Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực đại số. Phép tính này cho phép ta tạo ra các số lớn và phức tạp thông qua việc nhân một số với chính nó nhiều lần. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều người không hiểu rõ về khái niệm và cách thực hiện phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên. Bài viết này sẽ giải thích chi tiết về khái niệm này, cách thực hiện và áp dụng chúng vào các bài toán trong cuộc sống hàng ngày.

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Định nghĩa

Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là aⁿ, là tích của n thừa số a:

aⁿ = a.a.a...a (n thừa số a) với n là số tự nhiên

Trong đó:

• Số a được gọi là cơ số
• n được gọi là số mũ

Ta quy ước:

• a¹ = a
• 1ⁿ = 1
• a⁰ = 1

Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên lũy thừa.

Cách đọc:

• aⁿ đọc là "a mũ n" hoặc "a lũy thừa n" hoặc "lũy thừa bậc n của a"
• a² còn được gọi là "a bình phương" hay "bình phương của a"
• a³ còn được gọi là "a lập phương" hay "lập phương của a"

Phép tính với luỹ thừa

a) Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữa nguyên cơ số và cộng các số mũ.

a^m. aⁿ = a^m+n

Ví dụ: 5².5⁷ =5²⁺⁷ = 5⁹

b) Chia hai luỹ thừa cùng cơ số

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ cho nhau.

a^m : aⁿ = a^m-n (a ≠ 0 ; m ≠ 0)

Ví dụ: 4⁵ : 4³ = 4^5-3 = 4²

c) Lũy thừa của lũy thừa

(a^m)ⁿ = a^m.n

Ví dụ: (2²)⁴ = 2^2.4 = 2⁸

d) Nhân hai lũy thừa cùng số mũ, khác sơ số

a^m . b^m = (a.b)^m

Ví dụ : 5³ . 3³ = (5.3)³ = 15³

e) Chia hai lũy thừa cùng số mũ, khác cơ số

a^m : b^m = (a : b)^m

Ví dụ: 12⁴ : 3⁴ = (12 : 3)⁴ = 4⁴

So sánh hai luỹ thừa

• So sánh hai lũy thừa cùng cơ số, khác số mũ:

Nếu m > n thì a^m > aⁿ

• So sánh hai lũy thừa khác cơ số, cùng số mũ:

Nếu a > b thì a^m > b^m

Ví dụ:

So sánh hai lũy thừa cùng cơ số, khác số mũ: 7⁵ < 7⁷

So sánh hai lũy thừa khác cơ số, cùng số mũ: 6³ > 5³

Tính chất của luỹ thừa với số mũ tự nhiên

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

a^m.aⁿ = a^m+n

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

a^m : aⁿ = a^m-n (a khác 0, m ≥ n)

Các dạng bài tập

Dạng 1: Viết kết quả phép tính nhân, chia dưới dạng lũy thừa

Để viết kết quả phép tính dưới dạng lũy thừa, ta biến đổi phép tính về dạng phép nhân các lũy thừa cùng cơ số hoặc phép chia hai lũy thừa cùng cơ số, rồi áp dụng quy tắc nhân các lũy thừa cùng cơ số hoặc chia hai lũy thừa cùng cơ số để viết gọn kết quả.

Ví dụ:

Viết gọn các tích sau bằng cách dùng lũy thừa

a) 5.5.5.8.8.8.8 

b) 7.7.7.3.3.3.3.3.3

Đáp án:

a) 5.5.5.8.8.8.8 = 5³.8⁴

b) 7.7.3.3.3.3.3.3 = 7².3⁶ 

Viết kết quả phép tính dưới dạng một lũy thừa

a) 6³.6⁸.6⁴

b) 9¹³ : 9⁷ 

Đáp án:

a) 6³.6⁸.6⁴ = 6³⁺⁸⁺⁴ = 6¹⁵

b) 9¹³ : 9⁷ = 9^13-7 = 9⁶

Dạng 2: So sánh các số viết dưới dạng lũy thừa. Tìm số mũ của lũy thừa

Để so sánh các số viết dưới dạng lũy thừa, ta có thể làm theo 3 cách sau đây:

• Cách 1: Đưa lũy thừa về cùng cơ số là số tự nhiên rồi so sánh hai số mũ

Nếu m > n thì a^m > aⁿ

• Cách 2: Đưa lũy thừa về cùng số mũ rồi so sánh hai cơ số

Nếu a > b thì a^m > b^m

• Cách 3: Tính cụ thể từng lũy thừa rồi so sánh

Ví dụ:

So sánh hai số sau:

2⁸⁰ và 128⁷

Đáp án:

2⁸⁰ và 128⁷

Ta có: 128⁷ = (2⁷)⁷ = (2)^7.7 = 2⁴⁹

Vì 80 > 49 nên 2⁸⁰ > 2⁴⁹, do đó 2⁸⁰ > 128⁷