Khi tiếp cận với các dạng bài hình học liên quan đến đường tròn, có một khái niệm tưởng chừng như đơn giải lại “mở khóa” nhiều hướng giải bài độc đáo là: góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Đây không chỉ là kiến thức căn bản, mà còn giúp bạn khám phá được nhiều mối quan hệ hình học thú vị. Hãy làm rõ chuyên đề này qua nội dung bài viết sau nhé!
1. Các kiến thức cần nhớ
1.1. Khái niệm về góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Giả sử có một đường tròn tâm \[\textsl{O}\]. Tại một điểm A nằm ngay trên đường tròn, ta kẻ một tia tiếp tuyến \[\textsl{Ax}\] và một dây cung \[\textsl{AB}\]. Khi đó, góc tạo bởi tiếp tuyến \[\textsl{Ax}\] và đoạn \[\textsl{AB}\] (ký hiệu \[\widehat{BAx}\]) được gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Theo đó, đặc điểm của góc này là:
- Đỉnh của góc nằm ngay trên đường tròn.
- Một cạnh của góc này chính là tiếp tuyến tại đỉnh.
- Cạnh còn lại sẽ đi qua một điểm nào đó cũng nằm trên đường tròn (hay nằm trên dây cung).
Ngoài ra, ở hình trên, \[\overset{\frown}{AnB}\] là cung bị chắn
1.2. Định lý chính
Số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung sẽ bằng đúng một nửa số đo của cung bị chắn
Điều này nghĩa là:
Số đo \[\widehat{BAx}=\frac{1}{2}\] số đo cung \[\overset{\frown}{AB}\]
Ví dụ: Nếu cung \[\overset{\frown}{AB}\] có số đo là \[80^{\circ}\], thì:
\[\widehat{BAx}=\frac{1}{2}\times 80^{\circ}=40^{\circ}\]
1.3. Hệ quả quan trọng của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
Trong cùng một đường tròn, nếu có hai góc cùng chắn một cung, cụ thể là: một góc được tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, một góc nội tiếp, thì hai góc đó chắc chắn bằng nhau.
Hay nói cách khác:
\[\widehat{BAx}=\widehat{ACB}\] (cùng chắn cung \[\overset{\frown}{AB}\])
1.4. Định lý đảo (bổ đề)
Ngược lại, nếu điểm \[\textsl{A}\] nằm ngay trên đường tròn, ta sẽ có một góc \[\widehat{BAx}\], sao cho:
\[\widehat{BAx}=\frac{1}{2}sd\overset{\frown}{AB}\]
và cung \[\overset{\frown}{AB}\] nằm phía bên trong góc đó, thì khi đó ta nói \[\textsl{Ax}\] là một tia tiếp tuyến của đường tròn ngay tại \[\textsl{A}\].
2. Một vài dạng bài thường gặp của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
2.1. Chứng minh hai góc bằng nhau
Ở dạng bài này, bạn cần vận dụng những định lý hình học có liên quan đến đường tròn và hình tam giác để chỉ ra hai góc nằm trong hình bằng nhau. Thông thường, những góc này sẽ xuất hiện giữa hai tam giác, trong cùng một hình hoặc dính líu đến tia tiếp tuyến.
Để giải quyết hiệu quả dạng bài này, bạn cần nắm vững rõ một vài kiến thức cần thiết sau:
- Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:
- Nếu có một góc được tạo thành bởi một tia tiếp tuyến và một đoạn thẳng nằm ngay trên đường tròn, thì độ lớn của góc đó sẽ tương ứng với 1/2 số đo cung bị chắn bởi hai cạnh.
- Trong trường hợp tồn tại một góc khác nằm phía bên trong đường tròn và cũng chắn đúng cung ấy, hai góc này sẽ mang cùng độ lớn. Đây cũng là nguyên tắc thường được vận dụng để nhận biết nhanh tiếp tuyến hoặc chứng minh 2 góc bằng nhau trong chuyên đề hình học đường tròn.
- Hai góc ở đáy của tam giác cân:
- Khi một tam giác sở hữu hai cạnh bằng nhau, thì hai góc nằm ở ngay đối diện với hai cạnh đó cũng sẽ bằng nhau — đây chính là một dấu hiệu nhận biết tiêu biểu của tam giác cân.
- Tính chất này thường xuyên được sử dụng trong hình học, đặc biệt là khi phân tích những tam giác tạo thành từ hai dây cung bằng nhau trong cùng một đường tròn. Ngoài ra, trong các tam giác nội tiếp mang cấu trúc cân đối, bạn cũng có thể dùng đến quy tắc này để suy luận nhanh mối quan hệ giữa các góc.
- Hai tam giác có 2 cặp góc bằng nhau:
- Nếu hai tam giác sở hữu hai cặp góc tương ứng bằng nhau, thì góc thứ ba của mỗi tam giác đó cũng sẽ bằng nhau. Điều này xuất phát từ định lý tổng ba góc trong cùng một tam giác luôn bằng 180 độ.
