Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Trong hình học đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là một khái niệm quan trọng liên quan đến các đường tròn và cung trên đường tròn đó. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của góc này là rất cần thiết trong toán học và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cũng như tính chất và cách tính toán góc này trong đường tròn.

1. Định nghĩa góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tia tiếp tuyến còn cạnh kia chưa dây cung của đường tròn đó.

Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cần thỏa mãn các điều kiện sau:

• Đỉnh nằm trên đường tròn
• Một cạnh chứa tiếp điểm của đường tròn
• Cạnh còn lại sẽ chứa dây cung của đường tròn

Ví dụ: Xét đường tròn (O) và Ax là tiếp tuyến của (O) tại A.

Góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung vì thỏa mãn 3 điều kiện:

• Đỉnh A ∈ đường tròn (O)
• Cạnh Ax là tiếp tuyến
• Cạnh AB là dây cung của đường tròn và góc BAx chắn cung nhỏ AB.

2. Định lí

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Ví dụ: \(\widehat{xAB}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung \(AB\Rightarrow\widehat{xAB}=\frac12sđ\overset\frown{AB}\)

Định lý bổ sung: Nếu một góc BAx (với đỉnh A của góc nằm trên đường tròn, có một cạnh chứa dây cung AB), số đo góc này bằng một nửa số đo của cung AB và cung AB nằm bên trong góc thì cạnh cạnh Ax còn lại sẽ là tia tiếp tuyến của đường tròn.

3. Hệ quả

Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Góc BAC là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BmC.
Góc BCy là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Cy và dây cung CB chắn cung nhỏ Bmc.
Khi đó: góc BAC = góc BCy = 1/2 số đo cung BmC.

4. Các dạng bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau, các đẳng thức hoặc các tam giác đồng dạng

Phương pháp giải:

• Sử dụng hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
• Sử dụng hệ quả của góc nội tiếp.
• Chứng minh hai cùng bằng góc thứ ba.
• Chứng minh các tam giác bằng nhau.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, một tia là tiếp tuyến của đường tròn

Phương pháp giải:

• Sử dụng hệ quả về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung hoặc hệ quả hai góc nội tiếp.
• Chứng minh tia vuông góc với bán kính để suy ra tiếp tuyến.

5. Bài tập

Bài 1.  Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau ở A. Tính \(\widehat{ABC},\;\widehat{BAC}\)

Lời giải

ΔOBC có OB=OC=BC(=R)
⇒ ΔOBC là tam giác đều
\(\widehat{BOC}=60^\circ\\\Rightarrow sđ\;\overset\frown{BmC}=60^\circ\) (góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn)
\(\widehat{ABC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây BC
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\frac12sđ\overset\frown{BmC}=\frac12.60^\circ=30^\circ\)
\(\widehat{ACB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AC và dây CB
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\frac12sđ\overset\frown{BmC}=30^\circ\\\triangle ABC\;có:\;\widehat{BAC}\;+\;\widehat{ABC}\;+\;\widehat{ACB}=180^\circ\\\Rightarrow\widehat{BAC}=180^\circ-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=120^\circ\)

Bài 2. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB, qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC tại F, cắt AC tại E. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt EF tại I. Chứng minh:
a) I là trung điểm của È
b) Đường thẳng OC là tia tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF

Lời giải

a) CI là tiếp tuyến của (O) nên \(CO\perp CI\Rightarrow ICO=90^\circ\)
Lại có ACO là góc chắn nửa đường tròn nên ACO = 90°
Ta có: ICB = CAB (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CB)
Mà CAB = CFB (cùng phụ với FBA)
⇒ CAB = CFE (=DFB).
⇒ICF = CFE (=CAB) ⇒ ΔANC là tam giác cân tại C ⇒CI=IF (hai cạnh tương ứng)
CM tương tự ta có ΔCEI là tam giác cân tại I ⇒ CI = IE (hai cạnh tương ứng)
⇒CI=IE=IF
Mà ΔCEI là tam giác vuông tại C=>CI là đường trung tuyến của tam giác hay I là trung điểm của EF (đpcm)

b) ΔCEI là tam giác vuông tại C có I là trung điểm của cạnh huyền EF nên O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔCEI
Mà \(CO\perp CI\) (gt) nên OC là tiếp tuyến của đường tròn (I) hay OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCEI (đpcm)