Phân thức đại số

Phân thức đại số là một khái niệm quan trọng trong đại số, được sử dụng rộng rãi trong các bài toán và thuật toán. Nó bao gồm một số tử và một số mẫu, được viết dưới dạng a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các tính chất cơ bản của phân thức đại số, cách đơn giản hóa phân thức, cách rút gọn và so sánh các phân thức đại số. Chúng ta cũng sẽ khám phá một số ứng dụng của phân thức đại số trong đại số học và các lĩnh vực khác như vật lý, hóa học và kinh tế học.

Định nghĩa của phân thức đại số

Phân thức đại số là một biểu thức trong đại số có dạng tỉ lệ giữa hai đa thức, được biểu diễn dưới dạng "tử số" và "mẫu số" được phân tách bằng dấu gạch ngang. Tử số và mẫu số của phân thức đại số đều có thể là các đa thức đơn giản hoặc phức tạp, và chúng có thể chứa các biến số và các hằng số.

Ví dụ, phân thức đại số có thể có dạng:

f(x) / g(x)

Trong đó, f(x) và g(x) là hai đa thức có thể chứa các biến số và các hằng số. Với một giá trị cụ thể của x, phân thức này có thể được tính bằng cách thay giá trị x vào trong các đa thức f(x) và g(x), và sau đó tính giá trị của tỉ số giữa chúng.

Phân số là một phép tính trong đại số, có dạng a/b, trong đó a và b là các số nguyên và b khác 0.

Ví dụ về hai phân số đại số là:

a) 3/4 và 5/6

b) 2x/3y và 4x/5y

Trong ví dụ a, chúng ta có hai phân số 3/4 và 5/6. Chúng ta có thể so sánh chúng bằng cách tìm một chung số bằng cách nhân số tử của hai phân số lại với nhau. Ta có:

3/4 × 5/6 = 15/24 = 5/8

Vậy chúng ta có thể thấy rằng 3/4 và 5/6 không bằng nhau.

Trong ví dụ b, chúng ta có hai phân số có biểu thức phức tạp hơn, đó là 2x/3y và 4x/5y. Chúng ta cũng có thể so sánh chúng bằng cách tìm một chung số bằng cách nhân số tử của hai phân số lại với nhau. Ta có:

2x/3y × 5/4 = 10x/12y = 5x/6y

4x/5y × 3/2 = 12x/10y = 6x/5y

Như vậy, chúng ta có thể thấy rằng 2x/3y và 4x/5y không bằng nhau.

Hai phân thức bằng nhau

Hai phân thức đại số được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng giá trị cho mọi giá trị hợp lệ của các biến số trong phân thức. Nói cách khác, nếu chúng có cùng giá trị khi được đơn giản hóa và rút gọn.

Ví dụ, phân thức 2x / 4y và x / 2y được xem là bằng nhau, vì khi đơn giản hóa chúng ta có:

2x / 4y = x / 2y

Các phép đơn giản hóa và rút gọn phân thức bao gồm việc tìm ước chung lớn nhất của tử số và mẫu số, hoặc chia cả tử số và mẫu số cho một số lớn hơn để đưa phân thức về dạng đơn giản hơn.

Một phân thức bao gồm số tử và số mẫu, và chúng ta có thể so sánh hai phân thức bằng nhau để xác định xem chúng có giống nhau hay không. Để hai phân thức bằng nhau, số tử và số mẫu của chúng phải có giá trị bằng nhau.

Ví dụ về hai phân thức bằng nhau là:

a) 2/3 và 4/6

Để so sánh hai phân thức này, chúng ta có thể đưa chúng về dạng tối giản. Từ 4/6, chúng ta có thể rút gọn chung cho 2/3 bằng cách chia số tử và số mẫu cho 2. Do đó, chúng ta có:

2/3 = 4/6

Vậy chúng ta có thể thấy rằng 2/3 và 4/6 bằng nhau.

b) (x + 1)/4 và (x + 3)/6

Để so sánh hai phân thức này, chúng ta cần tìm một chung số bằng cách nhân số tử và số mẫu của chúng với nhau. Ta có:

6(x + 1)/24 và 4(x + 3)/24

Sau đó, chúng ta có thể so sánh số tử của hai phân thức để xác định xem chúng có bằng nhau hay không. Ta có:

6(x + 1)/24 = 4(x + 3)/24

6(x + 1) = 4(x + 3)

6x + 6 = 4x + 12

2x = 6

x = 3

Vậy, chúng ta có thể thấy rằng khi x = 3, hai phân thức (x + 1)/4 và (x + 3)/6 bằng nhau.

Bài tập luyện tập

a) Đơn giản hóa phân thức (12x²y⁴)/(18x⁴y²)

b) So sánh hai phân thức: (2/3) và (4/5)

c) Điền giá trị còn thiếu để làm cho hai phân thức bằng nhau: (x+2)/3 = (x-1)/5

d)  Tìm giá trị của x sao cho phân thức (x - 3)/(x² - 2x - 3) đơn vị.

e) Tìm giá trị của x sao cho phân thức (x+3)/(x-2) lớn hơn 1.

Đáp án:

a) Đơn giản hóa phân thức (12x²y⁴)/(18x⁴y²): (2xy²)/3x³

b) So sánh hai phân thức: (2/3) và (4/5).

Đưa hai phân thức về dạng tối giản, ta có: (2/3) = (8/12) và (4/5) = (9/12).

Vậy phân thức (4/5) lớn hơn phân thức (2/3).

c) Điền giá trị còn thiếu để làm cho hai phân thức bằng nhau: (x + 2)/3 = (x-1)/5.

Nhân cả hai vế với 15, ta có: 5(x+2) = 3(x-1).

Giải phương trình này, ta có: x = -7.

d) Tìm giá trị của x sao cho phân thức (x - 3)/(x² - 2x - 3) đơn vị.

Điều kiện để phân thức đơn vị là tử và mẫu phân biệt dấu.

Ta có: x² - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).

Vậy phân thức sẽ đơn vị khi x không bằng -1 hoặc 3.

e) Tìm giá trị của x sao cho phân thức (x + 3)/(x-2) lớn hơn 1.

Điều kiện để phân thức lớn hơn 1 là tử lớn hơn mẫu. Ta có: x + 3 > x - 2.

Giải phương trình này, ta có: 3 > -2.

Điều kiện luôn đúng, vậy phân thức luôn lớn hơn 1 cho mọi giá trị của x.