Lý thuyết và bài tập góc ở tâm, số đo cung

Góc ở tâm và số đo cung là hai khái niệm quan trọng trong hình học đường tròn. Trong toán học, việc hiểu và ứng dụng chúng là rất cần thiết. Bài viết này sẽ giới thiệu về lý thuyết góc ở tâm và số đo cung, cũng như cách tính toán và giải các bài tập liên quan đến chúng.

1. Góc ở tâm

Góc ở tâm là góc mà đỉnh là tâm của đường tròn.

Góc ở tâm thường sẽ nhỏ hơn 180° nên cung đó được gọi là cung nhỏ. Mỗi cung có góc lớn hơn 180° được gọi là cung lớn.

Cung AB được kí hiệu là \(\overset\frown{AB}\)
Cung \(\overset\frown{AmB}\) là cung nhỏ, \(\overset\frown{AnB}\) là cung lớn
Với số đo góc tâm bằng 180° thì mỗi cung là một nửa đường tròn
Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn
Cung \(\overset\frown{AmB}\) là cung bị chắn bởi \(\widehat{AOB}\) hay góc \(\widehat{AOB}\) chắn cung nhỏ \(\overset\frown{AmB}\)

2. Số đo cung

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Ví dụ: Góc AOB = số đo cung AB (góc ở tâm chắn cung AB)

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo của cung nhỏ (có chung 2 mút với cung lớn)
- Số đo của nửa đường tròn bằng 180°. Cả đường tròn có số đo 360°. Cung không có số đo 0° (cung có hai mút trùng nhau)

Ví dụ: Cho góc ở tâm \(\alpha=100^\circ\) là góc ở tâm O như hình vẽ. Tính số đo cung lớn

Ta có: sđ \(\overset\frown{AmB}\) = \(\alpha\) = 100°
Khi đó số đo cung lớn là:
sđ \(\overset\frown{AB}\) = 360° - sđ \(\overset\frown{AmB}\)
= 360° - 100° = 260°

3. So sánh hai cung

Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

Hai cung có cùng số đo sẽ có góc ở tâm bằng nhau. Số đo cung lớn thì góc ở tâm lớn hơn.
Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

4. Định lý

Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì
sđ \(\overset\frown{AB}\) = sđ \(\overset\frown{AC}\) + sđ \(\overset\frown{CB}\)

5. Bài tập vận dụng

Bài 1. Cho (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB biết \(\widehat{AMB}\) = 35°

a. Tính số đo góc ở tâm tạo bởi hai bán kính OA, OB
b. Tính số đo mỗi cung AB

Lời giải

a. MA, MB là hai tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat{OAM}\) = 90° mà ta lại có
\(\widehat{AMB}\) = 35° ⇒\(\widehat{AOB}\) = 145°

b. Vì \(\widehat{AOB}\) = 145° => sđ \(\overset\frown{AmB}\) = 145°, =>sđ \(\overset\frown{AnB}\) = 360° - 145° = 215°

Bài 2. Cho tam giác đều ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn tâm O
a)Tính các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC
b)Tính số đo các cung tạo bởi hai trong ba điểm A, B, C

Lời giải

a. Tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat{BAC}\) = 60° =>\(\widehat{AOB}\) = 120°
Tương tự ta có \(\widehat{AOC}\) = 120°, \(\widehat{COB}\) = 120°
b. Vì \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{AOB}\) = \(\widehat{AOC}\) = 120° nên sđ \(\overset\frown{AB}\) = sđ \(\overset\frown{BC}\) = sđ \(\overset\frown{AC}\) = 240°

Bài 3. Cho đường tròn (O,R). Vẽ dây AB = \(R\sqrt2\). Tính số đo của hai cung AB

Lời giải
Tam giác AOB có: AB² = OA² + OB² vì (\(R\sqrt2\))² = R² + R²
Nên tam giác AOB vuông tại O (định lí pitago đảo)
=>\(\widehat{AOB}\) = 90° => sđ \(\overset\frown{AmB}\) = 90° => sđ \(\overset\frown{AnB}\) = 360° - 90° = 270°