Trong chương trình toán học năm lớp 9, các bạn học sinh sẽ được tiếp xúc với vị trí tương đối của 2 đường tròn. Đây là một bài học vô cùng quan trọng vì không chỉ xuất hiện nhiều trong bài thi chuyển cấp mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn khác. Bài viết sau đây sẽ tổng hợp toàn bộ phần lý thuyết chủ chốt mà học sinh cần nắm để chinh phục được chuyên đề trên.
1. Những kiến thức cần nắm về vị trí tương đối của 2 đường tròn
1.1 Bật mí khái niệm và tính chất của đường nối tâm
Đường nối tâm là đường thẳng sẽ trực tiếp đi qua tâm của 2 đường tròn. Đồng thời, nó cũng là trục đối xứng của hình được tạo nên bởi hai đường tròn đó. Học sinh cần lưu ý rằng, nếu như hai đường tròn mà tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm sẽ nằm ngay trên đường nối tâm. Còn nếu chúng cắt nhau thì đường nối tâm đóng vai trò là đường trung trực của dây chung.
1.2 Như thế nào là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ?
Một đường thẳng mà tiếp xúc với cả hai đường tròn cùng lúc thì được gọi là tiếp tuyến chung. Ví dụ như, đường tròn tâm (O) và đường tròn tâm (O’) cắt nhau thì ta có hai tiếp tuyến chung là \[d_1,d_2\] như hình.
2. Bật mí vị trí tương đối của 2 đường tròn
2.1 Hai đường tròn cắt nhau
Trong tình huống mà hai đường tròn có đúng 2 điểm chung thì có thể xác định rằng hai đường tròn này cắt nhau. Bên cạnh đó, hai điểm chung này cũng được gọi là giao điểm của chúng. Đây là một trong những vị trí tương đối của 2 đường tròn xuất hiện khá phổ biến khi làm kiểm tra.
Quan sát hình trên ta có thể thấy, hai đường tròn (O;R) và (O;R’) cắt nhau nếu
\[R-R'<OO'<R+R'(R>R’)\]
Giả sử: Ta có OO’ = 5cm, vậy suy ra hai đường tròn (O;4cm) và (O’; 3cm) cắt nhau vì: \[4-3=1<5<7=4+3\].
2.2 Vị trí tiếp xúc của hai đường tròn
Nếu như hai đường tròn có duy nhất chỉ một điểm chung thì ta có thể kết luận rằng chúng là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Đồng thời, điểm chung đó sẽ được gọi là tiếp điểm. Ngoài ra, tiếp điểm này cũng sẽ thẳng hàng với hai tâm của đường tròn. Vị trí tiếp xúc xuất hiện khi và chỉ khi:
- Đường tròn (O; R) và (O’;R’) có \[OO’=R+R’\]
- Đường tròn (O; R) và (O’;R’) có \[OO’=R-R’\; (R>R’]
Ví dụ minh hoạ:
- Giả sử: Ta có OO’ = 5cm, thì đường tròn (O; 3cm) và (O’; 2cm) sẽ tiếp xúc ngoài vì \[5cm=3cm+2cm\].
- Nếu OO’ = 3cm, khi đó đường tròn (O; 8cm) và (O’; 5cm) sẽ tiếp xúc trong vì \[3cm=8cm-5cm\].
2.3 Hai đường tròn không giao nhau
Trong trường hợp mà hai đường tròn đang xét không có bất kỳ điểm chung nào thì ta có thể xác định là hai đường tròn này không giao nhau. Điều kiện quyết định vị trí tương đối của 2 đường tròn theo trường hợp kể trên sẽ là:
- Đường tròn (O;R) và (O’;R’) nằm ngoài nhau khi \[OO’>R+R’\]
- Đường tròn (O;R) đựng (O’;R’) khi \[R>R’;OO'<R-R’\]
- Nếu tâm O trùng với tâm O’ và \[R\neq R’\] thì hai đường tròn này đồng tâm.\
Ví dụ minh hoạ: Cho đường tròn (O; 3cm) và (O’; 4cm) có \[OO’>8cm\], suy ra \[OO’=8cm>3cm+4cm=R+R’\]. Kết luận, hai đường tròn trên nằm ngoài nhau.
3. Tổng hợp một số dạng toán thường gặp về vị trí tương đối của 2 đường tròn
3.1 Dạng bài hai đường tròn tiếp xúc
Để giải được dạng bài tập này, các bạn học sinh cần sử dụng tính chất của hai đường tròn tiếp xúc nhau. Theo đó, tiếp điểm chung sẽ nằm trên đường nối tâm, cho ra hệ thức \[d=R+r\]. Khi giải, bạn có thể vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn để đủ dữ kiện hơn.
Bài 1: Ta có đường tròn tâm O, bán kính là R, lấy điểm A bất kì thuộc đường tròn. Vẽ đường kính OA để tạo ra đường tròn mới. Hãy xác định vị trí tương đối của đường tròn mới và (O;R).
Giải:
Gọi O’ là tâm của đường tròn với đường kính OA, đồng thời là trung điểm của OA
Suy ra, bán kính của đường tròn (O’) là: \[R’=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}\]
Vậy, độ dài của đoạn nối tâm sẽ là: \[d=OO’=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}\]
Ta có: \[R-R’=\frac{R}{2}=d\] nên hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc với nhau tại A.
3.2 Dạng bài liên quan đến định lý Pytago và cắt nhau
Đến với dạng bài tập này, bạn cần vận dụng tính chất đường tiếp tuyến kết hợp cùng định lý Pitago trong tam giác vuông để tìm ra đáp án. Bên cạnh đó, bạn có thể sử dụng hệ thức sau: \[R-r<d<R+r\].
Bài 2: Biết hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Bán kính OM và O’N song song với nhau (trong khi M và N cùng nằm về một phương so với đoạn OO’). Hỏi, MAN thuộc dạng tam giác nào ?
Ta có, tam giác OAM cân tại O (vì OM=OA), \[\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{OMA}\]
Khi đó: \[\widehat{AOM}=180\degree-2\times\widehat{A_1}\] (1)
Ta có: \[\widehat{AO’N}=180\degree-2\times\widehat{A_2}\] (2)
Mà \[OM\parallel O’N\], nên \[\widehat{AOM}+\widehat{AO’N}=180\degree\]
Từ (1) và (2) ta có:
\[\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=360\degree-2(\widehat{A_1}+\widehat{A_2})\]
\[\widehat{AOM}+\widehat{AO’N}=\frac{360\degree-(\widehat{AOM}+\widehat{AON’})}{2}=\frac{360\degree-180\degree}{2}=90\degree\].
Vậy hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A nên A sẽ nằm trên đoạn OO’. Suy ra, ba điểm O, A và O’ thẳng hàng.
\[\Rightarrow\widehat{MAN}+\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=180\degree \]
\[\Rightarrow\widehat{MAN}=180\degree-(\widehat{A_1}+\widehat{A_2})=180\degree-90\degree=90\degree \]
Vậy tam giác MAN vuông tại A.
Bài viết trên đã tổng hợp chi tiết toàn bộ các lý thuyết liên quan đến vị trí tương đối của 2 đường tròn. Mong rằng, những thông tin mà chúng tôi đã chia sẻ đến bạn sẽ giúp bạn hiểu hơn về chuyên đề này và đạt được điểm số cao trong kỳ thi sắp tới.
