Khi tiếp xúc với chương trình toán hình, bạn sẽ có cơ hội làm quen với sự đồng quy của 3 đường trung tuyến, phân giác trong tam giác. Đây là một kiến thức nền tảng liên quan đến nhiều chuyên đề khác trong toán. Bởi thế mà bạn cần phải nắm vững định lý và các dạng bài tập liên quan thì mới có thể đạt được điểm số hằng mong ước.
Giải mã sự đồng quy của 3 đường trung tuyến là gì
Đầu tiên, bạn cần phải hiểu rõ đường trung trong tam giác là gì. Giả sử, ta có một tam giác ABC, sau đó vẽ một đường nối từ đỉnh A tới điểm M của cạnh đối diện BC. Biết rằng, M là trung điểm của BC, vậy lúc này đây AM sẽ là đường trung tuyến của tam giác trên.
Sự đồng quy của 3 đường trung tuyến sẽ được giải thích cụ thể và chi tiết thông qua định lý. Cụ thể là, ba đường trung tuyến của tam giác khi cùng đi qua một điểm (đồng quy), thì điểm đó sẽ cách mỗi đỉnh một khoảng bằng tỷ lệ \[\frac{2}{3}\] độ dài đường trung tuyến đó. Với ví dụ trên, các đường tuyến AM, BN, CP (M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB) đồng quy tại điểm G. Đây cũng là trọng tâm của tam giác mà ta đang xét, khi đó:
\[\frac{GA}{MA}=\frac{GB}{NB}=\frac{GC}{PC}=\frac{2}{3}\]
Giải mã sự đồng quy của 3 đường phân giác là gì
Cho một tam giác ABC, biết rằng tia phân giác tại góc A sẽ cắt BC tại điểm D (nằm trên đường BC). Có thể nói, AD là đường phân giác của tam giác kể trên. Và khi 3 đường phân giác cùng giao nhau tại một điểm thì đó cũng chính là điểm đồng quy. Điểm này cách đều cả 3 cạnh trong tam giác ABC
Giả sử, tam giác MNP có 3 đường phân giác là MA, NB, PC cùng đồng quy tại điểm O. Gọi, I, J, K là 3 điểm nằm trên ba cạnh tam giác và có độ dài bằng \[\frac{1}{3}\] cạnh lớn. Vậy, \[OI=OJ=OK\].
Các dạng bài tập liên quan đến sự đồng quy của 3 đường trung tuyến, phân giác
Sau khi hiểu được sự đồng quy của 3 đường trung tuyến, phân giác là gì, học sinh cần luyện tập thêm với nhiều dạng đề để củng cố kiến thức. Đặc biệt, nội dung này xuất hiện trong hầu hết các đề thi kiểm tra hiện nay. Và nó sẽ là tiền đề giúp bạn giải ra được nhiều câu hỏi hóc búa khác.
Dạng 1: Chứng minh trọng tâm của tam giác là điểm nào
Để có thể chứng minh định lý cho câu hỏi mà đề bài đưa ra, bạn có thể sử dụng các cách sau. Cách 1, chỉ cần chứng minh điểm đó là giao điểm của 2 đường trung tuyến trong tam giác đang xét. Hoặc bạn có thể chứng minh điểm đó thuộc một đường trung tuyến, nhưng đồng thời phải thỏa mãn tỉ lệ là trọng tâm của tam giác. Đây cũng là dạng bài cơ bản nhất khi nói đến sự đồng quy của 3 đường trung tuyến, phân giác.
Ví dụ minh hoạ: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến là AD. Lấy điểm E nằm trên đoạn thẳng này sao cho \[AD=DE\]. Đồng thời, trên tia BC chọn điểm M sao cho \[BC=CM\]. Hãy chứng minh rằng, C là trọng tâm của tam giác AEM.
Lời giải:
Từ đề bài, có thể thấy \[AD=DE\] nên suy ra C sẽ thuộc MD (Đường trung tuyến của tam giác AEM) (1)
Ngoài ra, \[BC=2CD\] và \[BC=CM\] nên \[CM=2CD\] (2)
Từ hai mệnh đề (1) và (2) có thể suy ra C sẽ là trọng tâm của tam giác AEM.
Dạng 2: Đường trung tuyến trong tam giác vuông, cân, đều
Ví dụ minh hoạ: Biết tam giác ABC cân tại A và có đường trung tuyến là AM. Hãy chứng minh AM vuông góc BC.
Lời giải:
Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ABM\] ta có:
\[AB=AC\]
\[BC=CM\]
AM là cạnh chung của tam giác
\[\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\] (cạnh – cạnh – cạnh)
\[\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}\] ( Hai góc tương ứng nhau)
Mà \[\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180\degree\]
Nên \[\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90\degree\] hay \[AM\perp BC\]
Dạng 3: Chứng minh 2 hoặc nhiều đoạn thẳng bằng nhau, tính độ dài đoạn thẳng, tìm số đo góc
Ví dụ minh hoạ: Biết tam giác ABC có \[\widehat{A}=120\degree\], hình có hai đường phân giác là AD và BE. Hãy tính số đo \[\widehat{BED}\].
Giải:
Vẽ Ax là tia đối của AB, ta có:
\[\widehat{BAD}=\widehat{DAC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=60\degree\]
Biết rằng, \[\Delta ABD\] có AE là tia phân giác của góc ngoài thuộc đỉnh A, còn BE là tia phân giác góc B và chúng đều cắt nhau tại E, nên suy ra DE là tia phân giác góc ngoài của D.
Mà \[\widehat{EDC}\] là góc ngoài tại D thuộc \[\Delta BED\], nên \[\widehat{BED}+\widehat{B_2}=\widehat{EDC}\].
\[\widehat{BED}=\widehat{D_2}-\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ADC}-\widehat{ABC}}{2}=\frac{\widehat{ABD}+\widehat{BAD}-\widehat{ABC}}{2}=\frac{\widehat{BAD}}{2}=30\degree\]
Bài viết trên phần nào đã mang đến cái nhìn chi tiết hơn cho các bạn học sinh về chủ đề sự đồng quy của 3 đường trung tuyến, phân giác. Mong rằng, bạn sẽ có được những phút giây học tập thư giãn và nhiều niềm vui.
