Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
Mỗi khái niệm của đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu đều có những đặc điểm riêng biệt và đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán trong Hình học. Tuy nhiên, nhiều người vẫn chưa thực sự hiểu rõ đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu là gì? Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu như thế nào?. Hãy cùng theo dõi bài viết "Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu" dưới đây của OLIM để biết thêm những thông tin bổ ích nhé!
1. Khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên
Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:
+ Đoạn thẳng AH gọi là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
+ Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
+ Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d
2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lí 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc, kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất
Ví dụ:
AH là đường vuông góc
AB là đường xiên
⇒ AH < AB
3. Quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu của chúng
Định lí 2: Trong hai đường xiên, kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì:
| Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. |
Ví dụ: AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC
| Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. |
Ví dụ: AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC
| Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. |
Ví dụ: AB = AC ⇔ HB = HC
4. Các dạng bài thường gặp và phương pháp giải
Dạng 1: So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu.
Sử dụng định lí: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì:
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
Dạng 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Sử dụng định lí: “Đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng”.
5. Bài tập ví dụ
Bài 1. Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D xuống các đường thẳng AB, AC. So sánh BC và tổng DH + DK
Lời giải
Ta có
DH < BD (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
DK < DC (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
Suy ra DH + DK < BD + DC hay DH + DK < BC
Bài 2. Cho tam giác ABC, với D là điểm nằm giữa B và C ( AD không vuông góc với BC). Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C xuống đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng: AB + AC > BH + CK
Lời giải
Xét tam giác ABH có AB là đường xiên, BH là đường vuông góc
=> AB >BH
Xét tam giác AKC có AC là đường xiên, CK là đường vuông góc
=> AC > CK
Do đó AB + AC > BH + CK
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB > AC, kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). So sánh BH và CH
Lời giải
Ta có BH là hình chiếu của đường xiên AB nên đường thẳng BC và CH là hình chiếu của đường xiên AC lên đường thẳng BC
Do AB > AC nên BH > CH