Khái niệm thế nào là đường vuông góc, đường xiên là một kiến thức toán thuộc chương trình Hình học lớp 7. Đây là phần kiến thức cốt lõi giúp các em có thể giải được nhiều dạng bài tập khác nhau. Vậy, quan hệ đường vuông góc và đường xiên là gì ? Hãy cùng tìm hiểu chi tiết các thông tin hay ho này qua bài viết sau đây.
Khái niệm đường vuông góc, đường xiên là gì
Cho một điểm A bất kì nằm ngoài đường thẳng d, tiến hành kẻ một đường thẳng vuông góc với m tại điểm H. Khi đó, đoạn thẳng AH vừa tạo thành sẽ là đường vuông góc, hay còn có tên gọi khác là đoạn vuông góc từ A đến d.
Bên cạnh đó, điểm H sẽ là hình chiếu của A trên d. Và điểm này còn được gọi là chân đường vuông góc từ A đến d.Tiếp đến, ta lấy một điểm M nằm trên d và kẻ đoạn thẳng AM. Đoạn thẳng này chính là đường xiên kẻ từ A đến d.
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên là gì ? Làm thế nào để chứng minh ?
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên sẽ được thể hiện qua định lý như sau: Trong tất cả các đường xiên và đường vuông góc cùng xuất phát tại điểm A nằm ngoài đường thẳng m đến đường thẳng m, thì đường vuông góc sẽ luôn là đoạn ngắn nhất. Để chứng minh mối quan hệ này ta có thể sử dụng kiến thức và tính chất của tam giác vuông.
Ví dụ, cho đường thẳng u và một điểm A bất kì nằm ngoài đường thẳng này. Đặt M là hình chiếu của A trên u. Hãy chứng minh mọi điểm B nằm trên u, khác M thì AM< AB là luôn đúng.
Với cách làm thứ nhất, ta sẽ có được M là hình chiếu A trên đường thẳng u nên suy ra AM sẽ là đường vuông góc. Nếu cho một điểm B bất kỳ nằm trên đường thẳng u nhưng khác M, thì ta sẽ có được tam giác ABM vuông tại M. Vậy, AB sẽ là cạnh huyền còn AM sẽ là cạnh góc vuông. Kết luận AM < AB vì cạnh góc vuông luôn bé hơn cạnh huyền.
Bên cạnh đó, bạn có thể so sánh hai cạnh trên thông qua định lý Pytago trong tam giác vuông như sau:
Biết ABM vuông tại M nên:
\[ AB^2=AM^2+GM^2\]
\[\Rightarrow AB^2>AM^2 \]
\[\Rightarrow AB>AM \]
Vậy AM <AB
Ngoài ra, ta còn một định lý khác đó chính là trong hai đường xiên kẻ từ cùng một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường nào có hình chiếu lớn hơn thì kích thước lớn hơn và ngược lại. Trong tình huống mà hai đường xiên bằng nhau thì hình chiếu của chúng cũng bằng nhau và ngược lại.
Các dạng toán thường gặp về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên không chỉ là một kiến thức quan trọng mà còn là nền tảng giúp bạn hiểu được nhiều khái niệm toán khó nhằn hơn. Sau đây là một số dạng bài tập thường gặp giúp bạn củng cố thêm kiến thức này:
Dạng 1: Chứng minh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu bằng nhau
Cho điểm H thuộc đoạn thẳng AB, biết rằng H là hình chiếu của M trên B. Cho B và C là hai điểm khác H cũng nằm trên AB. Chứng minh rằng MA = MB.
Lời giải:
Ta có: MH là đường vuông góc còn MA là đường xiên nên suy ra MA > MH
Vì \[\angle MBC \] là góc ngoài của \[\Delta MHB\] nên
\[\widehat{MBC}>\widehat{MHB} = 90\degree\]
Xét \[\Delta MBC \] có: \[\angle MBC \] là góc từ nên MC > MB ( Định lý quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác)
Biết rằng, AH = AB (gt) mà AH và HB lần lượt là 2 hình chiếu của AM và BM
\[\rightarrow MA=MB \]
Dạng 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Cho tam giác MNP nhọn, biết rằng MA, NB VÀ PC sẽ là ba đường cao của tam giác với A thuộc NP, B thuộc MP và C thuộc MN. Hãy chứng minh MA + NB + PC < MN + NP + MP
Theo định lý quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ta có:
\[MA\perp NP\Rightarrow MA<MN\]
\[NB\perp MP\Rightarrow NB<NP\]
\[PC\perp MN\Rightarrow PC<MP\]
\[\Rightarrow MA+NB+PC<MN+NP+MP\]
Bài viết trên đã giúp bạn hiểu hơn về mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Đây thực tế là một kiến thức cốt lõi trong chương trình toán mà bạn nhất định phải nắm bắt. Hãy dành thời gian để làm nhiều lần các dạng bài tập trên để hiểu thêm về chuyên đề này và nâng cao khả năng tư duy bạn nhé.
