Phép cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số
Phân thức là một khái niệm quen thuộc trong đại số, được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học khác. Phép tính trên phân thức bao gồm phép cộng, trừ, nhân và chia. Phép cộng phân thức được sử dụng để tính tổng của hai hay nhiều phân thức. Phép trừ phân thức được sử dụng để tính hiệu của hai phân thức. Phép nhân phân thức được sử dụng để tính tích của hai phân thức. Phép chia phân thức được sử dụng để tính thương của hai phân thức. Các phép tính này có thể giúp chúng ta đơn giản hóa và giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến phân thức. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về các phép tính trên phân thức và cách thực hiện chúng.
Phép cộng, trừ phân thức đại số
Phép cộng phân thức đại số
Phép cộng phân thức đại số là phép toán giúp chúng ta tìm tổng của các phân thức có cùng mẫu số (tên gọi khác là mẫu thức). Khi thực hiện phép cộng này, chúng ta sẽ giữ nguyên mẫu số và cộng tử số của các phân thức lại với nhau.
Chẳng hạn, nếu ta có hai phân thức:
(3x + 4) / (2x - 1) và (5x - 2) / (2x - 1)
Ta có thể cộng hai phân thức này lại với nhau bằng cách giữ nguyên mẫu số và cộng tử số của các phân thức lại với nhau, ta được:
(3x + 4 + 5x - 2) / (2x - 1)
= (8x + 2) / (2x - 1)
Khi cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta cần phải quy đồng mẫu thức của các phân thức trước khi thực hiện phép cộng.
Chẳng hạn, nếu ta có hai phân thức:
2/(x - 1) và 3/(x + 2)
Để cộng hai phân thức này lại với nhau, ta cần quy đồng mẫu thức của chúng trước. Ta sẽ nhân cả hai phân thức với một số phù hợp để có cùng mẫu thức.
Ví dụ, ta có thể nhân phân thức đầu tiên với (x + 2)/(x + 2) và nhân phân thức thứ hai với (x - 1)/(x - 1). Ta được:
2(x + 2) / ((x - 1)(x + 2)) và 3(x - 1) / ((x - 1)(x + 2))
Sau khi đã quy đồng mẫu thức, ta có thể cộng hai phân thức lại với nhau bằng cách giữ nguyên mẫu số và cộng tử số của các phân thức lại với nhau, ta được:
(2(x + 2) + 3(x - 1)) / ((x - 1)(x + 2))
= (5x + 4) / ((x - 1)(x + 2))
Tóm lại, phép cộng phân thức đại số là phép toán giúp chúng ta tìm tổng của các phân thức có cùng mẫu số. Khi cộng các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta cần quy đồng mẫu thức của chúng trước.
Phép trừ phân thức đại số
Phép trừ phân thức đại số là phép toán giúp chúng ta tìm hiệu của các phân thức có cùng mẫu số. Khi thực hiện phép trừ này, chúng ta sẽ giữ nguyên mẫu số và trừ tử số của các phân thức lại với nhau.
Chẳng hạn, nếu ta có hai phân thức:
(3x + 4) / (2x - 1) và (5x - 2) / (2x - 1)
Ta có thể trừ hai phân thức này lại với nhau bằng cách giữ nguyên mẫu số và trừ tử số của các phân thức lại với nhau, ta được:
(3x + 4 - 5x + 2) / (2x - 1)
= (-2x + 6) / (2x - 1)
Khi trừ các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta cần phải quy đồng mẫu thức của các phân thức trước khi thực hiện phép trừ.
Chẳng hạn, nếu ta có hai phân thức:
2/(x - 1) và 3/(x + 2)
Để trừ hai phân thức này lại với nhau, ta cần quy đồng mẫu thức của chúng trước. Ta sẽ nhân cả hai phân thức với một số phù hợp để có cùng mẫu thức. Ví dụ, ta có thể nhân phân thức đầu tiên với (x + 2)/(x + 2) và nhân phân thức thứ hai với (x - 1)/(x - 1). Ta được:
2(x + 2) / ((x - 1)(x + 2)) và 3(x - 1) / ((x - 1)(x + 2))
Sau khi đã quy đồng mẫu thức, ta có thể trừ hai phân thức lại với nhau bằng cách giữ nguyên mẫu số và trừ tử số của các phân thức lại với nhau, ta được:
(2(x + 2) - 3(x - 1)) / ((x - 1)(x + 2))
= (-x + 8) / ((x - 1)(x + 2))
Tóm lại, phép trừ phân thức đại số là phép toán giúp chúng ta tìm hiệu của các phân thức có cùng mẫu số. Khi trừ các phân thức có mẫu thức khác nhau, ta cần quy đồng mẫu thức của chúng trước.
