Lũy thừa với số mũ tự nhiên được xem là một trong những khái niệm quan trọng của toán học, giúp bạn đơn giản hóa các phép nhân lặp lại nhiều lần của một số. Vậy đâu là những dạng bài tập phổ biến về lũy thừa? Phương pháp giải ra sao? Bài viết này sẽ giúp bạn ghi nhớ trọn bộ kiến thức trọng tâm về khái niệm này và gợi ý hướng giải cho các bài tập liên quan.
1. Các kiến thức trọng tâm cần nhớ
1.1. Quy tắc tính lũy thừa
Đối với lũy thừa số mũ tự nhiên, bạn cần nhớ rõ những lý thuyết trọng điểm sau:
- Lũy thừa bậc n của số a: Đây là tích của n thừa số có giá trị bằng nhau, mỗi thừa số đều bằng a: \[a^{n}=a.a…a.a\], với \[n\neq 0\]. Trong đó, a sẽ được gọi là cơ số và n chính là số mũ.
- Quy tắc nhân hai lũy thừa có cùng một cơ số: \[a^{m}.a^{n}=a^{m+n}\].
- Quy tắc chia hai lũy thừa có cùng một cơ số (\[a\neq 0,m\geq n\]) là: \[a^{m}:a^{n}=a^{m-n}\]. Quy ước: \[a^{0}=1\] với \[a\neq 0\].
- Lũy thừa của một lũy thừa: \[(a^{m})^{n}=a^{m.n}\].
- Lũy thừa của một tích: \[(a.b)^{m}=a^{m}.b^{m}\].
- Một số lũy thừa của 10:
- Một nghìn: \[10^{3}=1000\]
- Một vạn: \[10^{4}=10000\]
- Một triệu: \[10^{6}=1000000\]
- Một tỷ: \[10^{9}=1000000000\]
- Tổng quát: Nếu n là một số tự nhiên khác 0 thì: \[10^{n}=100…000\]
1.2. Thứ tự thực hiện phép tính lũy thừa với số mũ tự nhiên
Các tắc giải toán về lũy thừa mà bạn nhất định phải thực hiện đúng là:
- Khi biểu thức chỉ có phép cộng, trừ hoặc chỉ có phép nhân, chia thì chúng ta sẽ tính toán theo thứ tự từ trái sang phải.
- Nếu bài toán có các phép nhân, chia, cộng, trừ và lũy thừa, chúng ta cần tính lũy thừa trước, sau đó mới thực hiện phép nhân chia, cuối cùng là cộng trừ.
- Nếu bài toán có các dấu ngoặc (), [], {}, ta phải tính trong ngoặc tròn trước, sau đó đến ngoặc vuông, cuối cùng là ngoặc nhọn.
2. Một số dạng bài tập thường gặp về lũy thừa với số mũ tự nhiên
2.1. Thực hiện phép tính hoặc viết dưới dạng lũy thừa:
Đối với dạng bài tập này, chúng ta chỉ cần áp dụng đúng 5 công thức:
- \[a^{n}=a.a…a.a\] với \[n\neq 0\]
- \[a^{m}.a^{n}=a^{m+n}\]
- \[a^{m}:a^{n}=a^{m-n}\] với \[a\neq 0,m\geq n\]. Quy ước: \[a^{0}=1\] với \[a\neq 0\]
- \[(a^{m})^{n}=a^{m.n}\]
- \[(a.b)^{m}=a^{m}.b^{m}\]
Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính sau sao cho kết quả là một lũy thừa:
- a) \[64:2^{3}\]
- b) \[243:3^{4}\]
- c) \[8^{2}.32^{4}\]
Lời giải:
- a) \[64:2^{3}=2^{6}:2^{3}=2^{6-3}=2^{3}\]
- b) \[243:3^{4}=3^{5}:3^{4}=3^{5-4}=3^{1}\]
- c) \[8^{2}.32^{4}=2^{6}.2^{20}=2^{6+20}=2^{26}\]
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:
- a) \[5.2^{2}-18:3\]
- b) \[17.85+15.17-2^{3}.3.5\]
- c) \[2^{3}.17-2^{3}.14\]
Lời giải:
- a) \[5.2^{2}-18:3=5.4-18:3=20-6=14\]
- b) \[17.85+15.17-2^{3}.3.5=17.85+15.17-120=17(85+15)=17.100-120=1700-120=1580\]
- c) \[2^{3}.17-2^{3}.14=2^{3}(17-14)=2^{3}.3=8.3=24\]
2.2. So sánh các lũy thừa với số mũ tự nhiên
Khi gặp phải dạng bài tập so sánh này, bạn có biến đổi 2 lũy thừa về cùng một cơ số hoặc có chung một số mũ. Trong một số trường hợp chúng ta có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để đưa ra một kết luận chính xác nhất.
