Các trường hợp đồng dạng trong tam giác là một phần kiến thức không thể thiếu trong hình học. Theo đó, bạn cần phải xác định được sự tương đồng giữa các tam giác thông qua hai yếu tố chính là góc và cạnh. Hiểu rõ được các lý thuyết kể trên sẽ giúp học sinh dễ dàng vượt qua nhiều dạng bài tập hóc búa trong đề thi cùng nhiều ứng dụng thực tiễn sâu sắc.
1. Thế nào là hai tam giác đồng dạng với nhau ?
Hai tam giác sẽ được gọi là đồng dạng với nhau khi chúng cùng sở hữu cấu trúc hình học tương đương nhau. Tuy nhiên, kích thước của cạnh và góc có thể khác nhau nhưng chung tỷ lệ là được.
Tức có nghĩa, các góc trong cả hai tam giác sẽ có chung tỷ lệ, số đo góc và tương đương nhau. Đồng thời, tỷ lệ các cạnh của hai tam giác trên cũng sẽ giữ nguyên. Vậy, hai tam giác đồng dạng là khi chúng thoả mãn các điều kiện sau đây:
- Tỷ lệ cạnh: Toàn bộ các cạnh trong tam giác thứ nhất phải tỷ lệ với các cạnh tương ứng trong tam giác thứ hai. Hoặc nói cách khác, nếu như bạn lấy độ dài một cạnh trong tam giác thứ nhất chia cho cạnh tương ứng trong tam giác thứ 2 thì tỷ lệ này phải là một hằng số. Và khi lấy tỷ lệ hai cạnh còn lại cũng sẽ ra được hằng số tương tự.
- Góc tương đương: Theo định nghĩa về hai tam giác đồng dạng thì các góc tương đương của chúng phải giống nhau. Tức có nghĩa, nếu bạn đo các góc trong tam giác đầu tiên và tiến hành so sánh chúng với các góc tương ứng trong tam giác thứ hai, và chúng phải cùng một số đo thì mới chính xác.
Theo đó, hai tam giác đồng dạng sẽ được ký hiệu là \[\sim \]. Phần kiến thức này cho phép chúng ta so sánh các hình học khác nhau dựa trên tỷ lệ và sự tương tự, dù cho chúng có kích thước khác nhau đi chăng nữa. Các định lý về tính đồng dạng được sử dụng khá nhiều trong hình học nhằm giải quyết các vấn đề tương tự.
2. Bật mí các trường hợp tam giác đồng dạng mà bạn cần nắm
2.1 Trường hợp 1 cạnh – cạnh – cạnh
Có thể giải thích định lý này theo một cách dễ hiểu là nếu ba cạnh của hai tam giác này tỷ lệ với 3 cạnh tương ứng của tam giác kia thì chúng đồng dạng với nhau. Đây một trong các trường hợp tam giác đồng dạng cơ bản mà bạn nhất định phải biết.
Tỷ lệ của từng cặp cạnh trong hai tam giác phải bằng nhau, và cùng là một hằng số để chúng được quyết định là có tương đương nhau hay không. Giả sử, tam giác ABC có ba cạnh là a, b và c, còn tam giác MNP có 3 cạnh là m,n, và p thì chúng đồng dạng khi và chỉ khi thoả mãn quy tắc: \[\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{c}{p}=x\], trong đó x sẽ là hằng số cố định.
2.2 Trường hợp thứ 2 cạnh – góc – cạnh
Bạn có thể hiểu định lý này là nếu như hai cạnh của tam giác đầu tiên có chung tỷ lệ với hai cạnh tương ứng trong tam giác thứ hai, và góc tạo bởi cặp cạnh trên cũng bằng nhau, thì hai tam giác này đồng dạng. Giả sử, nếu như \[\Delta ABC\sim\Delta MNP\] thì \[\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}\] và \[\widehat{B}=\widehat{N}\].
2.3 Trường hợp thứ 3 góc – góc
Nếu như tam giác này có hai góc lần lượt bằng hai góc tương ứng trong tam giác khác thì chúng ta có thể kết luận rằng hai tam giác trên đồng dạng với nhau. Tức có nghĩa, nếu như \[\widehat{A}=\widehat{M}\] và \[\widehat{B}=\widehat{N}\] thì \[\Delta ABC\sim\Delta MNP\]. Trong tình huống này, thì tỷ lệ độ dài các cạnh giữa chúng có thể khác nhau, tuy nhiên cấu trúc của hai tam giác này vẫn là giống nhau.
