Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông là một trong những chủ đề cơ bản trong hình học. Trong đó, ta có các bộ ba đáng nhớ gồm 3 tỉ lệ đồng dạng giữa các cặp tam giác vuông, được gọi là các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Việc hiểu rõ các trường hợp này sẽ giúp bạn dễ dàng áp dụng vào các bài toán tính toán và giải quyết vấn đề trong hình học, đặc biệt là trong lĩnh vực đo lường và thiết kế.

1. Hai tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu chúng có các góc tương đồng và tỉ lệ các cạnh tương đương. Nói cách khác, hai tam giác đồng dạng có cùng hình dáng nhưng có kích thước khác nhau.

Cụ thể, nếu có hai tam giác ABC và A'B'C' thỏa mãn:

• Góc A bằng góc A'.
• Góc B bằng góc B'.
• Góc C bằng góc C'.
• Tỉ lệ độ dài các cạnh của tam giác ABC đồng dạng với tỉ lệ độ dài các cạnh của tam giác A'B'C'.

Thì ta có thể ký hiệu hai tam giác này là ABC ~ A'B'C'.

2. Tính chất hai tam giác đồng dạng

• Mỗi tam giác đều đồng dạng với chính tam giác đó
• Nếu △ABC ∼ △A’B’C’ thì ngược lại, △A’B’C’ ∼ △ABC
• Trong trường hợp 2 tam giác đều cùng đồng dạng với một tam giác bất kỳ thì 2 tam giác đều này cũng sẽ đồng dạng với nhau. Ví dụ: △ABC ∼ △A’B’C’, mặt khác △A”B”C” ∼ △A’B’C’ thì suy ra △ABC ∼ △A”B”C”
• Ngoài ra, nếu hai tam giác bất kỳ bằng nhau thì sẽ đồng dạng với nhau. Nhưng hai tam giác đồng dạng với nhau thì không phải lúc nào cũng sẽ bằng nhau

3. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

Ba trường hợp đồng dạng của tam giác vuông là: Cạnh huyển - góc vuông, hai cạnh góc vuông, góc-góc

a) Trường hợp 1: Cạnh huyền-góc vuông

Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau

b) Trường hợp 2: Hai cạnh góc vuông

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

c) Trường hợp 3: Góc-góc

Nếu góc nhọn của tam giác này tỉ lệ với góc nhọn của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau

4.Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.

Định lí: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

Tổng quát: Ta có tỉ số đồng dạng là \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k\)

Tỉ số hai đường cao là \(\frac{h_{\triangle A'B'C'}}{h_{\triangle ABC}}=k\)

Định lí: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Tổng quát: Ta có tỉ số đồng dạng là \(\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}=k\)

Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng là: \(\frac{S_{\triangle A'B'C'}}{S_{\triangle ABC}}=k^2\)

5. Bài tập ví dụ

Bài 1. Cho hình dưới đây hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

Lời giải

∆ADC ∽ ∆ABE vì:
Xét ∆ADC và ∆ABE có: góc A chung và \(\widehat D=\widehat B=90^\circ\)
=> ∆ADC ∽ ∆ABE (góc - góc)

∆DEF ∽ ∆BCF vì:
Xét ∆DEF và ∆BCF có \(\widehat D=\widehat B=90^\circ\), \(\widehat{DEF}=\widehat{CFC}\) (hai góc đối đỉnh)
=> ∆DEF ∽ ∆BCF (góc - góc)

∆DFE ∽ ∆BAE vì:
Xét ∆DFE ∽ ∆BAE có: \(\widehat D=\widehat B=90^\circ\), góc A chung
=> ∆DFE ∽ ∆BAE (góc - góc)

∆BFC  ∽ ∆DAC vì:
Xét ∆BFC  ∆DAC có: \(\widehat D=\widehat B=90^\circ\) , góc C chung
=> ∆BFC  ∽ ∆DAC (góc-góc)

Bài 2. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, lấy điểm D bất kì thuộc BC, một đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh DB.DC = DE.DF

b) Gọi AH là đường cao của ∆ABC, biết HB = 3 cm, HC = 12 cm. Tính đường cao AH

Lời giải

a) Ta có \(\widehat F=\widehat C\) (cùng phụ với \(\widehat B\))

Do đó hai tam giác vuông BDF đồng dạng với tam giác EDC (g.g)

\(\Rightarrow\frac{DB}{DE}=\frac{DF}{DC}\Rightarrow DB.DC=DE.DF\)

b) Ta có \(\widehat{BAH}=\widehat C\) (cùng phụ với \(\widehat B\))

Do đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA (g.g)

\(\Rightarrow\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{HA}\\\Rightarrow AH^2=CH.BH=12.3=36\Rightarrow AH=\sqrt{36}=6cm\)