Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác
Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác là một tính chất quan trọng của hình học tam giác. Đây là một trong những khái niệm cơ bản của hình học tam giác, được áp dụng rộng rãi trong các bài toán liên quan đến tam giác. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về sự đồng quy này và cách áp dụng nó vào giải các bài toán hình học.
1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác
a) Đường trung tuyến của tam giác
Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC. AM gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC
b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến
Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng \(\frac23\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Ví dụ: Trong tam giác ABC có AD, BE, CF đồng quy tại điểm G ta có:
\(\frac{AG}{AD}=\frac{CG}{CF}=\frac{BG}{BE}=\frac23\)
*Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác
Ví dụ
Tam giác ABC có AD, BE, CF đồng quy tại điểm G, khi đó G được gọi là trọng tâm của tam giác ABC
2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác
a) Đường phân giác của tam giác
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC
b) Sự đồng quy của ba đường phân giác
Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại điểm O. Khi đó ta có: OK = OJ = OI
3. Bài tập minh hoạ
Bài 1. Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN
Lời giải
BM, CN là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại
=> G là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ BG = \(\frac23\) BM, CG = \(\frac23\) CN (1)
Xét theo định lí quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác ta có
Trong tam giác GBC: \(\widehat{GBC}\;>\widehat{GCB}\)
=> CG > GB (2)
Từ (1) và (2) => CN > BM
Bài 2. Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC = 120°
Lời giải
Có I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC
=> AI, BI, CI lần lượt là đường phân giác của 3 góc \(\widehat{BAC},\;\widehat{ABC},\;\widehat{ACB}\)
\(\widehat{BAC}=120^\circ\;\Rightarrow\widehat{ABC}\;+\;\widehat{ACB}\;=\;60^\circ\)
Ta có:
\(\widehat{IBC}=\frac12\;\widehat{ABC}\\\widehat{ICB}=\frac12\widehat{ACB}\\\Rightarrow2\;\widehat{IBC}\;+\;2\;\widehat{ICB}=60^\circ\\\Rightarrow\widehat{IBC}\;+\;\widehat{ICB}\;=\;30^\circ\)
Xét trong tam giác IBC ta có: \(\widehat{IBC}\;+\;\widehat{ICB}\;+\;\widehat{BIC}=180^\circ\)
\(\Rightarrow\widehat{BIC}\;=\;180^\circ-30^\circ=150^\circ\)
Bài 3. Trong tam giác ABC, có trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.
Lời giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GB\;=\;\frac23BN\Rightarrow GN\;=\;\frac13BN\)
Ta có GN = 1 cm => BN = 3 GN = 3.1 = 3cm
⇒ \(GB\;=\;\frac23BN=\frac23.3=2cm\)
Vậy BN = 3cm và GB = 2cm