Chia đa thức một biến đã sắp xếp là một trong những lý thuyết rất quan trọng trong đại số, giúp chúng ta đơn giản hóa các biểu thức và giải quyết bài tập phức tạp. Vậy làm thế nào để thực hiện được phép chia các đa thức một cách hiệu quả? Bài viết này chắc chắn sẽ giúp bạn nắm vững các kiến thức trọng tâm và phương pháp giải cho một số dạng bài tập liên quan.
1. Các kiến thức cần ghi nhớ
Cho 2 đa thức tùy ý A và B có cùng một biến, với (\[B\neq 0\]). Khi đó, luôn tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R, sao cho:
A = B.Q + R
Trong đó:
- R chính là số dư trong phép chia A cho B.
- R có thể bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn bậc của B.
- Nếu R = 0, phép chia A cho B sẽ được gọi là phép chia hết.
2. Một số dạng bài tập phổ biến về phép chia đa thức một biến
2.1. Chia hết các đa thức một biến đã sắp xếp
Ở dạng bài tập này, bạn có thể thực hiện theo 3 bước đơn giản như sau:
- Bước 1: Xác định chính xác một biểu thức nhân với số chia sao cho tích thu được sẽ có bậc cao nhất giống với số bị chia.
- Bước 2: Thực hiện phép trừ giữa đa thức bị chia và tích vừa tìm được.
- Bước 3: Lặp lại quá trình trên cho đến khi số dư cuối cùng chuyển về 0.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
- \[\left(6x^{2}+17x+12\right):(2x+3)\]
- \[(x^{3}-4x^{2}+x-4):(x^{2}+1)\]
Lời giải:
a)
| \[\begin{array}{r}\phantom{3x+4}6x^2+17x+12\\-\phantom{3x+4}6x^2+9x\hspace{1.1cm}\\\hline\phantom{3x+4}8x+12\\-\hspace{1.3cm}\phantom{3x+4}8x+12\\\hline\phantom{3x+4}0\end{array}\] | \[\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}&2x+3\\\hline&3x+4\end{array}\end{array}\] |
Vậy: \[\left(6x^{2}+17x+12\right):(2x+3)\] = \[3x+4\]
b)
| \[\begin{array}{r}\phantom{x-4}x^3-4x^2+x-4\\-\phantom{x-4}x^3+x\hspace{1.7cm}\\\hline\phantom{x-4}-4x^2-4\\-\hspace{1cm}\phantom{x-4}-4x^2-4\\\hline\phantom{x-4}0\end{array}\] | \[\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}&x^{2}+1\\\hline&x-4\end{array}\end{array}\] |
Vậy: \[(x^{3}-4x^{2}+x-4):(x^{2}+1)\] = \[x-4\]
2.2. Chia đa thức một biến đã sắp xếp (có dư)
Khi gặp phải dạng bài tập này, bạn có thể thực hiện theo 3 bước sau:
- Bước 1: Xác định đúng một biểu thức nhân cùng số chia sao cho bậc cao nhất của tích thu được sẽ trùng với bậc cao nhất của số bị chia.
- Bước 2: Thực hiện phép trừ giữa đa thức bị chia và tích vừa tìm thấy được.
- Bước 3: Cứ lặp lại quá trình trên cho đến khi thấy bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức chia thì dừng lại.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
- a) \[(3x^{2}+7x+9):(x-1)\]
- b) \[(5x^{3}+3x^{2}-2):(x+3)\]
Lời giải:
a)
| \[\begin{array}{r}\phantom{3x+4}3x^2+7x+9\hspace{1.1cm}\\-\phantom{3x+4}3x^2-3x\hspace{1.75cm}\\\hline\phantom{3x+4}10x+9\hspace{1cm}\\-\hspace{1cm}\phantom{3x+4}10x-10\hspace{0.75cm}\\\hline\phantom{3x+4}19\hspace{0.75cm}\end{array}\] | \[\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}&x-1\\\hline&3x+10\end{array}\end{array}\] |
Vậy: \[(3x^{2}+7x+9):(x-1)\] = \[3x+10\] dư 19
b)
| \[\begin{array}{r}\phantom{3x+4}5x^3+3x^2-2\hspace{1.1cm}\\-\phantom{3x+4}5x^3+15x^2\hspace{1.6cm}\\\hline\phantom{3x+4}-12x^2-2\hspace{0.9cm}\\-\phantom{3x+4}-12x^2-36x\hspace{0.5cm}\\\hline\phantom{3x+4}36x-2\\-\phantom{3x+4}36x+108\\\hline\phantom{3x+4}-110\end{array}\] | \[\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}&x+3\\\hline&5x^{2}-12x+36\end{array}\end{array}\] |
Vậy: \[(5x^{3}+3x^{2}-2):(x+3)\] = \[5x^{2}-12x+36\] dư -110
2.3. Chia đa thức một biến có chứa tham số m
Để giải được dạng bài tập này, bạn có thể thực hiện theo 3 bước sau:
- Bước 1: Xác định đúng một biểu thức nhân cùng số chia sao cho bậc cao nhất của tích thu được sẽ trùng với bậc cao nhất của số bị chia.
