Trong toán học, phân thức đại số không đơn thuần là một khái niệm đơn lẻ mà còn là cầu nối giữa các biểu thức và kỹ năng biến đổi. Khi các em học sinh làm quen kỹ với nội dung phần này, các thao tác quan trọng như rút gọn, quy đồng,… sẽ trở nên dễ dàng hơn. Bài viết sau sẽ cùng bạn khám phá phân thức và bật mí hướng giải một số dạng bài tập liên quan.
1.Phân thức đại số là gì?
Phân thức đại số hay phân thức là một biểu thức được biểu diễn theo dạng phân số với tử số lẫn mẫu số đều là những đa thức với điều kiện mẫu khác 0. Cụ thể, một phân thức thường có dạng:
\[\frac{A}{B}\] với A, B là đa thức và \[B\neq 0\]
Khi đó:
- A là tử thức (phần ở trên)
- B là mẫu thức (phần ở dưới)
Lưu ý rằng:
- Mọi đa thức hoàn toàn có thể là một phân thức với phần mẫu số bằng 1. Ví dụ: \[x^{2}+3x\] chính là \[\frac{x^{2}+3x}{1}\].
- Các con số như 0 và 1 cũng được xem là những phân thức, vì chúng hoàn toàn có thể được biểu diễn dưới dạng \[\frac{0}{1},\frac{1}{1}\]
Ví dụ về phân thức hợp lệ:
\[\frac{2x+1}{x-3}\]; \[\frac{a}{b(a+b)}\]; \[\frac{x^{2}+3x+2}{2}\]
Ngược lại, sau đây là những biểu thức không phải là phân thức:
\[\sqrt{x}\]; \[\frac{3\sqrt{x}}{x}\]; \[x^{-3}\]
2. Một số dạng bài tập thường gặp về phân thức
Sau đây là những dạng bài tập thường gặp về phân thức, bao gồm phương pháp giải và ví dụ minh họa:
2.1. Tìm ra GTLN, GTNN của phân thức nào đó
Với \[a>0\] (a chính là một hằng số)
- Cho \[P(x)=m+a[F(x)]^{2}\geq m\], thì GTNN của biểu thức P(x) sẽ bằng với chính m khi F(x) = 0.
- Cho \[P(x)=m-a[F(x)]^{2}\leq m\], thì GTLN của biểu thức P(x) sẽ bằng với chính m khi F(x) = 0.
Ngoài ra, với \[a>0\] (a chính là một hằng số), biểu thức \[P(x)>0\] thì phân thức \[\frac{a}{P(x)}\] sẽ lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) khi có P(x) nhỏ nhất (hoặc lớn nhất).
Dù là ở trường hợp nào trong hai biểu thức đã nêu, khi ta nhân toàn bộ P(x) cùng với a (\[a>0\]), thì giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức vẫn không thay đổi vị trí trong trục so sánh. Điều này là do phép nhân với số dương không làm đảo chiều bất kỳ mối quan hệ nào giữa các giá trị.
Ví dụ:
- a) Tìm GTLN của phân thức \[A=\frac{x^{2}+2x+3}{4}\]
- b) Tìm GTLN của phân thức \[B=\frac{4-4x^{2}+4x}{5}\]
Lời giải:
- a) \[A=\frac{x^{2}+2x+3}{4}\] có GTNN \[\Leftrightarrow x^{2}+2x+3\] có GTNN
Mà \[x^{2}+2x+3=(x+1)^{2}+2\geq 2\] nên GTNN của \[x^{2}+2x+3\] là 2 khi \[x=-1\]
Vậy GTNN của phân thức A là \[\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\], đạt được khi \[x=-1\]
- b) \[B=\frac{4-4x^{2}+4x}{5}\] có GTLN \[\Leftrightarrow 4-4x^{2}+4x\] có GTLN
Mà \[4-4x^{2}+4x=5-(2x-1)^{2}\leq 5\] nên GTLN của \[4-4x^{2}+4x\] là 5 khi \[x=\frac{1}{2}\]
Vậy GTLN của phân thức B là \[\frac{5}{5}=1\], đạt được khi \[x=\frac{1}{2}\]
2.2. Hai phân thức đại số bằng nhau
\[\frac{A}{B}\] và \[\frac{C}{D}\] sẽ bằng nhau khi ta tính ra được phần tích chéo giữa 2 phân thức bằng nhau. Điều này đồng nghĩa là: \[A.D=B.C\]
Điều này cũng có thể viết như sau:
\[\frac{A}{B}=\frac{C}{D}\Leftrightarrow A.D=B.C\]
Ví dụ: Mỗi cặp phân thức dưới đây có bằng nhau không?