3. Hướng dẫn phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng
3.1 Chứng minh theo cạnh – cạnh – cạnh
Phương pháp này dựa trên một trong các trường hợp tam giác đồng dạng để chứng minh nhanh. Để thực hiện cách làm này, bạn cần phải xác định tam giác đang cần chứng minh là tam giác nào, và chúng có những cạnh nào.
- Bước 1: Chọn các cặp cạnh tương ứng trong hai tam giác, tức có nghĩa chúng phải có cùng vị trí với nhau.
- Bước 2: So sánh tỷ lệ các cặp cạnh đã chọn và chúng phải có chung một kết quả là hằng số duy nhất.
Ví dụ: Chứng minh \[\Delta ABC\sim\Delta MNP\] thì bạn chỉ cần tính tỷ lệ của \[\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}=\frac{BC}{NP}\]. Lưu ý rằng, phương pháp này sẽ không cần phải chú tâm đến góc giữa các cạnh, miễn sao đáp ứng được điều kiện 3 cặp cạnh chung tỷ lệ thì hai tam giác sẽ đồng dạng với nhau.
3.2 Chứng minh bằng định lý Ta – let
Định lý Talet được diễn đạt như sau: Nếu như một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó sẽ tạo ra các đoạn thẳng trên cạnh đó có tỷ lệ tương ứng.
Điều này có nghĩa rằng nếu như bạn có một tam giác ABC và một đường thẳng HK song song với cạnh BC và cắt qua hai cạnh AB và AC tại điểm H và K. Suy ra, tỷ lệ độ dài của hai đoạn thẳng mới là AH và AK sẽ bằng tỷ lệ của BH và BK. Cụ thể hơn, \[\frac{AH}{BH}=\frac{AK}{BK}\].
3.3 Chứng minh các điều kiện cần và đủ
Bạn hoàn toàn có thể sử dụng các trường hợp tam giác đồng dạng với nhau để chứng minh chúng. Và các điều kiện cần và đủ này cũng sẽ là những thứ bạn cần phải tìm ra. Theo đó, hãy xem các dữ kiện đề bài cho có liên quan đến 3 cạnh, 2 cạnh 1 góc hoặc 2 góc hoặc 2 cạnh tương ứng nhưng 1 cạnh chưa chung tỷ lệ (Talet). Từ đó mà bạn có thể chọn cách chứng minh sao cho phù hợp nhất.
4. Một số bài tập vận dụng về các trường hợp tam giác đồng dạng
Bài 1: Cho tứ giác ABCD có AB = 4cm; BC=12cm; CD= 16CM; DA= 6cm và BD = 8cm. Hãy chứng minh \[\Delta BAD\sim\Delta DBC\], tứ giác ABCD có phải là hình thang hay không ?
Giải:
Ta có:
\[\frac{BA}{BD}=\frac{AD}{BC}=\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}\Rightarrow\Delta BAD\sim\Delta DBC\] (C – C – C)
Vì \[\Delta BAD\sim\Delta DBC\] nên
\[\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{DBC}\Rightarrow AB\parallel CD\]
Vậy, ABCD là hình thang.
Bài 2: Biết tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = 3cm, BC = 5cm, EF = 3CM, và DE = DF = 2,5cm. Chứng minh rằng \[\widehat{ACB}=\widehat{DEF}\]
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[BC^2=AC^2+AB^2\Rightarrow AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4cm\]
Mà: \[\cos{ACB}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}\]
Xét tam giác DEF ta có:
\[\cos{DEF}=\frac{DE^2+EF^2-DF^2}{2\times DE\times EF}=\frac{3^2+2,5^2-3^2}{2\times 3\times 2,5}=\frac{3}{5}\]
Kết luận: \[\widehat{ACB}=\widehat{DEF}\]
Bài viết trên đã tổng hợp các trường hợp tam giác đồng dạng cũng như cách để chứng minh một cách chi tiết nhất. Mong rằng, bạn đã có được cái nhìn sâu sắc hơn về chuyên đề này. Hãy dành nhiều thời gian để làm các bài tập trên và trau dồi kiến thức của chính mình bạn nhé.