- Bước 2: Thực hiện phép trừ cho đa thức bị chia và tích mà bạn vừa tìm thấy.
- Bước 3: Cứ lặp lại quá trình trên cho đến khi nhìn thấy phần dư bằng 0 hoặc có bậc nhỏ hơn so với bậc của số chia.
Ví dụ: Thực hiện phép tính:
- a) \[(mx^{2}+2x-m-2):(x-1)\]
- b) \[(mx^{3}-2x^{2}+mx-2):(x^{2}+1)\]
Lời giải:
a)
| \[\begin{array}{r}\phantom{3x+4}mx^2+2x-m-2\hspace{2cm}\\-\phantom{3x+4}mx^2-mx\hspace{3.5cm}\\\hline\phantom{3x+4}2x+mx-m-2\hspace{0.9cm}\\-\phantom{3x+4}(m+2)x-(m+2)\hspace{0.6cm}\\\hline\phantom{3x+4}0\hspace{1.1cm}\end{array}\] | \[\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}&x-1\\\hline&mx+(2+m)\end{array}\end{array}\] |
Vậy \[(mx^{2}+2x-m-2):(x-1)\] = \[mx+(2+m)\]
b)
| \[\begin{array}{r}\phantom{3x+4}mx^3-2x^2+mx-2\\-\phantom{3x+4}mx^3+mx\hspace{1.8cm}\\\hline\phantom{3x+4}-2x^2-2\\-\phantom{3x+4}-2x^2-2\\\hline\phantom{3x+4}0\end{array}\] | \[\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}&x^{2}+1\\\hline&mx-2\end{array}\end{array}\] |
Vậy \[(mx^{3}-2x^{2}+mx-2):(x^{2}+1)\] = \[ mx-2\]
2.4. Chia đa thức – Dạng bài tập xác định giá trị của m để phép chia hết
Để tìm thấy giá trị của m sao cho đa thức bị chia chia hết cho đa thức chia, bạn có thể áp dụng 3 bước sau:
- Bước 1: Tiến hành chia các đa thức chứa tham số m như dạng bài tập số 3 ở trên.
- Bước 2: Đặt điều kiện để phép chia hết là phần dư phải ra 0.
- Bước 3: Giải phương trình bạn vừa thu được để xác định giá trị của m.
Ví dụ: Tìm m để đa thức \[5m^{3}+2m^{2}-3m-1\] chia hết cho đa thức \[2m^{2}-1\].
Lời giải:
| \[\begin{array}{r}\phantom{3x+4}5m^3+2m^2-3m-1\hspace{1.1cm}\\-\phantom{3x+4}5m^3-\frac{5}{2}m\hspace{3cm}\\\hline\phantom{3x+4}2m^2-3m+\frac{5}{2}m-1\\-\phantom{3x+4}2m^2-1\hspace{2.2cm}\\\hline\phantom{3x+4}-\frac{1}{2}m\hspace{0.7cm}\end{array}\] | \[\begin{array}{l}\begin{array}{r|l}&2m^{2}-1\\\hline&\frac{5m}{2}+1\end{array}\end{array}\] |
Ta có: \[(5m^{3}+2m^{2}-3m-1):(2m^{2}-1)\] = \[\frac{5m}{2}+1 \] dư \[\frac{-m}{2}\]
Để đây là phép chia hết thì \[\frac{-m}{2}=0\Leftrightarrow m=0 \]
Vậy chỉ khi m = 0 thì đa thức \[5m^{3}+2m^{2}-3m-1\] mới chia hết cho \[2m^{2}-1\].
3. Bài tập vận dụng về việc chia đa thức một biến
Bài tập 1: Tìm giá trị của m để đa thức \[mx^{3}+x^{2}-2m-1\] chia hết cho đa thức \[x-2\]
Bài tập 2: Thực hiện phép tính: \[(3x^{4}+2x^{3}+11x^{2}+4x+10):(x^{2}+2)\]
Bài tập 3: Thực hiện phép tính: \[(x^{3}+3mx^{2}-3m+1):(x+1)\]
Đáp án:
- Bài 1: \[m=\frac{-1}{2}\]
- Bài 2: \[(3x^{4}+2x^{3}+11x^{2}+4x+10):(x^{2}+2)\] = \[3x^{2}+2x+5\]
- Bài 3: \[(x^{3}+3mx^{2}-3m+1):(x+1)\] = \[x^{2}+(3m-1)x-(3m-1)\] với số dư là 0.
Bài viết trên đây là những kiến thức quan trọng về việc chia đa thức một biến đã sắp xếp mà chúng tôi muốn chia sẻ đến bạn. Mong rằng bài viết trở nên hữu ích, giúp bạn hiểu rõ hơn về một số dạng bài tập chia các đa thức và nắm vững phương pháp giải chuẩn nhất!