- a) \[\frac{xy^{2}}{xy+y}\] và \[\frac{xy}{x+1}\]
- b) \[\frac{xy-y}{x}\] và \[\frac{xy-x}{y}\]
Lời giải:
- a) Ta có:
\[\left\{\begin{matrix}(xy^{2}).(x+1)=x^{2}y^{2}+xy^{2}\\(xy+y).xy=x^{2}y^{2}+xy^{2}\end{matrix}\right.\]
Do đó: \[(xy^{2}).(x+1)=(xy+y).xy\]
Vậy \[\frac{xy^{2}}{xy+y}=\frac{xy}{x+1}\]
- b) Ta có:
\[\left\{\begin{matrix}(xy-y).y=xy^{2}-y^{2}\\x.(xy-x)=x^{2}y-x^{2}\end{matrix}\right.\]
Do đó: \[(xy-y).y\neq x.(xy-x)\]
Vậy \[\frac{xy-y}{x}\] và \[\frac{xy-x}{y}\] không bằng nhau.
2.3. Cách tính giá trị phân thức đại số
Thực tế, giá trị của một phân thức tại một giá trị cụ thể của biến chính là số thực thu được sau khi thực hiện thao tác thay biến bằng số đó, với điều kiện mẫu khác 0. Theo đó, các bước thực hiện là:
- Thay giá trị mà đề bài đã cho vào cả phần tử số lẫn mẫu số phân thức.
- Nếu mẫu số sau khi thay khác với 0, ta có thể thực hiện phép tính chia để tìm ra kết quả cuối cùng.
Ví dụ:
- a) Hãy tính biểu thức \[Q=\frac{x+3}{x-1}\] với x = 3
- b) Hãy tính biểu thức \[Z=\frac{xy-3y^{2}}{x+y}\] với \[x=3,y=-1\]
Lời giải:
- a) Thay x = 3 vào \[Q=\frac{x+3}{x-1}\] ta sẽ được:
\[Q=\frac{x+3}{x-1}=\frac{3+3}{3-1}=\frac{6}{2}=3\]
- b) Thay \[x=3,y=-1\] vào \[Z=\frac{xy-3y^{2}}{x+y}\] ta sẽ được:
\[Z=\frac{xy-3y^{2}}{x+y}=\frac{3.-1-3.(-1)^{2}}{3+(-1)}=\frac{-6}{2}=-3\]
2.4. Điều kiện để phân thức được xác định
Một phân số chỉ được xác định (hay có giá trị) khi mẫu số khác với 0. Do đó, nếu bạn muốn tìm điều kiện xác định, bạn chỉ cần tìm được toàn bộ giá trị của biến làm cho mẫu khác với 0.
Ví dụ: Điều kiện nào để các phân thức dưới đây có giá trị?
- a) \[\frac{3x+4}{x-2}\]
- b) \[\frac{x-3}{x+2}\]
- c) \[\frac{1}{2a+4}\]
Lời giải:
- a) Phân thức \[\frac{3x+4}{x-2}\] xác định khi \[x-2\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2\]
- b) Phân thức \[\frac{x-3}{x+2}\] sẽ có giá trị khi \[x+2\neq 0\Leftrightarrow x\neq-2\]
- c) Phân thức \[\frac{1}{2a+4}\] xác định khi \[2a+4\neq 0\Leftrightarrow a\neq-2\]
3. Bài tập vận dụng dành cho chuyên đề phân thức đại số
Bài tập 1: Cho phân thức: \[\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}\]
- a) Viết điều kiện để phân thức đã cho có giá trị
- b) Tính biểu thức với \[x=-3\] và \[x=1\]
Bài tập 2: Tìm GTLN của \[P=\frac{10}{x^{2}-2x+2}\]
Đáp án:
Bài tập 1:
- a) Phân thức \[\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}\] sẽ có giá trị khi \[x+2\neq 0\Leftrightarrow x\neq-2\]
- b) Với x = -3, ta sẽ được:
\[\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\frac{(-3)^{2}-2(-3)+1}{-3+2}=\frac{9+6+1}{-1}=\frac{16}{-1}=-16\]
Với x = 1, ta sẽ được:
\[\frac{x^{2}-2x+1}{x+2}=\frac{1^{2}-2.1+1}{1+2}=\frac{0}{3}=0\]
Bài tập 2:
Tử là \[10>0\] và \[x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1>0\] nên P lớn nhất \[\Leftrightarrow x^{2}-2x+2\] nhỏ nhất.
Mà \[x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1\geq 1\] nên GTNN của \[x^{2}-2x+2\] là 1 khi \[x=1\]
Vậy GTLN của P là \[\frac{10}{1}=10\] khi \[x=1\]
Phân thức đại số là khái niệm quan trọng trong môn toán và trên đây là những kiến thức trọng tâm về nó. Mong rằng với những gì chúng tôi chia sẻ, bạn đọc đã nhận diện được những dạng bài tập liên quan đến chuyên đề này và nắm được phương pháp giải chuẩn nhé!
