Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn là hai khái niệm quan trọng trong hình học đường tròn. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của hai loại góc này là rất cần thiết trong toán học và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn và góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, cũng như tính chất và cách tính toán của chúng trong hình học đường tròn.

1. Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung và giao điểm này nằm bên trong đường tròn.

Hai cung nằm ở bên trong góc gọi là hai cung bị chắn.

Góc \(\widehat{BIC}\) là góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn chắn hai cung là \(\overset\frown{AmD},\;\overset\frown{BnC}\)

Định lí: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ

 Trong hình 1: \(\widehat{BIC}\;=\;\frac{sđ\;\overset\frown{AmD}\;+\;sđ\;\overset\frown{BnC}}2\)

Chứng minh định lí

Ta có \(\widehat{BEC}\) là góc ngoài của tam giác BDE ⇒ \(\widehat{BEC}\) = \(\widehat{BDC}\) + \(\widehat{DBA}\)
Mặt khác, theo tính chất của góc nội tiếp ta có \(\left\{\begin{array}{l}\widehat{BDC}=\frac12sđ\;\overset\frown{BnC}\\\widehat{DBA}=\;\frac12sđ\;\overset\frown{AmD}\end{array}\right.\)
⇒ \(\widehat{BEC}=\frac{sđ\;\overset\frown{BnC}\;+\;sđ\overset\frown{AmD}}2\) (đpcm)

2. Góc ở đỉnh ở bên ngoài đường tròn

Góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn là góc có đỉnh là giao điểm của hai dây cung (Hoặc tiếp tuyến) và giao điểm này nằm ở bên ngoài đường tròn.

Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc

\(\widehat{BEC}\) là góc có đỉnh nằm ở bên ngoài đường tròn chắn hai cung là \(\overset\frown{AC}\), \(\overset\frown{BD}\)

Định lí: Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn.

Ví dụ

Trong hình 2:  \(\widehat{BID}\;=\;\frac{sđ\;\overset\frown{BD}\;-\;sđ\;\overset\frown{AC}}2\)

Chứng minh định lí

Do \(\widehat{BAC}\) là góc ngoài của tam giác EAC
\(\Rightarrow\widehat{BAC}\;=\;\widehat{BEC}\;+\;\widehat{ECA}\\\Rightarrow\widehat{BEC}\;=\;\widehat{BAC}\;-\;\widehat{ECA}\;=\;\frac12sđ\overset\frown{BC}\;-\;\frac12sđ\overset\frown{AD}\\\Rightarrow\widehat{BEC}\;=\;\frac{sđ\;\overset\frown{BC}\;-\;sđ\;\overset\frown{AD}}2\)

3. Bài tập

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm D di chuyển trên cung AC, E là giao điểm của AC với BD, F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: \(\widehat{AFB}\;=\;\widehat{ABD}\)

Lời giải

Do tam giác ABC cân tại A
Nên AB = AC suy ra sđ cung AB bằng số đo cung AC
Ta có:
\(\widehat{AFB}=\frac12(sđ\;\overset\frown{AB}\;-\;sđ\;\overset\frown{CD})\;=\;\frac12(sđ\;\overset\frown{AC}\;-\;sđ\overset\frown{CD})\;=\;\frac12sđ\overset\frown{AD}\)
Mặt khác \(\widehat{ABD}\;=\;\frac12sđ\;\overset\frown{AD}\), do đó \(\widehat{AFB}\;=\;\widehat{ABD}\)

Bài 2. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Trên cung nhỏ AC lấy một điểm M. Gọi S là giao điểm của AM và BC. Chứng minh \(\widehat{ASC}\;=\;\widehat{MCA}\)

Lời giải

Ta có: \(\widehat{ASC}\) là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn (O)⇒\(\widehat{ASC}=\frac12\) (sđ cung AB - sđ cung MC)
Theo giả thiết: dây cung AB = dây cung AC => sđ cung AB = sđ cung AC
=> sđ cung AB - sđ cung MC = sđ cung AC - sđ cung MC = sđ cung AM (1)
Mặt khác: \(\widehat{MCA}\) là góc nội tiếp chắn cung AM của (O) => \(\widehat{ASC}=\frac12\) sđ cung AM (2)
Từ (1) (2) => \(\widehat{ASC}\;=\;\widehat{ASB}\;(\;=\;\frac12\;sđ\;cung\;AM\;)\) (đpcm)

Bài 3. Cho một nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và C là điểm nằm trên cung nhỏ AB (cung CB nhỏ hơn cung CA). Tiếp tuyến tại điểm C của nửa đường tròn cắt đường thẳng AB tại điểm D . Biết tam giác ADC cân tại C. Tính góc ADC.

Lời giải
Xét nửa đường tròn ta có:
\(\widehat{BAC}\) = 1/2 sđ cung BC
\(\widehat{CAD}\) = 1/2 (sđ cung AC – sđ cung BC)
Tam giác ADC cân tại C nên \(\widehat{DAC}\) = \(\widehat{CDA}\) ⇔ Sđ cung BC = Sđ cung AC – sđ cung BC
Từ đó suy ra: Sđ cung BC = Sđ cung AC
Mà Sđ cung AC + Sđ cung BC = 180° => Sđ cung AC = 120°; sđ cung BC = 60°
=> \(\widehat{ADC}\) = 30°