Tính chất cơ bản của phân thức

Phân số là một khái niệm cơ bản trong toán học, đặc biệt là trong toán học cấp 2 và cấp 3. Phân thức là một biểu thức toán học rất thường xuyên xuất hiện trong các bài toán liên quan đến phân số. Việc hiểu rõ các tính chất cơ bản của phân thức không chỉ giúp ta giải quyết các bài toán phân số một cách dễ dàng và nhanh chóng mà còn giúp ta hiểu sâu hơn về bản chất của phân thức. Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các tính chất cơ bản của phân thức và cách áp dụng chúng trong việc giải các bài toán liên quan đến phân số.

Tính chất cơ bản của phân thức

Phân thức là một biểu thức toán học chứa ít nhất hai biến số hoặc hằng số được phân chia bởi dấu phân số. Các tính chất cơ bản của phân thức bao gồm:

• Phân số không thể chia cho 0: Trong một phân thức, mẫu số (số ở dưới dấu phân số) không thể bằng 0 vì khi đó phép chia không có nghĩa.

• Phân số đơn giản nhất: Một phân số là đơn giản nhất khi tử số và mẫu số không có ước chung nào ngoài 1.

• Tính gộp phân số: Hai phân số có thể được gộp lại thành một phân số bằng cách tìm chung mẫu số và cộng các tử số.

• Tính rút gọn phân số: Một phân số có thể được rút gọn bằng cách chia tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất của chúng.

• Phân số tương đương: Hai phân số là tương đương nếu chúng có cùng giá trị khi được rút gọn.

• Tính chất đảo của phân số: Khi đảo ngược tử số và mẫu số của một phân số, ta được phân số nghịch đảo, và nếu hai phân số nghịch đảo được nhân với nhau thì kết quả luôn bằng 1.

• Tính chất phân phối: Phép nhân một phân số với một số hữu tỉ tương đương với việc nhân từng phần tử của phân số với số đó.

Các tính chất này rất quan trọng trong việc giải toán liên quan đến phân số.

Dưới đây là một số ví dụ về các tính chất cơ bản của phân thức:

• Tính chất bất biến: Tính chất này cho biết nếu ta nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân thức với một số khác không, thì giá trị của phân thức đó sẽ không đổi.

Ví dụ: Cho phân thức 3/4. Nhân cả tử số và mẫu số với 2, ta được phân thức mới (3x2)/(4x2) = 6/8. Phân thức mới này có cùng giá trị với phân thức ban đầu.

• Tính chất đảo ngược: Tính chất này cho biết nếu ta đảo ngược vị trí của tử số và mẫu số của một phân thức, thì giá trị của phân thức đó sẽ đổi dấu.

Ví dụ: Cho phân thức 2/3. Đảo ngược vị trí của tử số và mẫu số, ta được phân thức mới 3/2. Phân thức mới này có giá trị đối của phân thức ban đầu, tức là nó đổi dấu.

• Tính chất phân tử phân mẫu: Tính chất này cho biết nếu ta cộng hoặc trừ hai phân thức có cùng mẫu số, thì ta có thể cộng hoặc trừ các tử số của hai phân thức đó và giữ nguyên mẫu số.

Ví dụ: Cho hai phân thức 1/3 và 2/3. Cả hai phân thức này có cùng mẫu số là 3. Ta có thể cộng tử số của hai phân thức đó và giữ nguyên mẫu số, ta được phân thức mới (1+2)/3 = 3/3 = 1. Phân thức mới này có giá trị bằng tổng giá trị của hai phân thức ban đầu.

• Tính chất nhân phân mẫu: Tính chất này cho biết nếu ta nhân hai phân thức với nhau, thì ta có thể nhân các tử số của hai phân thức đó và nhân các mẫu số của hai phân thức đó để được phân thức mới.

Ví dụ: Cho hai phân thức 2/3 và 4/5. Nhân các tử số của hai phân thức đó, ta được 2x4 = 8. Nhân các mẫu số của hai phân thức đó, ta được 3x5 = 15. Vậy, phân thức mới sau khi nhân hai phân thức ban đầu là 8/15.

Quy tắc đổi dấu phân thức

Quy tắc đổi dấu phân thức là một quy tắc đơn giản trong việc đổi dấu của một phân thức. Để đổi dấu của một phân thức, ta chỉ cần đổi dấu của cả tử số và mẫu số.

Chẳng hạn, nếu ta có phân thức sau: -3/5

Ta có thể đổi dấu của phân thức này bằng cách đổi dấu của tử số và mẫu số: -3/5 = 3/5

Phân thức mới này có cùng giá trị với phân thức ban đầu, nhưng đã đổi dấu.

Tuy nhiên, cần lưu ý rằng quy tắc này chỉ áp dụng cho các phân thức mà cả tử số và mẫu số đều có dấu. Nếu tử số và mẫu số có dấu khác nhau, ta cần phải đổi dấu của cả phân thức bằng cách đặt nó trong dấu ngoặc đơn và đổi dấu của dấu ngoặc đơn đó.

Chẳng hạn, nếu ta có phân thức sau: -3/(-5)

Ta không thể đổi dấu của từng phần tử như trên mà phải đặt phân thức trong dấu ngoặc đơn và đổi dấu của dấu ngoặc đơn đó: -(3/5) 

Phân thức mới này có cùng giá trị với phân thức ban đầu, nhưng đã đổi dấu.

Dưới đây là một ví dụ về quy tắc đổi dấu phân thức:

Cho phân thức sau đây: \(-\frac{5}{9}\)

Ta muốn đổi dấu của phân thức này. Để đổi dấu của phân thức, ta có thể đổi dấu của cả tử số và mẫu số của phân thức hoặc đưa phân thức về dạng nghịch đảo và đổi dấu của nghịch đảo.

Cách đổi dấu tử số và mẫu số:

\(-\frac{5}{9} \)= \(\frac{-5}{9}\)

Vậy, phân thức đó sau khi đổi dấu sẽ là \(\frac{-5}{9}\).

Cách đổi dấu nghịch đảo:

Đưa phân thức về dạng nghịch đảo bằng cách đảo ngược vị trí của tử số và mẫu số:

\(-\frac{5}{9} \) = \(-\frac{9}{5}\)

Sau đó, đổi dấu của phân thức mới:

\(-\frac{9}{5}\) = \(\frac{-9}{5}\)

Vậy, phân thức đó sau khi đổi dấu sẽ là \(\frac{-9}{5}\).