Cung chứa góc

Trong hình học đường tròn, cung và góc là hai khái niệm quan trọng và liên quan mật thiết đến nhau. Cụ thể, một cung trên đường tròn cũng đồng thời là một góc nằm giữa hai tiếp tuyến tại các điểm chính và chứa tâm đường tròn. Việc hiểu rõ khái niệm và tính chất của cung chứa góc là rất cần thiết trong toán học và có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm cung chứa góc, cũng như tính chất và cách tính toán cung chứa góc trong đường tròn.

1. Quỹ tích cung chứa góc

Với đoạn thẳng AB và góc \(\alpha\;(0^\circ<\alpha<180^\circ)\) cho trước thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn AB

Chú ý: Hai cung chứa góc nói trên là hai cung đối xứng với nhau qua AB
Hai điểm A, B được coi là thuộc quỹ tích

Đặc biệt: Trường hợp \(\alpha\;=\;90^\circ\) thì quỹ tích trên là hai nửa đường tròn đường kính AB

2. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình A nào đó, ta phải chúng minh hai phần:

Phần thuận : Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình A.
Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình A đều có tính chất T.

Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm M có tính chất T là hình A.

Chú ý: Thông thường với bài toán tìm quỹ tích, ta nên dự đoán hình A trước khi chứng minh

3. Cách vẽ cung chứa góc

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB và góc \(\alpha\;(0^\circ<\alpha<180^\circ)\) Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\)

• Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB 
• Vẽ tia Ax tạo với AB một góc \(\alpha\)
• Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d
• Vẽ cung \(\overset\frown{AmB}\) tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung \(\overset\frown{AmB}\) được vẽ như trên là một cung chứa góc \(\alpha\)

4. Các dạng toán thường gặp về cung chứa góc

Dạng 1. Quỹ tích là cung chứa góc \(\alpha\).

Phương pháp:

• Tìm đoạn cố định trong hình vẽ.
• Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc \(\alpha\)  không đổi.
• Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn cố định.

Ví dụ: Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường tròn .Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho

Chứng minh thuận:
Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt nửa đường tròn đường kính AB tại P.
Vì O cố định, đường tròn đường kính AB cố định nên P cố định.Nối PD
Ta có: OP // CH (cùng ⊥ AB)
Xét hai tam giác HCO và DOP ta có:

OD = CH (gt)
\(\widehat{POD}=\widehat{OCH}\\OP\;=\;OC\;(=R)\)
Vậy \(\triangle HCO\;=\;\triangle DOP\;(c.g.c)\Rightarrow\widehat{ODP}=\widehat{CHO}\)
Mà \(\widehat{CHO}\;=\;90^\circ\)
nên \(\widehat{ODP}\;=\;90^\circ\)

Khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D thay đổi tạo với hai đầu đọan thẳng OP cố định một góc \(\widehat{ODP}\;=\;90^\circ\)
Vậy D chuyển động trên đường tròn đường kính OP

Chứng minh đảo:
Lấy điểm D’ bất kì trên đường tròn đường kính OP ,nối OD’ cắt nửa đường tròn đường kính AB tại C’.Nối PD’ và C’H’ ⊥ AB
Xét hai tam giác C’H’O và PD’O ta có:
\(\widehat{C'H'O}\;=\;\widehat{PD'O}=90^\circ\\\widehat{D'OP}\;=\;\widehat{OC'H'}\\OC'\;=\;OP\;=\;R\)
Vậy ΔC’H’O = ΔPD’O (c.g.c) ⇒ C’H’ = OD’

Quỹ tích điểm các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là đường tròn đường kính OP, với \(OP\;=\;\frac{AB}2\)

Dạng 2. Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn

Phương pháp:
Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là AB và cùng nhìn đoạn cố định AB dưới một góc không đổi.

Ví dụ: Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm hai đường chéo. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM = OB. Trên tia OB lấy điểm M sao cho ON = OA. Chứng minh rằng bốn điểm D, M, N, C cùng thuộc một đường tròn

Xét hai tam giác \(\triangle AOB\) và \(\triangle NOM\) có \(\widehat{AOB}\) chung và OA = ON, OM = OB nên \(\triangle AOB\)  = \(\triangle NOM\)(c.g.c)
Suy ra \(\widehat{BAO}\) = \(\widehat{MNO}\)
Mặt khác do AB//CD (hình thang) nên \(\widehat{BAO}\) = \(\widehat{DCO}\), từ đó suy ra \(\widehat{MNO}\) = \(\widehat{DCO}\)
Xét tứ giác DMNC có \(\widehat{MNO}\) = \(\widehat{DCO}\) mà hai góc này cùng nhìn cạnh MD nên bốn điểm D, M, N, C cùng thuộc một đường tròn

Dạng 3. Dựng cung chứa góc

Phương pháp:
Thực hiện quy trình dựng sau đây :

• Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB;
• Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α;
• Vẽ đường thẳng Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay với d.
• Vẽ cung AmB , tâm O, bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ  như trên là một cung chứa góc α.

Ví dụ: Dựng một cung chứa góc 55° trên đoạn thẳng AB = 3cm.

​Cách dựng:

• Dựng đoạn thẳng AB = 3cm.
• Dựng góc \(\widehat{xAB}\;=\;55^\circ\)
• Dựng tia Ay vuông góc với tia Ax.
• Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
• d cắt Ay tại O.
• Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA.

\(\overset\frown{AmB}\) là cung chứa góc 55º cần dựng.

5. Bài tập minh hoạ

Bài 1. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Chứng minh bốn điểm B, C, M, K thuộc cùng 1 đường tròn

Lời giải
Ta đã biết MO là đường trung trực của CD nên AB là đường trung trực của CD, nên
⇒ \(\widehat{MBK}=\widehat{MBC}\)
Mặt khác \(\widehat{MBC}=\widehat{MCK}\)(góc tạo bởi tia tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CA)
Do đó \(\widehat{MBK}=\widehat{MCK}\)
Tứ giác MCBK có \(\widehat{MBK}=\widehat{MCK}\) nên M, C, B, K cùng thuộc một đường tròn