Phép nhân, chia phân thức đại số
Phép nhân phân thức đại số
Phép nhân phân thức đại số là phép toán giúp chúng ta tích của hai hay nhiều phân thức với nhau. Khi thực hiện phép nhân này, ta nhân từng tử số với nhau để được tử số mới và nhân từng mẫu số với nhau để được mẫu số mới.
Chẳng hạn, nếu ta có hai phân thức:
(2x + 3)/(x + 1) và (4x - 1)/(x - 2)
Ta có thể nhân hai phân thức này lại với nhau bằng cách nhân từng tử số với nhau để được tử số mới, và nhân từng mẫu số với nhau để được mẫu số mới. Ta được:
((2x + 3) × (4x - 1))/((x + 1) × (x - 2)) = (8x2 + 5x - 3)/((x + 1) × (x - 2))
Chú ý rằng, khi nhân các phân thức có thể rút gọn được thì ta nên rút gọn để giản lược phân thức và đơn giản hóa phép tính.
Ngoài ra, khi nhân các phân thức, ta cần chú ý đến thứ tự tính toán. Điều này có thể ảnh hưởng đến kết quả của phép tính. Thông thường, ta nên nhân các tử số và các mẫu số rồi mới rút gọn kết quả.
Chẳng hạn, nếu ta có ba phân thức:
(2x + 3)/(x + 1), (4x - 1)/(x - 2), và (3x2 + 5)/(x + 3)
Ta có thể tính tích của các phân thức này theo thứ tự như sau:
(2x + 3) × (4x - 1) × (3x2 + 5)/((x + 1) × (x - 2) × (x + 3))
Sau đó, ta có thể nhân các tử số với nhau để được tử số mới và nhân các mẫu số với nhau để được mẫu số mới. Nếu cần, ta có thể rút gọn phân thức cuối cùng để đơn giản hóa kết quả.
Phép chia phân thức đại số
Phép chia phân thức đại số là phép toán giúp chúng ta chia phân thức cho một phân thức khác để tìm ra phân thức kết quả. Khi thực hiện phép chia này, ta có thể sử dụng phương pháp nhân ngược lại hoặc phương pháp chia theo các bước.
Phương pháp nhân ngược lại được sử dụng khi ta chia một phân thức cho một đa thức tuyến tính như (ax + b) hoặc (ax - b). Để áp dụng phương pháp này, ta sẽ nhân phân thức cho đa thức tuyến tính đó, sau đó rút gọn phân thức mới để tìm ra phân thức kết quả.
Chẳng hạn, nếu ta muốn chia phân thức (3x2 + 2x + 1)/(x + 1) cho (x + 1), ta có thể sử dụng phương pháp nhân ngược lại như sau:
(3x2 + 2x + 1)/(x + 1)
= [(x + 1) × (3x + 1) + (0)]/(x + 1)
= (3x + 1)
Phương pháp chia theo các bước được sử dụng khi ta chia phân thức cho một phân thức khác không phải đa thức tuyến tính. Để áp dụng phương pháp này, ta sẽ tìm một phân thức kết quả có tử số và mẫu số là đa thức tuyến tính, sao cho khi nhân phân thức này với phân thức mẫu thức ban đầu, ta sẽ thu được phân thức ban đầu.
Chẳng hạn, nếu ta muốn chia phân thức (5x2 + 7x + 2)/(2x + 1) cho (x + 2), ta có thể sử dụng phương pháp chia theo các bước như sau:
Bước 1: Tìm phân thức kết quả
Để tìm phân thức kết quả, ta giả sử phân thức kết quả có dạng (ax + b)/(x + 2). Khi đó, ta có:
(5x2 + 7x + 2)/(2x + 1) = (ax + b)/(x + 2)
Bước 2: Nhân phân thức kết quả với phân thức mẫu thức ban đầu
Ta sẽ nhân phân thức kết quả với phân thức mẫu thức ban đầu để thu được phân thức ban đầu, tức là:
(5x2 + 7x + 2)/(2x + 1) × (x + 2) = (ax + b)
Bước 3: Lấy nghịch đảo của phân thức chia bằng cách đảo ngược tử và mẫu:
(2x + 3) / (x + 4) => (x + 4) / (2x + 3)
Bước 4: Nhân phân thức chia với phân thức nghịch đảo để tìm kết quả:
Vậy kết quả là \(\dfrac{(4x+1)(x+2)(x+4)}{(2x+1)(2x+3)}\).