Vị trí tương đối của hai đường tròn
Hai đường tròn là hai hình học cơ bản trong toán học, và trong quá trình học tập và thực hành, việc hiểu rõ vị trí tương đối của chúng là rất quan trọng. Vị trí tương đối của hai đường tròn có thể được xác định dựa trên khoảng cách giữa chúng, cách chúng cắt nhau hoặc vị trí tương đối giữa tâm của chúng. Bài viết này sẽ giới thiệu đến bạn các vị trí tương đối của hai đường tròn và cách xác định chúng một cách dễ dàng.
1. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Ta xét vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O’; r). Trong đó, R > r và xảy ra ba vị trí tương đối như sau:
| Trường hợp 1: Hai đường tròn cắt nhau |
Hai đường tròn (O;R) và (O';r) với R>r cắt nhau. Khi đó (O) và (O′) có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.
Hệ thức liên hệ R - r < OO' < R + r
| Trường hợp 2: Hai đường tròn tiếp xúc |
+ Tiếp xúc trong
Hai đường tròn (O;R) và (O';r) với R>r tiếp xúc trong tại A. Khi đó A nằm trên đường nối tâm và OO′ = R−r.
+ Tiếp xúc ngoài
Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) tiếp xúc ngoài tại A. Khi đó A nằm trên đường nối tâm và OO′ = R+r.
| Trường hợp 3: Hai đường tròn không giao nhau |
+ Hai đường tròn ở ngoài nhau
Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) ở ngoài nhau. Ta có OO′ > R+r
+ Hai đường tròn đựng nhau
Hai đường tròn (O;R) và (O′;r) với (R>r) đựng nhau. Ta có OO′ < R - r
+ Hai đường tròn đồng tâm
Hai đường tròn đồng tâm ta có OO' = 0
Sự liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R và r
| Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R), (O';r) với R > r |
Số điểm chung | Hệ thức giữa d và r, R |
|---|---|---|
| Hai đường tròn cắt nhau | 2 | R - r < d < R + r |
| Hai đường tròn tiếp xúc nhau | 1 | |
|
d = R + r | |
|
d = R - r | |
| Hai đường tròn không giao nhau | 0 | |
|
d > R + r | |
|
d < R - r | |
|
d = 0 |
2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn
Tiếp tuyến chung bên trong là tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm. Ngược lại, tiếp tuyến chung bên ngoài là tiếp tuyến chung không cắt đoạn nối tâm. Ta có thể xét số tiếp tuyến chung của hai đường tròn ở một số vị trí như sau:
- Hai tiếp tuyến chung ngoài là hai đường tròn cắt nhau.
- Hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung trong gọi là hai đường tròn tiếp xúc ngoài.
- Có một tiếp tuyến chung gọi là hai đường tròn tiếp xúc trong.
- Hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong gọi là hai đường tròn ở ngoài nhau.
- Trường hợp không có tiếp tuyến chung chính là hai đường tròn chứa nhau và hai đường tròn đồng tâm.
3. Các dạng bài thường gặp về vị trí tương đối của hai đường tròn
Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối của hai đường tròn.
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn.
Dạng 2: Bài tập về hai đường tròn cắt nhau.
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn cắt nhau.
Dạng 3: Bài tập về hai đường tròn tiếp xúc.
Phương pháp giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường hợp hai đường tròn không cắt nhau.
4. Bài tập minh hoạ
Bài 1. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; R) cắt nhau tại M và N. Biết OO’=24cm, MN=10cm. Tính R.
Lời giải
Gọi giao điểm của OO’ và MN là I. Vì OM = ON =O’M =O’N = R nên tứ giác OMO’N là hình thoi
=> OO’ ⊥ MN tại điểm I là trung điểm của mỗi đoạn OO’ và MN.
Do đó: IM = \(\frac{MN}2\) = 5cm ; IO = \(\frac{OO'}2\) = 12cm.
Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác MIO ta có:
R = OM = \(\sqrt{IM^2+IO^2}\) = 13
Vậy R = 13(cm)
Bài 2. Xét ΔABC có các góc B, C nhọn. Các đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kì qua A và cắt hai đường tròn nói trên lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh H thuộc cạnh BC
b) Tứ giác BCNM là hình gì?
c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc một đường tròn
d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.
Lời giải
a)
H ∈ (O) đường kính AB nên góc AHB bằng 90°
H ∈ (O) đường kính AC nên AHC bằng 90°
⇒ B, H, C thẳng hàng.
b)
M ∈ (O) đường kính AB nên AMB bằng 90° ⇒ BM ⊥ d
N ∈ (O) đường kính AC nên ANC bằng 90° ⇒ CN ⊥ d
⇒ BM // CN và BM ⊥ MN
⇒ Tứ giác BCNM là hình thang vuông.
c)
Ta có PQ là đường trung bình của hình thang vuông BCNM
⇒ PQ // BM và PQ ⊥ d
Ta có: AQP bằng 90° ⇒ Q thuộc đường tròn đường kính AP
Mặt khác AHP bằng 90° ⇒ H thuộc đường tròn đường kính AP
Vậy 4 điểm A, H, P, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AP
d)
Xét tam giác ABC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // BC
Trong hình thang vuông BCNM: NM ≤ BC
Vậy MN lớn nhất khi MN = BC. Khi đó d // BC.