- Từ đó, khi biết hai góc đầu đã bằng nhau, góc còn lại tất yếu cũng phải bằng để đảm bảo tổng không đổi. Tính chất này rất hữu ích khi bạn làm việc với các tam giác có các cạnh song song, các đỉnh trùng nhau hay nằm trong các hình đối xứng.
Ví dụ: Cho điểm A nằm ngoài \[\textsl{A}\] nằm ngoài đường tròn \[\textsl{(O)}\]. Qua \[\textsl{A}\] kẻ 2 tiếp tuyến \[\textsl{AB}\] và \[\textsl{AC}\] với \[\textsl{(O)}\] (\[\textsl{B}\], \[\textsl{C}\] là tiếp điểm). Kẻ cát tuyến \[\textsl{AMN}\] với \[\textsl{(O)}\] (M nằm giữa \[\textsl{A}\] và \[\textsl{N}\]).
- a) Chứng minh: \[AB^{2}=AM.AN\]
- b) Gọi \[H=AO\cap BC\]. Chứng minh \[AH.AO=AM.AN\]
- c) Đoạn thẳng \[\textsl{AO}\] cắt đường tròn \[\textsl{(O)}\] tại \[\textsl{I}\]. Chứng minh \[\textsl{I}\] là tâm của đường tròn nội tiếp \[\triangle ABC\]
Lời giải:
- a) Ta có: \[AB=AC\] (tính chất 2 tiếp tuyến từ 1 điểm nằm ngoài đường tròn) và \[\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\] (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nhau)
\[\Rightarrow AB^{2}=AM.AN\] (định lý tiếp tuyến và cát tuyến)
- b) Xét \[\triangle AOB\] vuông ngay tại \[\textsl{O}\] với \[\textsl{H}\] là đường chiếu vuông góc của \[\textsl{A}\] xuống \[\textsl{BC}\].
Áp dụng hệ thức lượng trong một hình tam giác vuông ta có:
\[AB^{2}=AH.AO\]
Nhưng ta cũng có: \[AB^{2}=AM.AN\] (đã chứng minh)
\[\Rightarrow AH.AO=AM.AN\]
- c) Ta có: \[AB=AC\Rightarrow\triangle ABC\] cân tại đỉnh \[\textsl{A}\]
Lại có \[\textsl{AO}\] là tia phân giác \[\widehat{BAC}\] và cắt đường tròn lại \[\textsl{I}\] \[\Rightarrow\] \[\textsl{I}\] nằm trên tia phân giác
Mà \[\textsl{I}\] thuộc đường tròn \[\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ACI}\] (tính chất góc nội tiếp) \[\Rightarrow BI=CI\]
Như vậy, \[\textsl{I}\] cách đều 3 cạnh của \[\triangle ABC\]
2.2. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc, song song hoặc tiếp tuyến
Dạng toán này có thể yêu cầu bạn chứng minh:
- Hai đường thẳng nằm trong cùng hình học phẳng là vuông góc hoặc song song với nhau.
- Một đường thẳng tiếp xúc cùng với đường tròn ngay tại một điểm duy nhất chính là tia tiếp tuyến của đường tròn đó.
Nếu muốn giải quyết hiệu quả bài này, bạn có thể áp dụng những phương pháp sau:
- Dựa vào tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung như đã nêu ở dạng bài trên. Từ đó, ta có thể chứng minh rằng một tia được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó tạo ra góc bằng với góc nội tiếp cùng chắn chung một cung.
- Áp dụng tính chất của các góc nội tiếp cùng chắn một cung. Khi dùng tính chất này, bạn hoàn toàn có thể suy ra rằng hai đường thẳng tạo ra những góc bằng nhau với một cạnh chung sẽ dẫn đến việc chúng song song với nhau.
- Sử dụng các tiêu chí về góc vuông trong chuyên đề hình học đường tròn để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau. Cụ thể là nếu có một góc đã được xác định bằng \[90^{\circ}\] và nó nằm giữa hai đường thẳng thì 2 đường này vuông góc.
Ví dụ: Cho nửa đường tròn \[\textsl{(O)}\] đường kính \[\textsl{AB}\], tiếp tuyến \[\textsl{Ax}\]. Gọi \[\textsl{C}\] là một điểm trên nửa đường tròn. Tia phân giác của \[\widehat{CAx}\] cắt nửa đường tròn ở \[\textsl{E}\], \[\textsl{AE}\] và \[\textsl{BC}\] cắt nhau tại \[\textsl{K}\].
- a) \[\triangle ABK\] là tam giác gì? Vì sao?
- b) Gọi \[\textsl{I}\] là giao điểm \[\textsl{AC}\] và \[\textsl{BE}\]. Chứng minh \[IK//Ax\].
