Tuy hình thang cân khá dễ nhận biết và tiếp cận nhưng nó lại là nỗi khiếp sợ của nhiều học sinh khi tham gia chương trình toán hình hiện nay. Hơn cả thế, bạn còn phải biết được cách làm thế nào để tìm ra được diện tích hoặc chu vi của chúng. Đừng lo lắng vì bài viết sau đây sẽ mách cho bạn biết tất tần tật các thông tin nêu trên.
Thế nào là một hình thang cân ?
Theo định nghĩa trong sách giáo khoa thì đây là dạng hình học thuộc nhóm tứ giác đặc biệt với cạnh song song nhau (tính chất hình thang) và có 2 góc kề cùng một cạnh đáy có số đo bằng nhau. Giả sử, ABCD sẽ là dạng hình này nếu chúng có đáy AB và CD song song với nhau, ngoài ra góc C và D phải bằng nhau.
Tính chất đặc biệt của hình thang cân
- Hai cạnh bên bằng nhau:Tiếp tục ví dụ hình thang cân ABCD ta sẽ có hai cạnh AD và BC bằng nhau.
- Hai góc kề cạnh đáy bằng nhau: Góc C và Góc D có cùng một số đo.
- Hai đường chéo cùng bằng nhau: Đường chéo AC = BD.
- Bên cạnh đó, nếu như hình thang dạng cân đang xét nội tiếp đường tròn, thì cả 4 đỉnh thuộc hình đều nằm trên đường tròn đó.
Hơn cả thế, bạn cần phải lưu ý rằng dạng hình này chắc chắn sẽ có hai cạnh bên bằng nhau, thế nhưng chuyện ngược lại chưa chắc là đúng. Giả sử, một tức có 2 cặp cạnh song song nhau, hoặc cạnh bên bằng nhau nhưng đó chưa chắc sẽ là dạng hình này.
Các công thức liên quan đến hình thang cân
Cũng giống như hình thang thông thường, bạn có thể tìm ra diện tích hình thang dạng cân bằng cách lấy chiều cao nhân với trung bình chia 2 của đáy. Đặc biệt, chiều cao của hình cũng chính là cạnh bên cùng vuông góc với cả 2 đáy.
\[S=\frac{a+b}{2}\times h\]
Trong đó:
- S: Là diện tích hình thang đang tìm
- a và b: Là độ dài 2 cạnh đáy
- h: Độ dài của cạnh bên cùng vuông góc với 2 đáy.
Ngược lại, để tìm ra chu vi của hình thang cân ta có thể gọi a và b lần lượt là độ dài đáy còn c sẽ là độ dài cạnh bên. Lúc này, công thức tính chu vi sẽ được biểu diễn là \[P=a+b+2c\]. Lưu ý rằng, đây là công thức đặc biệt nên chỉ áp dụng cho dạng hình học này, còn nếu là hình thang thông thường thì sẽ không đúng bạn nhé.
Tổng hợp các dạng bài tập quen thuộc về hình thang cân
Nếu như đây là lần đầu bạn tiếp xúc với dạng hình học này, thì việc luyện tập với nhiều dạng đề khác nhau là cực kỳ quan trọng. Nó không chỉ giúp bạn củng cố kiến thức, mà còn rèn luyện khả năng phản xạ, tư duy tốt khi làm toán hình:
Dạng 1: Chứng minh hình đang xét là hình thang cân
Để giải ra được đề bài này, bạn cần sử dụng tính chất tứ giác có hai cạnh song song với nhau. Và để chứng minh nó song song, bạn cần dựa vào những cách như: hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau hoặc định lý từ góc vuông chung dẫn đến song song.
Ví dụ: Cho một tam giác ABC cân tại A, hình có các đường phân giác là BD, CE (D thuộc AC còn E thuộc AB). Hãy chứng minh BEDC là hình thang và cân với đáy nhỏ có kích thước bằng cạnh bên.
Biết tam giác ABC cân tại A, và \[AB=AC\], \[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\].
BD, CE là đường phân giác các góc \[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\] nên áp dụng tính chất phân giác ta được:
\[\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}\]
\[\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}\]
mà \[\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\]
\[\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\]
Xét 2 tam giác ABD và ACE có: \[AB=AC\], góc A chung, \[\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\], nên tam giác ABD = tam giác ACE (góc – cạnh – góc)
\[\Rightarrow AD=AE\]
Từ đó, ta có \[AD=AE\] (theo chứng minh trên), suy ra tam giác ADE cân tại A
\[\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AED}\] (tính chất của tam giác cân)
Trong tam giác ADE có: \[\widehat{AED}+\widehat{ADE}+\widehat{A}=180\degree\] , \[\Rightarrow\widehat{AED}=\frac{180\degree-\widehat{A}}{2}\] (1)
Trong tam giác ABC có: \[\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{A}=180\degree\], \[\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180\degree-\widehat{A}}{2}\] (2)
Từ (1) và (2), ta biết được \[\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\]
Vậy, BEDC sẽ là hình thang
Mà \[\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\] nên BEDC là hình thang cân
Lại có: \[DE\parallel BC\] \[\Rightarrow\widehat{D_1}=\widehat{B_2}\]
Mà \[\Rightarrow\widehat{B_2}=\widehat{D_2}\]
\[\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\]
Suy ra, tam giác EBD cân tại E, \[EB=ED\], vậy BEDC là hình thang dạng cân với đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Dạng 3: Tính diện tích và chu vi
Cho hình thang ABCD cân, biết rằng đáy lớn là 12cm, đáy bé là 10 cm và hai cạnh bên có kích thước là 7 và 8cm, chiều cao là 6cm. Tìm chu vi và diện tích của hình này.
Chu vi của hình là: \[12+10+7+8=37 cm\]
Diện tích hình là: \[=(10+12)\times 6\div 2=66 cm^2 \].
Trên đây là các lý thuyết cơ bản cũng như bài tập vận dụng có đáp án về hình thang cân. Đây là một kiến thức hình học cốt lõi mà bất kỳ ai cũng cần phải biết. Mong rằng, bạn đã có được những giây phút học hành thú vị.