Với \[a,b,m,n\hspace{0.2cm}\epsilon\hspace{0.2cm}N\], ta có:
- \[a>b\Leftrightarrow a^{n}>b^{n}\hspace{0.5cm}\forall n\epsilon N^{*}\]
- \[m>n\Leftrightarrow a^{m}>b^{n}\hspace{0.5cm}(a>1)\]
- \[a=0\] hoặc \[a=1\] thì \[a^{m}=a^{n}\hspace{0.5cm}(m.n\neq 0)\]
Với A,B là biểu thức:
- \[A^{n}>B^{n}\Leftrightarrow A>B>0\]
- \[A^{m}>B^{n}\Rightarrow m>n,A>1\]
- \[A^{m}<B^{n}\Rightarrow m<n,0<A<1\]
Ví dụ 1: So sánh:
- a) \[333^{17}\] và \[333^{23}\]
- b) \[2007^{10}\] và \[2008^{10}\]
- c) \[(2008-2007)^{2009}\] và \[(1998-1997)^{1999}\]
Lời giải:
- a) Vì \[1<17<23\] nên \[333^{17}<333^{23}\]
- b) \[2007<2008\] nên \[2007^{10}<2008^{10}\]
- c) Ta có:
\[(2008-2007)^{2009}=1^{2009}=1 \]
\[(1998-1997)^{1999}=1^{1999}=1 \]
Nên \[(2008-2007)^{2009}=(1998-1997)^{1999}\]
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: \[5^{27}<2^{63}<5^{28}\]
Lời giải:
Ta có:
\[2^{63}=128^{9}\]
\[5^{27}=125^{9}\]
\[\Rightarrow 2^{63}>5^{27}\] (1)
Lại có:
\[2^{63}=512^{7}\]
\[5^{28}=625^{7}\]
\[\Rightarrow 2^{63}<5^{28}\] (2)
Từ (1) và (2), ta suy ra \[5^{27}<2^{63}<5^{28}\]
2.3. Xác định giá trị x trong lũy thừa với số mũ tự nhiên
Để giải bài tập tìm giá trị của x trong một biểu thức chứa lũy thừa, bạn có thể áp dụng một trong 3 cách sau:
- Cách 1: Đưa các lũy thừa về cùng một cơ số
- Cách 2: Chuyển các lũy thừa về cùng một số mũ.
- Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tích của các lũy thừa.
Ví dụ: Tìm x, biết:
- a) \[2^{x}-26=6\]
- b) \[2^{x}-26=6\]
- c) \[64.4^{x}=4^{5}\]
Lời giải:
- a) \[2^{x}-26=6\Rightarrow 2^{x}=6+26\Rightarrow 2^{x}=32\Rightarrow 2^{x}=2^{5}\Rightarrow x=5\]
- b) \[2^{x}-26=6\Rightarrow 2^{x}=6+26\Rightarrow 2^{x}=32\Rightarrow 2^{x}=2^{5}\Rightarrow x=5\]
- c) \[64.4^{x}=4^{5}\Rightarrow 4^{3}.4^{x}=4^{5}\Rightarrow 4^{3+x}=4^{5}\Rightarrow 3+x=5\Rightarrow x=5-3\Rightarrow x=2\]
3. Bài tập vận dụng về lũy thừa có số mũ tự nhiên
Bài 1: Thực hiện phép tính:
- a) \[75-(3.5^{2}-4.2^{3})\]
- b) \[150+50:5-2.3^{2}\]
- c) \[5.3^{2}-32:4^{2}\]
Bài 2: Tìm x, biết:
- a) \[27.3^{x}=243\]
- b) \[49.7^{x}=2401\]
- c) \[3^{x}=81\]
Bài 3: So sánh:
- a) \[2^{300}\] và \[3^{200}\]
- b) \[9^{5}\] và \[27^{3}\]
- c) \[72^{45}-72^{44}\] và \[72^{44}-72^{43}\]
Đáp án:
- Bài 1: a) 32, b) 142, c) 43
- Bài 2: a) x = 2, b) x = 2, c) x = 4
- Bài 3: a) \[2^{300}<3^{200}\], b) \[9^{5}<27^{3}\], c) \[72^{45}-72^{44}>72^{44}-72^{43}\]
Bài viết này đã nêu đầy đủ các lý thuyết trọng tâm về lũy thừa với số mũ tự nhiên. Mong rằng thông qua những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã nắm vững các công thức và dạng bài tập liên quan đến khái niệm toán học này rồi nhé!
