hai dây đó bằng nhau, chúng sẽ căng ra hai cung có độ dài giống nhau.
1.2. Mối liên hệ giữa cung lớn – dây lớn
Trong trường hợp như trên (các cung nằm trong cùng một đường tròn hay trong hai đường tròn chung bán kính), giữa độ dài cung và dây sẽ có mối quan hệ chặt chẽ như sau:
- Cung có độ dài lớn hơn sẽ căng ra một dây sở hữu độ dài lớn hơn.
- Ngược lại, nếu có một dây dài hơn dây còn lại, thì cung do nó căng ra chắc chắn sẽ lớn hơn.
1.3. Một số tính chất bổ trợ quan trọng liên hệ giữa cung và dây
Bên cạnh hai định lý chính mà chúng tôi đã đề cập ở trên, vẫn còn tồn tại một số tính chất hình học đặc biệt quan trọng khác. Những tính chất này là công cụ giúp việc giải quyết các bài toán liên quan đến chủ đề này của các em học sinh sẽ trở nên trực quan và hiệu quả hơn. Cụ thể là:
- Nếu trong có một đường tròn nào đó xuất hiện hai dây nằm song song, thì hai cung nằm ở giữa hai dây đó sẽ có độ dài như nhau.
- Khi đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung, thì nó cũng sẽ đi qua trung điểm của dây căng cung đó.
- Ngược lại, nếu đường kính đường tròn đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm, thì nó sẽ cắt cung căng bởi dây ấy ngay tại điểm chính giữa cung.
- Đặc biệt, đường kính đi qua điểm ở giữa cung sẽ vuông góc cùng với dây căng cung đó, tất nhiên, điều này cũng đúng theo chiều ngược lại.
1.4. Ví dụ minh họa
Để giúp bạn hình dung cách vận dụng kiến thức về liên hệ giữa cung và dây vào việc chứng minh điều gì đó trong một đường tròn cụ thể, chúng ta hãy xem qua 2 ví dụ sau:
Ví dụ 1: Trên dây cung \[\textit{AB}\] của đường tròn \[\textit{(O)}\], ta lấy hai điểm \[\textit{C}\] và \[\textit{D}\] chia dây này thành ba đoạn bằng nhau, cụ thể là \[AB=CD=DB\]. Các bán kính đi qua \[\textit{C}\] và \[\textit{D}\] cắt cung nhỏ \[\textit{AB}\] lần lượt tại điểm \[\textit{E}\] và \[\textit{F}\]. Hãy chứng minh:
- a) \[\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{FB}\]
- b) \[\overset{\frown}{AE}<\overset{\frown}{EF}\]
Lời giải:
- a) Ta có: \[\triangle AOC=\triangle BOD\] (c.g.c)
\[\Rightarrow\widehat{AOE}=\widehat{BOF}\Rightarrow\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}\]
- b) Ta có: \[OC=OD\Rightarrow\triangle OCD\] cân ngay tại \[\textit{O}\]
\[\Rightarrow\widehat{OCD}<90^{\circ}\Rightarrow\widehat{ECD}>90^{\circ}\]
Xét \[\triangle CDE\] ta có:
\[\widehat{ECD}>\widehat{CED}\Rightarrow ED>CD\Rightarrow ED>AC \]
Xét đến \[\triangle AOC\] và \[\triangle EOD\], ta có:
OA = OE
OC = OD
AC < ED
\[\Rightarrow\widehat{AOC}<\widehat{EOD}\Rightarrow\overset{\frown}{AE}<\overset{\frown}{EF}\]
Ví dụ 2: Cho một đường tròn \[\textit{(O,R)}\] và dây \[\textit{AB}\]. Gọi \[\textit{M}\] và \[\textit{N}\] lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ \[\textit{AB}\], cung lớn \[\textit{AB}\] và \[\textit{P}\] chính là trung điểm của \[\overset{\frown}{AB}\].
- a) Chứng minh bốn điểm \[\textit{M}\], \[\textit{N}\], \[\textit{O}\] và \[\textit{P}\] nằm thẳng hàng.
- b) Xác định đúng số đo của cung nhỏ \[\textit{AB}\] để cho hình tứ giác AMBO là một hình thoi.
Lời giải:
- a) Ta có:
\[\overset{\frown}{MA}=\overset{\frown}{MB}\Rightarrow MA=MB\]
\[\overset{\frown}{NA}=\overset{\frown}{NB}\Rightarrow NA=NB\]
Mặt khác:
\[PA=PB;OA=OB\]
Nên 4 điểm \[\textit{M}\], \[\textit{N}\], \[\textit{O}\] và \[\textit{P}\] nằm thẳng hàng (vì chúng cùng nằm trên đường trung trực của đoạn \[\textit{AB}\]).
- b) \[\lozenge AMBO\] là hình thoi
\[\Leftrightarrow OA=AM=MB=BO\Leftrightarrow\triangle AOM\] đều.
Khi đó:
\[\widehat{AOM}=60^{\circ}\Rightarrow\widehat{AOB}=120^{\circ}\Leftrightarrow\widehat{AMB}=120^{\circ}\]
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho đường tròn \[\textit{(O)}\] đường kính \[\textit{AB}\]. Chúng ta sẽ 2 dây \[\textit{AM}\] và \[\textit{BN}\] nằm song song với nhau sao cho số đo cung nhỏ \[\overset{\frown}{BM}<90^{\circ}\]. Vẽ thêm dây \[\textit{MD}\] nằm song song với \[\textit{AB}\]. Trong khi đó, dây \[\textit{DN}\] cắt \[\textit{AB}\] ngay tại điểm \[\textit{E}\]. Hãy chứng minh:
- a) \[\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{AD}\]
- b) \[DN\perp AB\]
- c) DE = EN
Lời giải:
- a) Ta có:
\[MD\parallel AB\Rightarrow\overset{\frown}{MB}=\overset{\frown}{AD}\]
- b) Ta có:
\[AM\parallel BN\Rightarrow\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{AN}\]
\[\Rightarrow\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{AN}\Rightarrow AD=AN\]
\[\Rightarrow AO\] là đường trung trực của đoạn \[\textit{DN}\] \[\Rightarrow AO\perp DN\]
c)
Vì \[DN\perp AB=\left\{E\right\}\Rightarrow DE=DN\]
Bài tập 2: Cho một đường tròn tâm \[\textit{(O)}\], có các điểm \[\textit{A}\], \[\textit{(B}\], \[\textit{C}\], \[\textit{(D}\] lần lượt nằm trên đường tròn đó, sao cho:
\[\widehat{AOC}=110^{\circ}\]
\[\widehat{BOD}=140^{\circ}\]
Hỏi giữa đoạn \[\textit{AB}\] và \[\textit{CD}\], đoạn nào dài hơn?
Lời giải:
Ta có:
\[\overset{\frown}{AC}=\widehat{AOC}=110^{\circ}\]
\[\overset{\frown}{BD}=\widehat{BOD}=140^{\circ}\]
\[\overset{\frown}{BD}>\overset{\frown}{AC}\Rightarrow CD>AB\]
Tóm lại, việc hiểu rõ liên hệ giữa cung và dây không chỉ giúp bạn giải quyết hiệu quả các bài toán hình học mà còn rèn luyện khả năng tư duy logic và phân tích. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đã có thể vận dụng kiến thức này để giải bài về đường tròn nhé!