- c) Chứng minh \[OE//BC\]
Lời giải:
- a) Ta có: \[BE\perp AK(\widehat{E}=90^{\circ})\]
\[\left.\begin{matrix}\widehat{B_{1}}=\widehat{A_{1}}=\frac{1}{2}\text{sd}\overset{\frown}{AE}\\\widehat{B_{2}}=\widehat{A_{2}}=\frac{1}{2}\text{sd}\overset{\frown}{EC}\\\widehat{A_{1}}=\widehat{A_{2}}\text{(gt)}\end{matrix}\right\}\Rightarrow\widehat{B_{1}}=\widehat{B_{2}}\]
Vì \[\triangle ABK\] có đường cao \[\textsl{BE}\], đường phân giác nên cân tại \[\textsl{B}\]
- b) Do \[\textsl{E}\] nằm trên đường phân giác, nên:
\[\widehat{CAx}\Rightarrow\widehat{CAE}=\widehat{EAx}\]
Từ đó, hai tam giác nhỏ có góc tương ứng bằng nhau:
\[\Rightarrow\widehat{AEI}=\widehat{AIK}\] (so le trong) \[\Rightarrow IK//Ax\]
- c) \[\textsl{I}\] là trực tâm của \[\triangle ABK\], nên:
\[\left.\begin{matrix}KI\perp AB\\\text{ma:}BC\perp AC\end{matrix}\right\}\Rightarrow OE//BC\]
3. Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung – Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho nửa đường tròn \[\textsl{(O)}\] đường kính \[\textsl{AB}\]. Trên tia đối của tia \[\textsl{AB}\] lấy thêm một điểm \[\textsl{M}\]. Sau đó vẽ thêm tiếp tuyến \[\textsl{MC}\] với nửa đường tròn, gọi \[\textsl{H}\] là hình chiếu của điểm \[\textsl{C}\] trên \[\textsl{AB}\].
- a) Chứng minh \[\textsl{CA}\] là đường phân giác của \[\widehat{MCH}\]
- b) Giả sử \[MA=a;MC=2a\]. Tính \[\textsl{AB}\] và \[\textsl{CH}\] theo a?
Bài tập 2: Cho đường tròn \[\textsl{(O;R)}\] với \[\textsl{A}\] là điểm cố định nằm trên đường tròn. Kẻ tiếp tuyến Ax với \[\textsl{(O)}\] và lấy điểm \[\textsl{M}\] bất kỳ thuộc tia \[\textsl{Ax}\]. Vẽ thêm tiếp tuyến thứ hai là \[\textsl{MB}\] với đường tròn \[\textsl{(O)}\]. Gọi \[\textsl{I}\] là trung điểm của \[\textsl{MA}\], \[\textsl{K}\] là giao điểm của \[\textsl{BI}\] với \[\textsl{(O)}\].
- a) Chứng minh \[\triangle IKA,\triangle IAB\] đồng dạng. Từ đó suy ra \[\triangle IKM\] đồng dạng với \[\triangle IMB\]
- b) Giả sử \[\textsl{MK}\] cắt \[\textsl{(O)}\] tại \[\textsl{C}\]. Chứng minh \[BC//MA\]
Đáp án:
Bài tập 1:
- a) Ta có: \[\widehat{ACB}=90^{\circ}\] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\[\left.\begin{matrix}\widehat{AHC}=\widehat{B}(phu.\widehat{CAB})\\\widehat{ACM}=\widehat{B}(=\frac{1}{2}sd\overset{\frown}{AC})\end{matrix}\right\}\Rightarrow\widehat{ACH}=\widehat{ACM}\]
Vậy \[\textsl{CA}\] là đường phân giác của \[\widehat{MCH}\]
- b)
\[\triangle MAC\sim\triangle MCB(gg)\Rightarrow\frac{MA}{MC}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow MC^{2}=MA.MB\Rightarrow MB=\frac{MC^{2}}{MA}=4a\Rightarrow AB=4a-a=3a\]
Xét \[\triangle COM(\widehat{C}=90^{\circ})\Rightarrow CM.CO=CH.OM\Rightarrow CH=\frac{CM.CO}{OM}\Rightarrow\frac{2a.1,5a}{2,5a}=\frac{6a}{5}\]
Bài tập 2:
- a) Xét \[\triangle IKA\] và \[\triangle IAB\]:
Có góc chung tại \[\textsl{I}\]
\[\widehat{KAI}=\widehat{ABI}\] vì cùng chắn cung \[\overset{\frown}{AB}\] (cùng là góc nội tiếp) \[\Rightarrow\triangle IKA\sim\triangle IAB(g.g)\]
Mà \[IA=IM\] (do \[\textsl{I}\] là trung điểm \[\textsl{MA}\] và từ đồng dạng trên, suy ra:
\[\frac{IK}{IA}=\frac{IB}{AB}\Rightarrow\triangle IKM\sim\triangle IMB\] (g.g)
- b) Ta có:
\[\triangle IKM\sim\triangle IMB\Rightarrow\widehat{IKC}=\widehat{IBM}\Rightarrow BC//MA\] (vì có cặp góc so le trong bằng nhau).
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung là một trong những khái niệm hình học đặc biệt quan trọng. Mong rằng với tất cả những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã nắm vững toàn bộ lý thuyết trong chuyên đề này và nhớ rõ phương pháp giải các dạng bài có liên quan rồi nhé!
