Góc nội tiếp

Trong hình học đường tròn, góc nội tiếp là một khái niệm quan trọng liên quan đến các đường tròn và cung trên đường tròn đó. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của góc nội tiếp là rất cần thiết trong toán học và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm góc nội tiếp, cũng như tính chất và cách tính toán góc nội tiếp trong đường tròn.

1. Góc nội tiếp là gì?

Trong hình học, góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa 2 dây cung của đường tròn đó
Còn cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ:

Hình 1 và hình 2 là góc nội tiếp. Trong đó:

• Góc BAC là góc nội tiếp chắn cung BC
• BC là cung bị chắn

Các góc dưới đây không phải là góc nội tiếp

2. Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn tương ứng.

Ví dụ

Trong đường tròn (O) có góc BAC là góc nội tiếp chắn cung BC.
Ta có có thể viết:
\(\widehat{BAC}\;=\;\frac12\overset\frown{BC}\)

3. Hệ quả

Trong một đường tròn:

• Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
• Các góc nội tiếp chắn cùng một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
• Góc nội tiếp nhọn (nhỏ hơn hoặc bằng 90°) có số đo bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là có số đo bằng 90°, nói cách khác, góc đó là góc vuông.

Ví dụ 1: Tính số đo của góc ADC biết số đo của góc ABC bằng 30°

Góc ABC có đỉnh B nằm trên đường tròn O và hai cạnh BA, BC lần lượt chứa hai dây cung của đường tròn
Suy ra góc ABC là góc nội tiếp (1)
Góc ADC có đỉnh D nằm trên đường tròn O và hai cạnh DA, DC lần lượt chứa hai dây cung của đường tròn
Suy ra góc ADC là góc nội tiếp (2)
Góc ABC và ADC cùng chắn cung AC (3)
Từ (1), (2) và (3) => số đo góc ADC bằng 30° Hệ quả [2]

Ví dụ 2:

Trong đường tròn (O) có góc BAC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O).
Do đó, góc BAC = 90°

4. Bài tập minh hoạ

Bài 1. Cho đường tròn (O; R) đường kính BC cố định. Điểm A di động trên đường tròn khác B và C. Vẽ đường kính AOD. Xác định vị trí điểm A để diện tích ΔABC đạt giá trị lớn nhất, khi đó góc ADC bằng bao nhiêu?

Lời giải
Vẽ đường cao AH của ΔABC
 ΔAHO vuông tại H nên \(AH\leq AO\)
(Dấu bằng xảy ra khi \(H\equiv O\))
\(S_{ABC}=\frac12AH.BC\leq AO.BC\;=\;\frac12R.2R=R^2\)
(Dấu bằng xảy ra khi \(H\equiv O\))
Vậy diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất khi \(H\equiv O\)
Khi đó A là điểm chính giữa \(\overset\frown{BC}\)
Suy ra \(\widehat{ADC}\;=\;45^\circ\)

Bài 2. Cho hình sau, chứng minh rằng AB ⊥ SH.

Lời giải

Xét đường tròn (O, R) có:
\(\widehat{ANB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ \(\widehat{ANB}\) = 90° ⇒ AN ⊥ NB
\(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ⇒ \(\widehat{AMB}\) = 90° ⇒ AM ⊥ MB
Xét △SHB có: SM ⊥ HB, NH ⊥ SB và SM ∩ HN = {A}
⇒ A là trực tâm của △SHB.
⇒ AB ⊥ SH. (đpcm)

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Biết góc BAC bằng 45 độ. Tính số đo góc CBA.

Lời giải

Ta có:\(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}=\frac12\overset\frown{CB}\)
\(\Rightarrow\widehat{CDB}=45^\circ\)
Lại có \(\Rightarrow\widehat{DCB}=90^\circ\)
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\widehat{CBD}=180^\circ-\widehat{CDB}-\widehat{DCB}\\=180^\circ-45^\circ-90^\circ=45^\circ\\\Rightarrow\widehat{CBD}=45^\circ\)

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn với góc BAC bằng 60 độ. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Tính số đo góc ODE.

Lời giải

Ta có \(\widehat{BDC}=90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó △ADC vuông tại D.
Suy ra:
\(\widehat{ACD}=90^\circ-\widehat{CAD}=90^\circ-60^\circ=30^\circ\)
Do đó \(\widehat{EOD}=2\widehat{ECD}=60^\circ(=ED)\)
△EOD cân tại O có \(\widehat{EOD}=60^\circ\)
Nên △EOD đều
Vậy \(\widehat{ODE}=60^\circ\)